2025年高考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)題庫：第十五章 解析幾何

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)題庫：第十五章解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角、斜率及方程A組1．已知θ∈R，則直線xsinθ－eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是________．解析：k＝eq\f(\r(3),3)sinθ，∵θ∈R，∴k∈[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)]，∴傾斜角α∈[0°，30°]∪[150°，180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，180°)2．已知直線l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，則下列各示意圖形中，正確的是________．解析：kl1＝a，l1與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，kl2＝b，l2與y軸的交點(diǎn)為(0，－a)，可知④對．答案：④3．直線mx－y＋2m＋1＝0經(jīng)過一定點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．解析：mx－y＋2m＋1＝0?m(x＋2)＋(1－y)＝0，∴x＝－2時(shí)，y＝1，即過定點(diǎn)(－2,1)．答案：(－2,1)4．(2008年高考浙江卷)已知a>0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝________.解析：由kAB＝kBC，即eq\f(a2＋a,1)＝eq\f(a3－a2,1)，可得a(a2－2a－1)＝0，即a＝1±eq\r(2)或a＝0，又a>0，故a＝1＋eq\r(2).答案：1＋eq\r(2)5．(原創(chuàng)題)若點(diǎn)A(ab，a＋b)在第一象限內(nèi)，則直線bx＋ay－ab＝0不經(jīng)過第________象限．解析：點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，∴ab>0且a＋b>0，即a>0，b>0，由bx＋ay－ab＝0?y＝－eq\f(a,b)x＋b，∴－eq\f(a,b)<0，y軸的交點(diǎn)為(0，b)，∴直線不過第三象限．答案：三6．求過點(diǎn)P(2,3)，且滿足下列條件的直線方程：(1)傾斜角等于直線x－3y＋4＝0的傾斜角的二倍的直線方程；(2)在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．解：(1)由題意，可知tanα＝eq\f(1,3)，k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\f(1,9))＝eq\f(3,4)，y－3＝eq\f(3,4)(x－2)，所以所求直線的方程為：3x－4y＋6＝0.(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)方程為：y＝eq\f(3,2)x，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)方程為：eq\f(x,5)＋eq\f(y,5)＝1，故所求直線的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.B組1．直線l的傾角α滿足4sinα＝3cosα，而且它在x軸上的截距為3，則直線l的方程是________________．解析：由4sinα＝3cosα，得tanα＝eq\f(3,4)，∴k＝eq\f(3,4)，直線l在x軸上的截距為3，∴l(xiāng)與x軸的交點(diǎn)為(3,0)，∴直線l：y－0＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－9＝0.2．已知直線y＝kx－2k－1與直線x＋2y－4＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則k的取值范圍是________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2k－1,x＋2y－4＝0))，解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4k＋6,2k＋1),y＝\f(2k－1,2k＋1)))，∵交點(diǎn)在第一象限，∴x>0，y>0，得k>eq\f(1,2)或k<－eq\f(3,2).3．直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)恰為(1，－1)，則直線l的斜率為________．解析：設(shè)直線l與兩直線的交點(diǎn)分別為(a,1)，(b，c)，P、Q的中點(diǎn)為(1，－1)，∴c＝－2－1＝－3，代入x－y－7＝0可得b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，∴kPQ＝eq\f(1－(－3),－2－4)＝－eq\f(2,3).4．若直線(k2－1)x－y－1＋2k＝0不過第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：由直線方程可化為y＝(k2－1)x＋2k－1，直線不過第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－1＝0,2k－1<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1＝0,k2－1>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－1>0,2k－1<0))，解之得k≤－1.5．(2010年蘇州模擬)若ab<0，則過點(diǎn)P(0，－eq\f(1,b))與Q(eq\f(1,a)，0)的直線PQ的傾斜角的取值范圍是__________．解析：kPQ＝eq\f(－\f(1,b)－0,0－\f(1,a))＝eq\f(a,b)<0.又傾斜角的取值范圍為[0，π)，所以直線PQ的傾斜角的取值范圍是(eq\f(π,2)，π)．6．函數(shù)y＝asinx－bcosx的一個(gè)對稱軸方程為x＝eq\f(π,4)，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為______．解析：令f(x)＝asinx－bcosx，由于f(x)的一條對稱軸為x＝eq\f(π,4)，得f(0)＝f(eq\f(π,2))，即－b＝a，eq\f(a,b)＝－1.∴直線ax－by＋c＝0的斜率為－1，傾斜角為135°.7．已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0與a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)是P(2,3)，則過兩點(diǎn)Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程是______________________．解析：由條件可得2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，顯然點(diǎn)(a1，b1)與(a2，b2)在直線2x＋3y＋1＝0上．8．直線ax＋y＋1＝0與連結(jié)A(2,3)，B(－3,2)的線段相交，則a的取值范圍是__．解析：∵直線ax＋y＋1＝0過定點(diǎn)C(0，－1)，當(dāng)直線處在直線AC與BC之間時(shí)，必與線段AB相交，故應(yīng)滿足－a≥eq\f(3＋1,2)或－a≤eq\f(2＋1,－3)，即a≤－2或a≥1.9．(2010年湛江質(zhì)檢)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P是AB上的一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到AC，BC的距離乘積的最大值是________．