2023-2024學(xué)年河北省石家莊市七縣高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市七縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線與垂直，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線與垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：C2.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A．3.已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，解得，而，則公比，所以.故選：C4.如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為米時(shí)，水面寬為米，則此雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】由題意得，代入得，解得，即，因此虛軸長(zhǎng)為，故選：D．5.如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，，，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，.故選：A.6.已知等差數(shù)列的公差，，，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.20 B.24 C.36 D.40【答案】C【解析】等差數(shù)列中，公差，即數(shù)列是遞減等差數(shù)列，顯然，而，且，解得，則，，由，得，因此數(shù)列前9項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，從第10項(xiàng)起均為負(fù)數(shù)，所以的最大值為.故選：C.7.如圖所示，橢圓的左焦點(diǎn)為F，A、B兩點(diǎn)在橢圓上，且四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，設(shè)，因?yàn)檩S，所以，又因?yàn)椋?，故y軸垂直平分線段，即為等邊三角形，且，可得，將其代入，可得，又，整理可得，即，解得，可得（負(fù)值舍去），由橢圓的離心率，可得.故選：B．8.在如圖所示的直四棱柱中,底面是正方形,是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，該幾何體為長(zhǎng)方體，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，設(shè)．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，設(shè)，則，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，又，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離取得最小值為．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，則，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，令，D正確．故選：BCD．10.下列四個(gè)命題中為假命題的是（）A.已知是平面的法向量，是直線l的方向向量，若，則B.已知向量，則與的夾角為鈍角C.已知是空間中的三個(gè)單位向量，若兩兩共面，則共面D.已知是空間向量的一個(gè)基底，則也是空間向量的一個(gè)基底【答案】ABC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足條件，但直線l不平行于平面，故A假；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以與的夾角不是鈍角，故B假；對(duì)于C，兩兩共面，但是不一定共面，可能兩兩垂直，故C假；對(duì)于D，若不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則共面，即存在，使得，即，由于是空間向量的一個(gè)基底，則，，無(wú)解，所以也是空間向量的一個(gè)基底，故D真．故選：ABC．11.如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，則，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，故選：BD．12.已知數(shù)列中，，，，則（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】由題意得：，，，，…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由遞推關(guān)系式知：，，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等差數(shù)列中，，，則__________．【答案】12【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得.故答案為：12.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【解析】由于，所以有，因此切點(diǎn)為，由于,所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,故所求切線方程為:,即,故答案為：．15.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”在這首詩(shī)中含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．如果在平面直角坐標(biāo)系中，軍營(yíng)所在區(qū)域的邊界為，河岸所在直線方程為，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營(yíng)，如果將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則將軍所經(jīng)過的最短路程為___________．【答案】【解析】如圖，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則,解得．圓的圓心為，半徑，所以將軍所經(jīng)過的路程為．故答案為:．16.已知A，B是橢圓與雙曲線的公共左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)．若直線過橢圓的右焦點(diǎn)F，則的面積為___________．【答案】3【解析】由題意可知．如圖，設(shè)，可得直線的斜率分別為．因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，則，因此．設(shè)點(diǎn)，可得直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，可得，所以直線與關(guān)于x軸對(duì)稱．又因?yàn)闄E圓也關(guān)于x軸對(duì)稱，且M，N過橢圓右焦點(diǎn)F，則軸，則，所以．故答案為：3．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.正項(xiàng)數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）整理得，即，令，則，故是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，根據(jù)分組求和可得18.已知，四棱錐，底面是正方形，M為棱的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：平面;（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）∵平面平面,平面平面平面,平面．（2）由題意和（1）知，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．所以．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．19.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）等差數(shù)列中，，解得，又，解得，因此等差數(shù)列的公差，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，則，所以.20.如圖，在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上，，且A，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（1）求t的值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）平面平面，，又，∴以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，．．因?yàn)锳，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則存在使，故，解得．（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，故．設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．21.已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點(diǎn)M，N，證明：直線過定點(diǎn)．