高考數學總復習《冪函數與指、對數式的運算》專項測試卷及答案

第第頁高考數學總復習《冪函數與指、對數式的運算》專項測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復習要點1.通過具體實例，了解冪函數及其圖象的變化規(guī)律.2.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算.3.理解對數的概念及其運算性質，會用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在化簡運算中的作用．一冪函數1．冪函數的定義函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．2．五種冪函數圖象的比較3．冪函數的性質比較函數y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性單調遞增當x∈[0，＋∞)時，單調遞增；當x∈(－∞，0]時，單調遞減單調遞增單調遞增當x∈(0，＋∞)時，單調遞減；當x∈(－∞，0)時，單調遞減定點(0,0)，(1,1)(1,1)二指數式1．根式的概念(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當n為奇數時，eq\r(n,an)＝a；當n為偶數時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分數指數冪(1)aeq\s\up15(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；(2)aeq\s\up15(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up15(eq\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；(3)0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．3．有理數指數冪的運算性質(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．三對數式1．對數的定義如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．2．對數的運算法則(1)對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．常/用/結/論換底公式的推論(1)logab·logba＝1.(2)logab·logbc＝logac.(3)loganbn＝logab.(4)logambn＝eq\f(n,m)logab.1．判斷下列結論是否正確．(1)冪函數的圖象都經過點(1,1)和點(0,0)．()(2)冪函數的圖象不可能在第四象限．(√)(3)當n>0時，冪函數y＝xn是增函數．()(4)若ax>1，則x>0.()2．設a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，則a，b，c的大小關系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a解析：∵y＝xeq\s\up15(eq\f(2,5))在x>0時單調遞增，∴a>c，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x在x>0時單調遞減，∴c>b.∴a>c>b.答案：A3．(多選)下列運算正確的是()A．eq\r(4,3－π4)＝π－3B．e2x＝(ex)2C．eq\r(3,a－b3)＝a－bD．eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)解析：對于A，eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3，故A正確；對于B，e2x＝(ex)2成立，故B正確；對于C，eq\r(3,a－b3)＝a－b成立，故C正確；對于D，當a<0且b<0時，eq\r(a)和eq\r(b)無意義，故D錯誤．故選ABC．答案：ABC4．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))0－(1－0.5－2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(eq\f(1,3))＝________.(2)1.10＋eln2－0.5－2＋lg25＋2lg2＝________.(3)若x＋x－1＝3，則xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝________；x2＋x－2＝________.解析：(1)原式＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,0.52)))÷eq\f(3,2)＝1－(－3)÷eq\f(3,2)＝3.(2)1.10＋eln2－0.5－2＋lg25＋2lg2＝1＋2－4＋2(lg5＋lg2)＝－1＋2＝1.(3)由題意x>0，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))))2＝x＋x－1＋2＝5，∴xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\r(5)，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.答案：(1)3(2)1(3)eq\r(5)7題型有關冪函數的圖象與性質的理解典例1(1)若四個冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c(2)冪函數f(x)滿足?x≥0，f(x)＝f(－x)<f(x＋1)，則此函數可以是f(x)＝f(x)為偶函數，且在[0，＋∞)上單調遞增．________.(寫出一個滿足條件的答案即可)解析：(1)由冪函數的圖象可知在(0,1)上冪函數的指數越大，函數圖象越接近x軸，由題圖知a＞b＞c＞d.故選B．(2)令冪函數f(x)＝xα(α為常數)，題中沒有給出f(x)的定義域的限制信息，因此f(x)的定義域可為R.由“?x≥0，f(x)＝f(－x)”知，函數f(x)是偶函數．又?x≥0，f(x)<f(x＋1)，則函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，因此α可以為正偶數，所以此函數可以是f(x)＝x2，f(x)＝x4，….故答案為x2(答案不唯一)．冪函數的性質與圖象特征的關系(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸．(3)當α＞0時，冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增；當α＜0時，冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞減．對點練1(1)冪函數y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則實數m的值為()A．3 B．0C．1 D．2(2)(2024·黑龍江哈爾濱九中開學考試)已知冪函數f(x)的圖象過點(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，則實數a的取值范圍是________．