解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以A(3,0)，B(0,4)．直線AB：eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，設(shè)P(x，y)，所以P到AC、BC的距離乘積為xy，xy＝x(4－eq\f(4,3)x)＝－eq\f(4,3)x2＋4x＝－eq\f(4,3)[(x－eq\f(3,2))2－eq\f(9,4)]≤eq\f(4,3)×eq\f(9,4)＝3.答案：310．已知直線方程為(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)證明：直線恒過定點(diǎn)M；(2)若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線的方程．解：(1)證明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化為(x－2y－3)m＝－2x－y－4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0,－2x－y－4＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))，∴直線必過定點(diǎn)(－1，－2)．(2)設(shè)直線的斜率為k，則其方程為y＋2＝k(x＋1)，∴OA＝eq\f(2,k)－1，OB＝k－2，S△AOB＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)|(eq\f(2,k)－1)(k－2)|＝eq\f(1,2)|－eq\f((k－2)2,k)|.∵k<0，∴－k>0，∴S△AOB＝eq\f(1,2)[－eq\f((k－2)2,k)]＝eq\f(1,2)[4＋(－eq\f(4,k))＋(－k)]≥4.當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(4,k)＝－k，即k＝－2時(shí)取等號，∴△AOB的面積最小值是4，直線的方程為y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.11．已知直線l：ay＝(3a－1)x－1.(1)求證：無論a為何值，直線l總過第三象限；(2)a取何值時(shí)，直線l不過第二象限？解：(1)證明：由直線l：ay＝(3a－1)x－1，得a(3x－y)＋(－x－1)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＝0,－x－1＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－3))，所以直線l過定點(diǎn)(－1，－3)，因此直線總過第三象限．(2)直線l不過第二象限，應(yīng)有斜率k＝eq\f(3a－1,a)≥0且－eq\f(1,a)≤0.∴a≥eq\f(1,3)時(shí)直線l不過第二象限．12．若直線l過點(diǎn)P(3,0)且與兩條直線l1：2x－y－2＝0，l2：x＋y＋3＝0分別相交于兩點(diǎn)A、B，且點(diǎn)P平分線段AB，求直線l的方程．解：設(shè)A(m,2m－2)，B(n，－n－3)．∵線段AB的中點(diǎn)為P(3,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝6，,(2m－2)＋(－n－3)＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝6，,2m－n＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(11,3)，,n＝\f(7,3).))∴A(eq\f(11,3)，eq\f(16,3))，∴直線l的斜率k＝eq\f(\f(16,3)－0,\f(11,3)－3)＝8，∴直線l的方程為y－0＝8(x－3)，即8x－y－24＝0第二節(jié)點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系A(chǔ)組1．(2009年高考安徽卷改編)直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是________．解析：由題意知，直線l的斜率為－eq\f(3,2)，因此直線l的方程為y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.2．(2010年西安調(diào)研)已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a等于________．解析：∵兩條直線互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1.3．(2010年蘇州質(zhì)檢)直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是a＝________.解析：由兩條直線平行可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2＝0，,6≠3a，))∴a＝－2.4．若點(diǎn)P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且點(diǎn)P在不等式2x＋y－3<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：由eq\f(|4a－9＋1|,5)＝4得a＝7或－3，又2a＋3－3<0，得a<0，∴a＝－3.5．在平面直角坐標(biāo)系中，定義平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，若直線l過點(diǎn)A(－2,3)，且法向量為n＝(1，－2)，則直線l的方程為_________．解析：設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x,3－y)，且eq\o(PA,\s\up6(→))⊥n，故eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝0，即(－2－x,3－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直線l的方程為x－2y＋8＝0.答案：x－2y＋8＝06．直線y＝2x是△ABC中∠C的角平分線所在的直線，若A、B的坐標(biāo)分別為A(－4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷△ABC的形狀．解：設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x對稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(m，n)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋n,2)＝\f(－4＋m,2)·2，,\f(2－n,－4－m)·2＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－2，))即A′的坐標(biāo)是(4，－2)，由B、A′得BC所在的直線方程，3x＋y－10＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得C的坐標(biāo)是(2,4)，又∵kAC′＝eq\f(1,3)，kBC′＝－3，∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形．B組1．已知點(diǎn)P(3,2)與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為______________．解析：kPQ＝eq\f(4－2,1－3)＝－1，PQ的中點(diǎn)為(eq\f(3＋1,2)，eq\f(2＋4,2))，即(2,3)，∴kl＝1，∴直線l的方程為y－3＝(x－2)，即x－y＋1＝0.2．