2023-2024學(xué)年河南省開封市五校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色．墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列滿足，若，則（）A.－1 B. C.1 D.2【答案】B【解析】因為數(shù)列滿足，所以，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以．故選：B2.已知拋物線C關(guān)于x軸對稱，且焦點在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點為，故，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，則，．故選：C4.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，則圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓經(jīng)過點和，可知圓心在直線上，又圓心在直線上，所以的坐標(biāo)為，半徑，所以圓的面積為．故選：D．5.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】因為為等比數(shù)列的前項和且，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，所以，所以．故選：A．6.已知點是雙曲線上一點，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由雙曲線的方程知，漸近線方程為，即，設(shè)，由題意，得，即，點到漸近線的距離，點到漸近線的距離，所以．故選：C．7.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設(shè)數(shù)列是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前60項和（）A. B.5 C.59 D.60【答案】B【解析】因為是方公差為2的等方差數(shù)列，所以是公差為2的等差數(shù)列，所以，解得，又，所以，所以，所以所以．故選：B．8.設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，即，則；令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，即．綜上所述，．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線l與直線垂直，且與圓相切，則直線l的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】直線與直線垂直，可設(shè)直線為，圓的圓心為，半徑為，點到直線的距離為．因為直線與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程是或．故選：CD．10.如圖,在四棱錐中，底面是平行四邊形,,若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤．故選：AC11.某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有的學(xué)生選擇甲餐廳.設(shè)開學(xué)后第天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為，則（）A.B.是等比數(shù)列C.第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D.開學(xué)后第一個星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有5750人次【答案】BCD【解析】對于A，由題意，得，故A錯誤；對于B，，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故B正確；對于C，，即，所以，故C正確；對于D，，又有1920名學(xué)生，所以開學(xué)后第一個星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有人次，故D正確．故選：BCD．12.已知函數(shù)，則（）A.曲線在點處的切線方程是B.函數(shù)有極大值，且極大值點x0C.D.函數(shù)只有1個零點【答案】BD【解析】對A，由，得，則，故曲線在點處的切線方程是，即，故A錯誤；對B，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在x0∈1,2，使得，即即時,,時,,則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點，故B正確；對C，由以上分析知在上單調(diào)遞減，故，故C錯誤；對D，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又在內(nèi)有唯一一個零點，當(dāng)時，,則，則在上無零點，即只有一個零點，故D正確．故選:BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知橢圓的兩個焦點分別為,點為橢圓上一點,則______．【答案】12【解析】由題意知，所以，又由橢圓的定義，得．故答案為：1214.已知點分別是直線與直線上的點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由可知直線，所以當(dāng)且時，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以，即的取值范圍是．故答案為：15.若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是______．【答案】【解析】，令，得，由題意知在區(qū)間上只有一個變號的根，令，則，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，如圖：所以當(dāng)時，在區(qū)間上只有一個變號的根，即函數(shù)在上有且僅有一個極值點時，的最小值為．故答案為：.16.已知點是離心率為2的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點分別是線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率分別是，若，則______．【答案】15【解析】因為雙曲線的離心率為2，所以，不妨設(shè)，因為點在上，所以，兩式相減，得，因為點是的中點，所以，所以，即，所以，同理，因為，所以．故答案為：15四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在等差數(shù)列中，是和的等差中項．（1）求的通項公式；（2）若的前項和為，求使成立的最大正整數(shù)的值．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，又是和的等差中項，所以，即，解得，所以．（2）因為，所以，由，得，又，所以使成立的最大正整數(shù)為44．18.已知函數(shù)，且當(dāng)時，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．解：（1）由，得，又當(dāng)時，有極值－5，所以，解得所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，有極小值．所以．（2）由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134+0－0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為．19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,，點是的中點，點分別是線段上的點,且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因為，所以，即．（2）由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，等差數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．解：（1）當(dāng)時，，又，所以．由，得，兩式相減，得，即，所以是首項為2，公比為的等比數(shù)列，因此的通項公式，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，又，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由及，得，所以設(shè)前項和為，則．設(shè)的前項和為，則，兩式相減，得，所以．所以．21.已知離心率為的橢圓與拋物線有共同的焦點是橢圓上任意一點，且的最小值是1．（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點的直線與橢圓相交于兩點,與拋物線相交于兩點，若，求直線的方程．解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的離心率是，得，因為的最小值為，所以，所以橢圓的方程為．