2023-2024學(xué)年廣東省茂名市高州市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市高州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)戰(zhàn)內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工簽，筆遠(yuǎn)清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章~第五章5.2.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】由，可得.故選：A.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C.3.已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由直線平面，得，則，所以.故選：D4.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A B. C. D.【答案】B【解析】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公差是（）A. B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】，則，又，則，所以數(shù)列公差為，故選：B.6.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,則實(shí)數(shù)（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圓，即的半徑為，圓心為，因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或.故選：A.7.在數(shù)列中，，則的前2022項(xiàng)和為（）A.1771 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，而，所以?shù)列是以4為周期周期數(shù)列，所以的前2022項(xiàng)和.故選：C.8.如圖，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的焦距為，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有.在中，由余弦定理有，可得.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩條平行直線，直線，直線，直線之間的距離為，則的值可以是（）A.-8 B.-6 C.2 D.4【答案】BC【解析】根據(jù)題意得直線可化為，直線之間的距離，所以，即或.故選：BC.10.已知為等差數(shù)列，滿足為等比數(shù)列，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列的首項(xiàng)為4 B.C. D.數(shù)列的公比為【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)的公差為，由可得不能確定的值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，D兩項(xiàng)，設(shè)的公比為，由可得：則于是故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)也正確.故選：BCD.11.如圖，在直三棱柱中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則（）A.直線和為異面直線B.異面直線與的夾角為C.D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，由已知得，所以在?nèi)，，所以，所以四點(diǎn)共面，故A不正確；因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角.因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，故B正確；因?yàn)?，所以與相似，因?yàn)?，所?，故C不正確；因?yàn)?，故D正確.故選：BD12.已知拋物線，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn) B.C. D.的面積最小值為【答案】ACD【解析】設(shè)，，，因?yàn)?，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可得，在點(diǎn)處的切線方程為，所以，，故直線的方程為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；由，得，所以，，所以，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，所以，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則__________.【答案】3【解析】.故答案為：314.曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為_(kāi)_________.【答案】【解析】由，則，即切線斜率為1，傾斜角為.故答案為：.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則__________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，所以，因可得：，即：，代入點(diǎn)，得：，又.故答案為：.16.正四面體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】由正四面體的棱長(zhǎng)為6，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以內(nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，是的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線，，在中，邊上的高為..故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）且，有，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）傾斜角為45°的直線l過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)并交橢圓于M，N兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積．解：（1）根據(jù)題意得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線l的傾斜角為45°，可得斜率，左焦點(diǎn)為，l的方程為，直線與橢圓聯(lián)立，顯然，設(shè)，，，O到的距離，的面積為．19.已知點(diǎn)在圓上，直線平分圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切直線方程.解：（1）點(diǎn)在圓上，且直線平分圓，線段的中垂線過(guò)圓心，此中垂線與直線的交點(diǎn)即為圓心，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，則線段的中垂線方程為：，即，由，解得，即圓心坐標(biāo)為，圓'C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線，①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，整理為，有，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.20.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面平面.（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，與相交于點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面；（2）如圖，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連，，平面平面，平面平面面，所以平面，，，由兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量方向分別為軸方向建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)平面的法向量為，由，有，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，.有，取，可得，所以，由和平面與平面的夾角的余弦值為，有，平方后整理為，解得或（舍去），故若平面與平面的夾角的余弦值為，可得的值為.21.治理垃圾是市改善環(huán)境的重要舉措.去年市產(chǎn)生的垃圾量為100萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳?環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始，連續(xù)6年，每年的垃圾排放量比上一年減少10萬(wàn)噸，從第7年開(kāi)始，每年的垃圾排放量為上一年的.（1）寫(xiě)出市從今年開(kāi)始的年垃圾排放量與治理年數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)為從今年開(kāi)始年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無(wú)效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)治理年后，市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列.當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公差為-10的等差數(shù)列，所以；，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，治理年后，市的年垃圾排放量的表達(dá)式為；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則.由于，，由（1）知，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，且，所以為遞減數(shù)列，于是，因此.所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作垂直軸的直線交雙曲線的漸近線分別于兩點(diǎn)，且是面積為的等邊三角形.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在雙曲線上，且焦點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，分別記直線的斜率為，求的值.解：（1）是面積為的等邊三角形，，，又，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在雙曲線上，有，又由點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，可得，由，有，有，可得，又由，有，故的值為.廣東省茂名市高州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)戰(zhàn)內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工簽，筆遠(yuǎn)清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章~第五章5.2.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】由，可得.故選：A.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C.3.已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由直線平面，得，則，所以.故選：D4.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A B. C. D.【答案】B【解析】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公差是（）A. B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】，則，又，則，所以數(shù)列公差為，故選：B.6.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,則實(shí)數(shù)（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圓，即的半徑為，圓心為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或.故選：A.7.在數(shù)列中，，則的前2022項(xiàng)和為（）A.1771 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，而，所以?shù)列是以4為周期周期數(shù)列，所以的前2022項(xiàng)和.故選：C.8.如圖，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的焦距為，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有.在中，由余弦定理有，可得.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩條平行直線，直線，直線，直線之間的距離為，則的值可以是（）A.-8 B.-6 C.2 D.4【答案】BC【解析】根據(jù)題意得直線可化為，直線之間的距離，所以，即或.故選：BC.10.已知為等差數(shù)列，滿足為等比數(shù)列，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列的首項(xiàng)為4 B.C. D.數(shù)列的公比為【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)的公差為，由可得不能確定的值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，D兩項(xiàng)，設(shè)的公比為，由可得：則于是故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)也正確.故選：BCD.11.如圖，在直三棱柱中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則（）A.直線和為異面直線B.異面直線與的夾角為C.D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，由已知得，所以在?nèi)，，所以，所以四點(diǎn)共面，故A不正確；因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角.因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，故B正確；因?yàn)?，所以與相似，因?yàn)?，所?，故C不正確；因?yàn)椋蔇正確.故選：BD12.已知拋物線，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn) B.C. D.的面積最小值為【答案】ACD【解析】設(shè)，，，因?yàn)?，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可得，在點(diǎn)處的切線方程為，所以，，故直線的方程為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；由，得，所以，，所以，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，所以，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則__________.【答案】3【解析】.故答案為：314.曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為_(kāi)_________.【答案】【解析】由，則，即切線斜率為1，傾斜角為.故答案為：.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則__________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，所以，因可得：，即：，代入點(diǎn)，得：，又.故答案為：.16.正四面體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】由正四面體的棱長(zhǎng)為6，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以內(nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，是的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線，，在中，邊上的高為..故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）且，有，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）傾斜角為45°的直線l過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)并交橢圓于M，N兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積．解：（1）根據(jù)題意得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線l的傾斜角為45°，可得斜率，左焦點(diǎn)為，l的方程為，直線與橢圓聯(lián)立，顯然，設(shè)，，，O到的距離，的面積為．19.已知點(diǎn)在圓上，直線平分圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切直線方程.解：（1）點(diǎn)在圓上，且直線平分圓，線段的中垂線過(guò)圓心，此中垂線與直線的交點(diǎn)即為圓心，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，則線段的中垂線方程為：，即，由，解得，即圓心坐標(biāo)為，圓'C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線，①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，整理為，有，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.20.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面平面.（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，與相交于點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面；（2）如圖，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連，，平面平面，平面平面面，所以平面，，，由兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量方向分別為軸方向建立如圖