若三條直線l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0不能圍成三角形，則c的值為________．解析：由l1，l2，l3的方程可知l1，l2，l3不平行，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,3x－y＝5，))解得交點(diǎn)(3,4)，代入l3的方程得c＝－10.3．已知兩條直線l1：ax＋by＋c＝0，直線l2：mx＋ny＋p＝0，則an＝bm是直線l1∥l2的________條件．解析：∵l1∥l2?an－bm＝0，且an－bm＝0?/l1∥l2.答案：必要不充分4．過點(diǎn)P(1,2)作直線l，使直線l與點(diǎn)M(2,3)和點(diǎn)N(4，－5)距離相等，則直線l的方程為________________．解析：直線l為與MN平行或經(jīng)過MN的中點(diǎn)的直線，當(dāng)l與MN平行時(shí)，斜率為－4，故直線方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當(dāng)l經(jīng)過MN的中點(diǎn)時(shí)，MN的中點(diǎn)為(3，－1)，直線l的斜率為－eq\f(3,2)，故直線方程為y－2＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.答案：3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝05．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(eq\f(1,2)，2)，其橫截距與縱截距分別為a、b(a、b均為正數(shù))，則使a＋b≥c恒成立的c的取值范圍為________．解析：設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∴eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)＝1，a＋b＝(a＋b)·(eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b))＝eq\f(5,2)＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥eq\f(9,2)，故c≤eq\f(9,2).答案：(－∞，eq\f(9,2)]6．(2010年蘇南四市調(diào)研)若函數(shù)y＝ax＋8與y＝－eq\f(1,2)x＋b的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則a＋b＝________.解析：直線y＝ax＋8關(guān)于y＝x對稱的直線方程為x＝ay＋8，所以x＝ay＋8與y＝－eq\f(1,2)x＋b為同一直線，故得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝4))，所以a＋b＝2.答案：27．如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是______．解析：分別求點(diǎn)P關(guān)于直線x＋y＝4及y軸的對稱點(diǎn)，為P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知識知，光線所經(jīng)路程即為P1P2＝2eq\r(10).答案：2eq\r(10)8．設(shè)a、b、c、分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是______．解析：由bsinA－asinB＝0知，兩直線垂直．答案：垂直9．(2010年江蘇常州模擬)已知0<k<4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為______．解析：l1：k(x－2)－2y＋8＝0過定點(diǎn)(2,4)，l2：k2(y－4)＝4－2x也過定點(diǎn)(2,4)，如圖，A(0,4－k)，B(2k2＋2,0)，S＝eq\f(1,2)×2k2×4＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8.當(dāng)k＝eq\f(1,8)時(shí)，S取得最小值．答案：eq\f(1,8)10．在△ABC中，BC邊上的高所在直線方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在直線方程為y＝0，若點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,2)，求點(diǎn)A和C的坐標(biāo)．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))得A(－1,0)．又B(1,2)，∴kAB＝1.∵x軸是∠A的平分線，∴kAC＝－1.AC直線方程y＝－(x＋1)．又BC方程為：y－2＝－2(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－(x＋1)，,y－2＝－2(x－1)，))得C(5，－6)．11．在直線l：3x－y－1＝0上求點(diǎn)P和Q，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最?。猓?1)如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，則kBB′·kl＝－1，即3·eq\f(b－4,a)＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且在直線l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5.))即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)．(2)如圖所示，設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′，求出C′的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).∴AC′所在直線的方程為19x＋17y－93＝0，AC′和l交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7)))，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).12．(2010年濟(jì)南模擬)已知n條直線l1：x－y＋C1＝0，C1＝eq\r(2)，l2：x－y＋C2＝0，l3：x－y＋C3＝0，…，ln：x－y＋Cn＝0(其中C1<C2<C3<…Cn)，在這n條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2、3、4、…、n.(1)求Cn；(2)求x－y＋Cn＝0與x軸、y軸圍成圖形的面積；(3)求x－y＋Cn－1＝0與x－y＋Cn＝0及x軸、y軸圍成的圖形的面積．解：(1)原點(diǎn)O到l1的距離d1為1，原點(diǎn)O到l2的距離d2為1＋2，…，原點(diǎn)O到ln的距離dn為1＋2＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).∵Cn＝eq\r(2)dn，∴Cn＝eq\f(\r(2)n(n＋1),2).(2)設(shè)直線ln：x－y＋Cn＝0交x軸于M，交y軸于N，則S△OMN＝eq\f(1,2)|OM|·|ON|＝eq\f(1,2)Cn2＝eq\f(n2(n＋1)2,4).(3)所圍成的圖形是等腰梯形，由(2)知Sn＝eq\f(n2(n＋1)2,4)，則有Sn－1＝eq\f((n－1)2·n2,4).∴Sn－Sn－1＝eq\f(n2(n＋1)2,4)－eq\f((n－1)2·n2,4)＝n3，∴所求面積為n3.第三節(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程A組1．若圓x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)與兩坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．