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程為：，由消去y并整理得，，顯然，設(shè)，則，因此，解得，所以拋物線的方程為：.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去x得，，當(dāng)時(shí)，，由，得，顯然，因此，滿足，則直線：，過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).22.已知圓，定點(diǎn)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；（2）過點(diǎn)，且與x軸不重合直線l與E的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值．解：（1）圓的圓心為，半徑為4．因?yàn)镈是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于E點(diǎn)，則，于得，因此E點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以E點(diǎn)的軌跡方程為．（2）依題意可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立消去x并整理得，，．又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，則，的內(nèi)切圓面積的最大值為．河北省石家莊市七縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線與垂直，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線與垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：C2.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A．3.已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，解得，而，則公比，所以.故選：C4.如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為米時(shí)，水面寬為米，則此雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】由題意得，代入得，解得，即，因此虛軸長(zhǎng)為，故選：D．5.如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，，，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，.故選：A.6.已知等差數(shù)列的公差，，，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.20 B.24 C.36 D.40【答案】C【解析】等差數(shù)列中，公差，即數(shù)列是遞減等差數(shù)列，顯然，而，且，解得，則，，由，得，因此數(shù)列前9項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，從第10項(xiàng)起均為負(fù)數(shù)，所以的最大值為.故選：C.7.如圖所示，橢圓的左焦點(diǎn)為F，A、B兩點(diǎn)在橢圓上，且四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，設(shè)，因?yàn)檩S，所以，又因?yàn)?，所以，故y軸垂直平分線段，即為等邊三角形，且，可得，將其代入，可得，又，整理可得，即，解得，可得（負(fù)值舍去），由橢圓的離心率，可得.故選：B．8.在如圖所示的直四棱柱中,底面是正方形,是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，該幾何體為長(zhǎng)方體，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，設(shè)．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，設(shè)，則，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，又，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離取得最小值為．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，則，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，令，D正確．故選：BCD．10.下列四個(gè)命題中為假命題的是（）A.已知是平面的法向量，是直線l的方向向量，若，則B.已知向量，則與的夾角為鈍角C.已知是空間中的三個(gè)單位向量，若兩兩共面，則共面D.已知是空間向量的一個(gè)基底，則也是空間向量的一個(gè)基底【答案】ABC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足條件，但直線l不平行于平面，故A假；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以與的夾角不是鈍角，故B假；對(duì)于C，兩兩共面，但是不一定共面，可能兩兩垂直，故C假；對(duì)于D，若不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則共面，即存在，使得，即，由于是空間向量的一個(gè)基底，則，，無(wú)解，所以也是空間向量的一個(gè)基底，故D真．故選：ABC．11.如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，則，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，故選：BD．12.已知數(shù)列中，，，，則（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】由題意得：，，，，…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由遞推關(guān)系式知：，，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等差數(shù)列中，，，則__________．【答案】12【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得.故答案為：12.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【解析】由于，所以有，因此切點(diǎn)為，由于,所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,故所求切線方程為:,即,故答案為：．15.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”在這首詩(shī)中含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．如果在平面直角坐標(biāo)系中，軍營(yíng)所在區(qū)域的邊界為，河岸所在直線方程為，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營(yíng)，如果將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則將軍所經(jīng)過的最短路程為___________．【答案】【解析】如圖，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則,解得．圓的圓心為，半徑，所以將軍所經(jīng)過的路程為．故答案為:．16.已知A，B是橢圓與雙曲線的公共左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)．若直線過橢圓的右焦點(diǎn)F，則的面積為___________．【答案】3【解析】由題意可知．如圖，設(shè)，可得直線的斜率分別為．因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，則，因此．設(shè)點(diǎn)，可得直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，可得，所以直線與關(guān)于x軸對(duì)稱．又因?yàn)闄E圓也關(guān)于x軸對(duì)稱，且M，N過橢圓右焦點(diǎn)F，則軸，則，所以．故答案為：3．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.正項(xiàng)數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）整理得，即，令，則，故是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，根據(jù)分組求和可得18.已知，四棱錐，底面是正方形，M為棱的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：平面;（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）∵平面平面,平面平面平面,平面．（2）由題意和（1）知，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．所以．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．19.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．