高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本不等式》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷含答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本不等式》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單項(xiàng)選擇題1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]2．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，則xy的最小值為()A．eq\f(\r(2),2) B．2eq\r(2)C．eq\r(2) D．23．用一段長(zhǎng)為L(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，則菜園的最大面積為()A．eq\f(L2,8) B．eq\f(L2,4)C．eq\f(L2,2) D．L24．若x＜0，則函數(shù)y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)的最小值是()A．－eq\f(9,4) B．0C．2 D．45.eq\r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值為()A．9 B．eq\f(9,2)C．3 D．eq\f(3\r(2),2)6．已知x＞0，則函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－5x＋4,x)的最小值為()A．－1 B．0C．1 D．27．(2024·山東泰安模擬)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥m2＋7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．－8≤m≤1 B．m≤－8或m≥1C．－1≤m≤8 D．m≤－1或m≥88．(2024·河南安陽(yáng)模擬)一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金．一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客．若顧客實(shí)際購(gòu)得的黃金為mg，則()A．m＞10 B．m＝10C．m＜10 D．以上都有可能二、多項(xiàng)選擇題9．下列不等式一定成立的有()A．x＋eq\f(1,x)≥2B．2x(1－x)≤eq\f(1,4)C．x2＋eq\f(3,x2＋1)≥2eq\r(3)－1D．eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥210．(2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1三、填空題與解答題11．(1)當(dāng)x＞1時(shí)，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為_(kāi)_________．(2)當(dāng)x≥4時(shí)，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為_(kāi)_________．12．(1)(2024·江蘇南京調(diào)研)設(shè)a≥0，b≥0，且2eq\r(a)＋b＝1，則eq\f(a,b)的最小值為_(kāi)_______．(2)若正實(shí)數(shù)x，y滿足4x2＋y2＋xy＝1，則xy的最大值為_(kāi)_______；2x＋y的最大值為_(kāi)_______．13．(2024·安徽黃山模擬)已知函數(shù)f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集為[－1，1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,ka)＋eq\f(1,2kb)＋eq\f(1,3kc)＝1，求證：eq\f(1,9)a＋eq\f(2,9)b＋eq\f(3,9)c≥1.高分推薦題14．(2024·天津靜海區(qū)模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b，c，a＋b＝3，則eq\f(ac,b)＋eq\f(3c,ab)＋eq\f(3,c＋1)的最小值為_(kāi)_______．解析版一、單項(xiàng)選擇題1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時(shí)，等號(hào)成立，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2.故選D．答案：D2．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，則xy的最小值為()A．eq\f(\r(2),2) B．2eq\r(2)C．eq\r(2) D．2解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2eq\r(2xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)，等號(hào)成立，∴4＝4xy－(x＋2y)≤4xy－2eq\r(2xy)，即4≤4xy－2eq\r(2xy)，即(eq\r(2xy)－2)(eq\r(2xy)＋1)≥0，∴eq\r(2xy)≥2，∴xy≥2.故選D．答案：D3．用一段長(zhǎng)為L(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，則菜園的最大面積為()A．eq\f(L2,8) B．eq\f(L2,4)C．eq\f(L2,2) D．L2解析：設(shè)菜園平行于墻的一邊長(zhǎng)為x，其鄰邊長(zhǎng)為y，則x＋2y＝L，面積S＝xy，因?yàn)閤＋2y≥2eq\r(2xy)，所以xy≤eq\f(x＋2y2,8)＝eq\f(L2,8)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝eq\f(L,2)，即x＝eq\f(L,2)，y＝eq\f(L,4)時(shí)，Smax＝eq\f(L2,8)，故選A．答案：A4．若x＜0，則函數(shù)y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)的最小值是()A．－eq\f(9,4) B．0C．2 D．4解析：y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＋2eq\r(－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x))))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立．答案：D5.eq\r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值為()A．9 B．eq\f(9,2)C．3 D．eq\f(3\r(2),2)解析：當(dāng)a＝－6或a＝3時(shí)，eq\r(3－aa＋6)＝0；當(dāng)－6＜a＜3時(shí)，eq\r(3－aa＋6)≤eq\f(3－a＋a＋6,2)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝a＋6，即a＝－eq\f(3,2)時(shí)，等號(hào)成立．答案：B6．已知x＞0，則函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－5x＋4,x)的最小值為()A．－1 B．0C．1 D．2解析：因?yàn)閤＞0，所以f(x)＝eq\f(x2－5x＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)－5≥2eq\r(x·\f(4,x))－5＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為－1，故選A．答案：A7．(2024·山東泰安模擬)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥m2＋7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．－8≤m≤1 B．m≤－8或m≥1C．－1≤m≤8 D．m≤－1或m≥8解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝(x＋2y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋4≥4＋2eq\r(4)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，∵不等式eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥m2＋7m恒成立，∴m2＋7m≤8，解得－8≤m≤1.