解析：圓的方程為(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圓心坐標(biāo)為(k，－1)，半徑r＝eq\r(k2－1)，若圓與兩坐標(biāo)無公共點(diǎn)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(k2－1)<|k|,\r(k2－1)<1))，解得1<k<eq\r(2).2．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析：由題意，設(shè)圓心(x0,1)，∴eq\f(|4x0－3|,\r(42＋(－3)2))＝1，解得x0＝2或x0＝－eq\f(1,2)(舍)，∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.3．(2010年廣東汕頭調(diào)研)已知D是由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y≥0,2x＋y≥0))，所確定的平面區(qū)域，則圓x2＋y2＝4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為________．答案：π4．(2009年高考寧夏、海南卷改編)已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為________________．解析：圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(－1,1)．圓C2的圓心設(shè)為(a，b)，C1與C2關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋1)＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))圓C2的半徑為1，∴圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1.5．(原創(chuàng)題)圓x2＋y2－4x＋2y＋c＝0與y軸交于A、B兩點(diǎn)，其圓心為P，若∠APB＝90°，則實(shí)數(shù)c的值是________．解析：當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，只需保證圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑的eq\f(\r(2),2)倍．由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(5－c)，解得c＝－3.6．已知點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，動點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|.(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q在直線l：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值，并求此時(shí)直線l2的方程．解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\r((x＋3)2＋y2)＝2eq\r((x－3)2＋y2)，化簡可得(x－5)2＋y2＝16即為所求．(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖則直線l2是此圓的切線，連結(jié)CQ，則|QM|＝eq\r(|CQ|2－|CM|2)＝eq\r(|CQ|2－16)，當(dāng)CQ⊥l1時(shí)，|CQ|取最小值，|CQ|＝eq\f(|5＋3|,\r(2))＝4eq\r(2)，此時(shí)|QM|的最小值為eq\r(32－16)＝4，這樣的直線l2有兩條，設(shè)滿足條件的兩個(gè)公共點(diǎn)為M1，M2，易證四邊形M1CM2Q是正方形，∴l(xiāng)2的方程是x＝1或y＝－4.B組1．(2010年福州質(zhì)檢)圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，則圓的方程為________________．解析：所求圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，故線段AB的垂直平分線x＝2過所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x－3y－1＝0上，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，解之得圓心坐標(biāo)為(2,1)，進(jìn)一步可求得半徑為eq\r(2)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2.2．(2010年揚(yáng)州調(diào)研)若直線ax＋by＝1過點(diǎn)A(b，a)，則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓的面積的最小值是___．解析：∵直線ax＋by＝1過點(diǎn)A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝eq\f(1,2)，又OA＝eq\r(a2＋b2)，∴以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓的面積：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面積的最小值為π.3．(2009年高考上海卷改編)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是________________．解析：設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則x02＋y02＝4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y(tǒng)0－2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入x02＋y02＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.4．已知點(diǎn)P(1,4)在圓C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，點(diǎn)P關(guān)于直線x＋y－3＝0的對稱點(diǎn)也在圓C上，則a＝________，b＝________.解析：點(diǎn)P(1,4)在圓C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，點(diǎn)P關(guān)于直線x＋y－3＝0的對稱點(diǎn)也在圓C上，所以圓心(－a,2)在直線x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.5．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為___________．解析：由題意知，圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝5，故過點(diǎn)(3,5)的最長弦為AC＝2r＝10，最短弦BD＝2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，四邊形ABCD的面積為20eq\r(6).6．過圓x2＋y2＝4外一點(diǎn)P(4,2)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則△ABP的外接圓的方程是____________________．解析：∵圓心為O(0,0)，又∵△ABP的外接圓就是四邊形OAPB的外接圓．其直徑d＝OP＝2eq\r(5)，∴半徑r＝eq\r(5).而圓心C為(2,1)，∴外接圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則PO的取值范圍是______．