解析：(1)∵函數在(0，＋∞)上單調遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而當m＝0或2時，y＝x－3為奇函數，當m＝1時，y＝x－4為偶函數．∴m＝1.(2)設f(x)＝xα，則(－8)α＝－2，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))，則f(x)在R上單調遞增，且為奇函數，所以f(a＋1)≤－f(a－3)等價于f(a＋1)≤f(3－a)，則a＋1≤3－a，解得a≤1.答案：(1)C(2)(－∞，1]題型有關指數冪的基本運算典例2(1)計算：(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,49)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))－2lneq\r(e)＋21＋log23＝________.(2)計算：2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)＝________.(3)化簡：eq\r(3,aeq\s\up15(eq\f(2,3))·\r(a－3))·eq\r(a－5eq\s\up15(－eq\f(1,2))aeq\s\up15(－eq\f(1,2))13)(a＞0)＝________.根式的乘除運算，最簡單的方法就是轉化為分數指數冪運算．(4)若xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3(x>0)，則eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)＝________.由已知可推得x＋x－1＝7，進而x2＋x－2＝47.求xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))時注意立方和公式的應用．解析：(1)原式＝(2eq\s\up15(eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,2)))6－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,16)))eq\s\up15(eq\f(1,2))－2×lneeq\s\up15(eq\f(1,2))＋2×2log23＝22×33－4×eq\f(7,4)－2×eq\f(1,2)＋2×3＝106.故答案為106.(2)原式＝2×3eq\s\up15(eq\f(1,2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))×12eq\s\up15(eq\f(1,6))＝2×3eq\s\up15(eq\f(1,2))×3eq\s\up15(eq\f(1,3))×2eq\s\up15(－eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,6))×2eq\s\up15(eq\f(1,3))＝2eq\s\up15(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6))＝2×3＝6.故答案為6.(3)原式＝[aeq\s\up15(eq\f(2,3))·(a－3)eq\s\up15(eq\f(1,2))]eq\s\up15(eq\f(1,3))·(aeq\s\up15(eq\f(5,2))·aeq\s\up15(－eq\f(13,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))＝aeq\s\up15(eq\f(2,9))·aeq\s\up15(－eq\f(1,2))·aeq\s\up15(eq\f(5,4))·aeq\s\up15(－eq\f(13,4))＝aeq\s\up15(－eq\f(5,18))·a－2＝aeq\s\up15(－eq\f(41,18)).故答案為aeq\s\up15(－eq\f(41,18)).(4)由xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，兩邊平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2)))3＋(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))3＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))·(x－1＋x－1)應用了立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．＝3×(7－1)＝18.∴eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)＝eq\f(1,3).故答案為eq\f(1,3).指數冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數運算．(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．(3)底數是負數，先確定符號，底數是小數，先化成分數，底數是帶分數，先化成假分數．(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．(5)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數，形式力求統(tǒng)一．對點練2(1)計算：eq\r(3,aeq\s\up15(eq\f(9,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))＝________.(2)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))0.5－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＝________.(3)已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))，aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2)).(1)解析：因為eq\r(a－3)有意義，所以a>0，所以原式＝eq\r(3,aeq\s\up15(eq\f(9,2))·aeq\s\up15(－eq\f(3,2)))÷eq\r(aeq\s\up15(－\f(7,3))·aeq\s\up15(\f(13,3)))＝eq\r(3,a3)÷eq\r(a2)＝a÷a＝1.答案：1(2)解析：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2))eq\s\up15(eq\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－2＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.答案：1(3)解：a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝23.(aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝a＋a－1＋2＝7.