因為橢圓的焦點坐標(biāo)為，橢圓與拋物線有共同的焦點，所以，所以拋物線的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不符合條件，舍去．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，．所以．聯(lián)立，得，，則，因，所以，解得．所以直線的方程為或．22.已知函數(shù)．（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域為，，由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，得對任意的恒成立，即恒成立，即恒成立．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即取值范圍是．（2），因為函數(shù)有兩個極值點，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，故且，所以，，又恒成立，即恒成立，．設(shè)，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．河南省開封市五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色．墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列滿足，若，則（）A.－1 B. C.1 D.2【答案】B【解析】因為數(shù)列滿足，所以，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以．故選：B2.已知拋物線C關(guān)于x軸對稱，且焦點在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點為，故，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，則，．故選：C4.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，則圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓經(jīng)過點和，可知圓心在直線上，又圓心在直線上，所以的坐標(biāo)為，半徑，所以圓的面積為．故選：D．5.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】因為為等比數(shù)列的前項和且，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，所以，所以．故選：A．6.已知點是雙曲線上一點，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由雙曲線的方程知，漸近線方程為，即，設(shè)，由題意，得，即，點到漸近線的距離，點到漸近線的距離，所以．故選：C．7.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設(shè)數(shù)列是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前60項和（）A. B.5 C.59 D.60【答案】B【解析】因為是方公差為2的等方差數(shù)列，所以是公差為2的等差數(shù)列，所以，解得，又，所以，所以，所以所以．故選：B．8.設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，即，則；令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，即．綜上所述，．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線l與直線垂直，且與圓相切，則直線l的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】直線與直線垂直，可設(shè)直線為，圓的圓心為，半徑為，點到直線的距離為．因為直線與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程是或．故選：CD．10.如圖,在四棱錐中，底面是平行四邊形,,若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤．故選：AC11.某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有的學(xué)生選擇甲餐廳.設(shè)開學(xué)后第天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為，則（）A.B.是等比數(shù)列C.第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D.開學(xué)后第一個星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有5750人次【答案】BCD【解析】對于A，由題意，得，故A錯誤；對于B，，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故B正確；對于C，，即，所以，故C正確；對于D，，又有1920名學(xué)生，所以開學(xué)后第一個星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有人次，故D正確．故選：BCD．12.已知函數(shù)，則（）A.曲線在點處的切線方程是B.函數(shù)有極大值，且極大值點x0C.D.函數(shù)只有1個零點【答案】BD【解析】對A，由，得，則，故曲線在點處的切線方程是，即，故A錯誤；對B，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在x0∈1,2，使得，即即時,,時,,則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點，故B正確；對C，由以上分析知在上單調(diào)遞減，故，故C錯誤；對D，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又在內(nèi)有唯一一個零點，當(dāng)時，,則，則在上無零點，即只有一個零點，故D正確．故選:BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知橢圓的兩個焦點分別為,點為橢圓上一點,則______．【答案】12【解析】由題意知，所以，又由橢圓的定義，得．故答案為：1214.已知點分別是直線與直線上的點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由可知直線，所以當(dāng)且時，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以，即的取值范圍是．故答案為：15.若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是______．【答案】【解析】，令，得，由題意知在區(qū)間上只有一個變號的根，令，則，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，如圖：所以當(dāng)時，在區(qū)間上只有一個變號的根，即函數(shù)在上有且僅有一個極值點時，的最小值為．故答案為：.16.已知點是離心率為2的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點分別是線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率分別是，若，則______．【答案】15【解析】因為雙曲線的離心率為2，所以，不妨設(shè)，因為點在上，所以，兩式相減，得，因為點是的中點，所以，所以，即，所以，同理，因為，所以．故答案為：15四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在等差數(shù)列中，是和的等差中項．（1）求的通項公式；（2）若的前項和為，求使成立的最大正整數(shù)的值．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，又是和的等差中項，所以，即，解得，所以．（2）因為，所以，由，得，又，所以使成立的最大正整數(shù)為44．18.已知函數(shù)，且當(dāng)時，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．解：（1）由，得，又當(dāng)時，有極值－5，所以，解得所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，有極小值．所以．（2）由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134+0－0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為．19.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,，點是的中點，點分別是線段上的點,且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間