解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化為(|x|－eq\f(1,2))2＋(|y|－eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2).所以動點(diǎn)P(x，y)的軌跡如圖：為原點(diǎn)和四段圓孤，故PO的取值范圍是{0}∪[1，eq\r(2)]．8．(2010年安徽合肥質(zhì)檢)曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)P(1,0)處的切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的外接圓方程是____________．解析：曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)P(1,0)處的切線l方程為x－y－1＝0，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的外接圓圓心為(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，半徑為eq\f(\r(2),2)，所以方程為(x－eq\f(1,2))2＋(y＋eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2).答案：(x－eq\f(1,2))2＋(y＋eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2)9．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，若對滿足條件的x、y，不等式eq\f(y,x－3)＋c≥0恒成立，則c的取值范圍是________．解析：由題意，知－c≤eq\f(y,x－3)恒成立，又eq\f(y,x－3)＝eq\f(y－0,x－3)表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)(3,0)連線的斜率，范圍為[－eq\f(3,4)，0]，所以－c≤－eq\f(3,4)，即c的取值范圍是c≥eq\f(3,4).10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，設(shè)△AOB的外接圓圓心為E.(1)若⊙E與直線CD相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)點(diǎn)P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，試問這樣的⊙E是否存在，若存在？求出⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說明理由．解：(1)直線CD方程為y＝x＋4，圓心E(eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，半徑r＝eq\f(\r(2),2)a.由題意得eq\f(|\f(a,2)－\f(a,2)＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)a，解得a＝4.(2)∵|CD|＝eq\r((－4)2＋42)＝4eq\r(2)，∴當(dāng)△PCD面積為12時(shí)，點(diǎn)P到直線CD的距離為3eq\r(2).又圓心E到直線CD距離為2eq\r(2)(定值)，要使△PCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，只須圓E半徑eq\f(\r(2)a,2)＝5eq\r(2)，解得a＝10，此時(shí)，⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－5)2＝50.11．在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，點(diǎn)P為它的內(nèi)切圓C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、O距離的平方和的最大值和最小值．解：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則A(8,0)，B(0,6)，內(nèi)切圓C的半徑r＝eq\f(1,2)(OA＋OB－AB)＝eq\f(8＋6－10,2)＝2.∴內(nèi)切圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.設(shè)P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、O的距離的平方和為d，則d＝PA2＋PB2＋PO2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.∵點(diǎn)P(x，y)在圓C上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.∵點(diǎn)P(x，y)是圓C上的任意點(diǎn)，∴x∈[0,4]．∴當(dāng)x＝0時(shí)，dmax＝88；當(dāng)x＝4時(shí)，dmin＝72.12．(2008年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．解：(1)顯然b≠0.否則，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0)，(－2,0)，這與題設(shè)不符．由b≠0知，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b的圖象與y軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)(0，b)，故它與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程x2＋2x＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此方程的判別式4－4b>0，即b<1.所以b的取值范圍是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x2＋2x＋b＝0，得x＝－1±eq\r(1－b).于是，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是(－1－eq\r(1－b)，0)，(－1＋eq\r(1－b)，0)，(0，b)．設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因圓C過上述三點(diǎn)，將它們的坐標(biāo)分別代入圓C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((－1－\r(1－b))2＋D(－1－\r(1－b))＋F＝0，,(－1＋\r(1－b))2＋D(－1＋\r(1－b))＋F＝0，,b2＋Eb＋F＝0.))解上述方程組，因b≠0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－(b＋1)，,F＝b.))所以，圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圓C過定點(diǎn)．證明如下：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)為使(*)式對所有滿足b<1(b≠0)的b都成立，必須有1－y0＝0，結(jié)合(*)式得x02＋y02＋2x0－y0＝0.解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝1.))經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(－2,1)均在圓C上，因此，圓C過定點(diǎn)．第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組1．(2009年高考天津卷)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2eq\r(3)，則a＝________.