∵aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))>0，∴aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\r(7).(aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝a＋a－1－2＝3.∴aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝±eq\r(3).題型有關對數式的基本運算典例3計算：(1)lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2；(2)log2eq\f(\r(4,8),2)×log5[3log95－(3eq\r(3))eq\s\up15(eq\f(2,3))＋7eq\s\up15(eq\f(ln6－ln2,ln7))]；(3)若log147＝a,14b＝5，則用a，b表示log3528.解：(1)原式＝2lg5＋(lg5＋1)＋lg2(2＋lg5)＋(lg2)2＝1＋3lg5＋2lg2＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋3lg5＋3lg2＝1＋3(lg5＋lg2)＝4.(2)原式＝log22eq\s\up15(－eq\f(1,4))×log5[9eq\s\up15(log9eq\r(5))－(3eq\s\up15(eq\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))＋7log73]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×log5(eq\r(5)－3＋3)＝－eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,8).(3)∵14b＝5，∴l(xiāng)og145＝b.又log147＝a，∴l(xiāng)og3528＝eq\f(log1428,log1435)＝eq\f(log14\f(142,7),log145＋log147)＝eq\f(2－a,a＋b).看已知，望結論，只有換底公式一條路啦！在對數運算中要注意的幾個問題(1)在化簡與運算中，一般先用冪的運算將底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后再運用對數運算法則進行拆或合．(2)ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中要注意互化．對點練3(1)(多選)(2024·湖北宜昌摸底)下列各式化簡運算結果為1的是()A．log53×log32×log25B．lgeq\r(2)＋eq\f(1,2)lg5C．logeq\s\do8(eq\r(a))a2(a>0，且a≠1)D．eln3－0.125eq\s\up15(－eq\f(1,3))(2)自然數22023的位數為(參考數據：lg2≈0.3010)()A．607 B．608C．609 D．610(3)5lg30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(lgeq\f(1,2))＝________.解析：(1)對于A，原式＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg5,lg2)＝1；對于B，原式＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2)；對于C，原式＝2logeq\s\do8(eq\r(a))a＝2×2＝4；對于D，原式＝3－8eq\s\up15(eq\f(1,3))＝3－2＝1.故選AD．(2)因為lg22023＝2023lg2≈2023×0.3010＝608.923，所以22023≈10608.923，即22023的位數為608＋1＝609，故選C．(3)設x＝5lg30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(lgeq\f(1,2))＝5(1＋lg3)×3lg2，易知x>0，則lgx＝lg5(1＋lg3)＋lg3lg2＝(1＋lg3)×lg5＋lg2×lg3＝lg5＋lg3×lg5＋lg2×lg3＝lg5＋(lg5＋lg2)×lg3＝lg5＋lg3＝lg15.∴x＝15.答案：(1)AD(2)C(3)15題型指數、對數運算在實際問題中的應用典例4(1)(2019·全國Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通信聯系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).設α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似計算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，則r的近似值為()A．eq\r(\f(M2,M1))R B．eq\r(\f(M2,2M1))RC．eq\r(3,\f(3M2,M1))R D．eq\r(3,\f(M2,3M1))R(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2解析：(1)將r＝αR代入方程可得eq\f(M1,R＋αR2)＋eq\f(M2,α2R2)此代換起到簡化運算的作用．＝(1＋α)eq\f(M1,R2)，即eq\f(M1,1＋α2)＋eq\f(M2,α2)＝(1＋α)M1，由此計算出eq\f(M2,M1)的表達式，很多同學會被難倒．∴eq\f(α2α3＋3α2＋3α,1＋α2)＝eq\f(M2,M1)，即eq\f(M2,M1)＝eq\f(α5＋3α4＋3α3,1＋α2)，∴eq\f(M2,M1)≈3α3，∴α≈eq\r(3,\f(M2,3M1))，∴r＝αR≈eq\r(3,\f(M2,3M1))R.故選D．(2)因為Lp＝20×lgeq\f(p,p0)隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up15(eq\f(Lp,20))，因為Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up15(eq\f(40,20))＝100p0，故C正確；假設p2>10p3，則p010eq\s\up15(eq\f(Lp2,20))>10p010eq\s\up15(eq\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up15(eq\f(Lp2,20)－eq\f(Lp3,20))>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正確；這樣計算并不簡捷.【另解】由Lp2－Lp3≥10，推得20lgeq\f(p2,p0)－20lgeq\f(p3,p0)≥10，經對數運算有p2≥eq\r(10)p3.因為eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010eq\s\up15(\f(Lp2,20)),p010eq\s\up15(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up15(eq\f(Lp2,20)－eq\f(Lp1,20)＋2)≥1，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD．此題難點在選項D，并不是比較