高中數學-直線與圓相關的最值問題

PAGEPAGE2直線與圓相關的最值問題常用的處理方法圓的軌跡問題在江蘇高考中是?？嫉膬热葜唬３Ｅc向量、直線相結合考查，有一定的難度，題型從填空題到解答題不固定?！灸割}】（2018年蘇州市第一中學高二上期中考試）平面直角坐標系中，若直線上存在點，使得過點可作一條射線與圓依次交于，滿足，則的取值范圍為.一、與圓相關的最值問題的聯(lián)系點1.1與距離有關的最值問題在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現一些最值問題，如距離最小，最大等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識，利用數形結合思想可直接得到相關結論，解題時便可利用這些結論直接確定最值問題.常見的結論有：（1）圓外一點到圓上距離最近為，最遠為；（2）過圓內一點的弦最長為圓的直徑，最短為該點為中點的弦；（3）直線與圓相離，則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離，最近為；（4）過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積.（5）直線外一點與直線上的點的距離中，最短的是點到直線的距離；（6）兩個動點分別在兩條平行線上運動，這兩個動點間的最短距離為兩條平行線間的距離.【例1】已知圓的方程為：，若直線上存在一點，在圓上總存在不同的兩點，使得點是線段的中點，則圓的半徑的取值范圍為.【變式1】（2015屆淮安高三三模第14題）在平面直角坐標系中，圓，圓．若圓上存在一點，使得過點可作一條射線與圓依次交于點，，滿足，則半徑的取值范圍是_______.【變式2】過點的直線與圓：交于兩點，為圓心，當最小時，直線的方程是．【變式3】（2015江蘇高考第10題）在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為。1.2與面積相關的最值問題與圓的面積的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系，借助函數求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數形結合思想求解.【例2】在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為．【變式1】設，若直線與軸相交于點，與軸相交于點，且與圓相交所得弦的長為，為坐標原點，則面積的最小值為．二、與圓相關的最值問題常用的處理方法2.1數形結合法處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數式的幾何意義，借助數形結合思想求解.【例3】已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【變式1】（2017江蘇高考第13題）在平面直角坐標系中,點在圓上,若則點的橫坐標的取值范圍是.【變式2】（江蘇2012、12）在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是．2.2隱形圓1、有些題設中沒有明確給出圓的相關信息，而是隱含在題中，要通過分析、轉化、發(fā)現圓（或圓的方程），從而利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題。2、常見解題策略（1）利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓；（2）動點與兩定點連線的張角是（）確定隱形圓；（3）兩定點與動點滿足確定隱形圓；（4）兩定點與動點滿足確定隱形圓；（5）兩定點與動點滿足確定隱形圓；（6）由圓周角的性質確定隱形圓?！纠?】已知是圓上的動點，，是圓上的動點，則的取值范圍為.【變式1】已知圓和點，過點作直線交于兩點，則的取值范圍為.【變式2】若，則的最大值．【變式3】．【變式4】已知平面直角坐標系上一點和圓，動點到圓的切線長與的比等于，求動點的軌跡方程．【變式5】已知圓及．點是平面直角坐標系內一點，過點分別作兩圓，的切線，切線長分別為，若，求動點的軌跡方程．【變式6】已知圓和圓，對于圓上任意一點，圓上均存在兩點，使得，則的取值范圍是．【變式7】已知圓，直線與坐標軸分別交于兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍是．【變式8】在平面直角坐標系中，過點向直線作垂線，垂足為，則點到點的距離的最大值為．【變式9】在平面直角坐標系中，若與點的距離為且與點的距離為的直線恰有兩條，則實數的取值范圍為．【變式10】在平面直角坐標系中，已知圓及點，．在圓上是否存在點，使得？若存在，求點的個數；若不存在，說明理由．【變式11】（江蘇2013、17）如圖，在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為，圓心在上．（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．【變式12】方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．（1）（參考數據：，）領海AB北領海AB北公海l課后練習1、在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則實數的取值范圍為．2、已知圓嗎，則圓，若圓上存在點，過點作圓的兩條切線，切點為，使得，則實數的取值范圍為．3、在平面直角坐標系中，已知點，直線，其中實數成等差數列，若點在直線上的射影為，則線段的取值范圍為．4、設圓，直線，點，使得圓上存在點，且（為坐標原點），則點的橫坐標的取值范圍為．5、已知圓,點是直線上的動點,若圓上總存在不同的兩點,使得,則的取值范圍為.6、已知直線和圓，點在直線上，為圓上兩點，在中，，過圓心，則點的橫坐標的取值范圍為．已知圓，直線上存在點使得經過直線與圓交于兩點，且點為中點，則點的橫坐標的取值范圍為．8、在平面直角坐標系xOy中