故選A．答案：A8．(2024·河南安陽(yáng)模擬)一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金．一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客．若顧客實(shí)際購(gòu)得的黃金為mg，則()A．m＞10 B．m＝10C．m＜10 D．以上都有可能解析：由于天平兩臂不等長(zhǎng)，可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為a，右臂長(zhǎng)為b，則a≠b，設(shè)先稱(chēng)得黃金為xg，后稱(chēng)得黃金為yg，則bx＝5a，ay＝5b，∴x＝eq\f(5a,b)，y＝eq\f(5b,a)，∴x＋y＝eq\f(5a,b)＋eq\f(5b,a)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥5×2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝10，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立，但a≠b，等號(hào)不成立，即x＋y＞10.因此顧客實(shí)際購(gòu)得的黃金為m＞10.故選A．答案：A二、多項(xiàng)選擇題9．下列不等式一定成立的有()A．x＋eq\f(1,x)≥2B．2x(1－x)≤eq\f(1,4)C．x2＋eq\f(3,x2＋1)≥2eq\r(3)－1D．eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2解析：對(duì)于A，當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,2x(1－x)＝－2x2＋2x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，x2＋eq\f(3,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(3,x2＋1)－1≥2eq\r(x2＋1·\f(3,x2＋1))－1＝2eq\r(3)－1，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\r(3)－1時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選CD．答案：CD10．(2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1解析：對(duì)于A，B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，而xy＝eq\f(x＋y2－1,3)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，即(x＋y)2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正確，B正確；對(duì)于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立，所以x2＋y2≤2，所以C正確；當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)，y＝－eq\f(\r(3),3)時(shí)，x2＋y2<1，所以D不正確．故選BC．答案：BC三、填空題與解答題11．(1)當(dāng)x＞1時(shí)，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為_(kāi)_________．(2)當(dāng)x≥4時(shí)，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為_(kāi)_________．解析：(1)∵x＞1，∴x－1＞0.∴x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3時(shí)，等號(hào)成立．∴x＋eq\f(4,x－1)的最小值為5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函數(shù)y＝t＋eq\f(4,t)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x－1＝3，即x＝4時(shí)，y＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)＋1有最小值eq\f(16,3).答案：(1)5(2)eq\f(16,3)12．(1)(2024·江蘇南京調(diào)研)設(shè)a≥0，b≥0，且2eq\r(a)＋b＝1，則eq\f(a,b)的最小值為_(kāi)_______．(2)若正實(shí)數(shù)x，y滿足4x2＋y2＋xy＝1，則xy的最大值為_(kāi)_______；2x＋y的最大值為_(kāi)_______．解析：(1)因?yàn)?eq\r(a)＋b＝1，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b－1,2)))2＝eq\f(b－12,4)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(b－12,4b)＝eq\f(b,4)＋eq\f(1,4b)－eq\f(1,2)≥2eq\r(\f(b,4)·\f(1,4b))－eq\f(1,2)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，b＝1時(shí)，等號(hào)成立．(2)∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x，即x＝eq\f(\r(10),10)，y＝eq\f(\r(10),5)時(shí)，等號(hào)成立．∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2－1＝3xy＝eq\f(3,2)·2x·y≤eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))2，即(2x＋y)2－1≤eq\f(3,8)(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤eq\f(8,5)，∴2x＋y≤eq\f(2\r(10),5)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)，即x＝eq\f(\r(10),10)，y＝eq\f(\r(10),5)時(shí)，等號(hào)成立．答案：(1)0(2)eq\f(1,5)eq\f(2\r(10),5)13．(2024·安徽黃山模擬)已知函數(shù)f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集為[－1，1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,ka)＋eq\f(1,2kb)＋eq\f(1,3kc)＝1，求證：eq\f(1,9)a＋eq\f(2,9)b＋eq\f(3,9)c≥1.(1)解：因?yàn)閒(x)＝k－|x－4|，所以f(x＋4)≥0等價(jià)于|x|≤k.由|x|≤k有解得k≥0，且其解集為{x|－k≤x≤k}．又f(x＋4)≥0的解集為[－1,1]，故k＝1.(2)證明：由(1)知，eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝1，又a，b，c是正實(shí)數(shù)，由均值不等式，得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,2b)＋\f(1,3c)))＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)＋\f(2b,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3c)＋\f(3c,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,3c)＋\f(3c,2b)))≥3＋2eq\r(\f(a,2b)·\f(2b,a))＋2eq\r(\f(a,3c)·\f(3c,a))＋2eq\r(\f(2b,3c)·\f(3c,2b))＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c時(shí)，等號(hào)成立，所以eq\f(1,9)a＋eq\f(2,9)b＋eq\f(3,9)c≥