解析：兩圓方程作差易知弦所在直線方程為：y＝eq\f(1,a)，如圖，由已知|AC|＝eq\r(3)，|OA|＝2，有|OC|＝eq\f(1,a)＝1，∴a＝1.答案：12．(2009年高考全國卷Ⅱ)已知圓O：x2＋y2＝5和點(diǎn)A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________．解析：依題意，過A(1,2)作圓x2＋y2＝5的切線方程為x＋2y＝5，在x軸上的截距為5，在y軸上的截距為eq\f(5,2)，切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).答案：eq\f(25,4)3．(2009年高考湖北卷)過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長為________．解析：∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圓心為(3,4)，半徑為eq\r(5).如圖可知，|CO|＝5，∴OP＝eq\r(25－5)＝2eq\r(5).∴tan∠POC＝eq\f(PC,OP)＝eq\f(1,2).在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝eq\f(2\r(5)×\r(5),5)＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：44．若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：將圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓心為(1，－2)，半徑為1.若直線與圓無公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離大于半徑，即d＝eq\f(|3×1＋4×(－2)＋m|,\r(32＋42))＝eq\f(|m－5|,5)>1，∴m<0或m>10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)5．(原創(chuàng)題)已知直線eq\r(3)x－y＋2m＝0與圓x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(m，n)共有________個(gè)．解析：由題意可得，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即2m－1＝n，所以2m－1－m<5，因?yàn)閙，n∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4,n＝8))，故有序?qū)崝?shù)對(m，n)共有4個(gè)．答案：4個(gè)6．(2010年南京調(diào)研)已知：以點(diǎn)C(t，eq\f(2,t))(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．(1)求證：△OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．解：(1)證明：∵圓C過原點(diǎn)O，∴OC2＝t2＋eq\f(4,t2).設(shè)圓C的方程是(x－t)2＋(y－eq\f(2,t))2＝t2＋eq\f(4,t2)，令x＝0，得y1＝0，y2＝eq\f(4,t)；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×|eq\f(4,t)|×|2t|＝4，即△OAB的面積為定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分線段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝eq\f(1,2)，∴直線OC的方程是y＝eq\f(1,2)x.∴eq\f(2,t)＝eq\f(1,2)t，解得：t＝2或t＝－2.當(dāng)t＝2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，OC＝eq\r(5)，此時(shí)圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝eq\f(1,\r(5))<eq\r(5)，圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點(diǎn)．當(dāng)t＝－2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(－2，－1)，OC＝eq\r(5)，此時(shí)圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝eq\f(1,\r(5))>eq\r(5)，圓C與直線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意舍去．∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.B組1．直線ax＋by＋b－a＝0與圓x2＋y2－x－3＝0的位置關(guān)系是________．解析：直線方程化為a(x－1)＋b(y＋1)＝0，過定點(diǎn)(1，－1)，代入圓的方程，左側(cè)小于0，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓總相交．答案：相交2．(2010年秦州質(zhì)檢)已知直線y＝eq\r(3)－x與圓x2＋y2＝2相交于A、B兩點(diǎn)，P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，則∠APB＝____________.解析：弦心距長為eq\f(\r(6),2)，半徑為eq\r(2)，所以弦AB所對的圓心角為eq\f(π,3)，又因?yàn)橥宜鶎Φ膱A周角是圓心角的一半，所以∠APB＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a與b的夾角為60°，直線xcosα＋ysinα＝0與圓(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝eq\f(1,2)的位置關(guān)系是________．解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，d＝eq\f(|cosα·cosβ＋sinα·sinβ|,\r(cos2α＋sin2α))＝|cos(α－β)|＝eq\f(\r(3),2)>eq\f(\r(2),2)＝r.答案：相離4．過點(diǎn)A(11,2)作圓x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦長為整數(shù)的共有__條．解析：方程化為(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圓心為(－1,2)，到點(diǎn)A(11,2)的距離為12，最短弦長為10，最長弦長為26，所以所求直線條數(shù)為2＋2×(25－10)＝32(條)．答案：325．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋eq\r(4－x2)}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．當(dāng)集合A∩B有4個(gè)子集時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________．解析：A∩B有4個(gè)子集，即A∩B有2個(gè)元素，∴半圓x2＋(y－1)2＝4(y≥1)與過P(2,4)點(diǎn)，斜率為k的直線有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖：A(－2,1)，kPA＝eq\f(3,4)，過P與半圓相切時(shí)，k＝eq\f(5,12)，∴eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).答案：eq\f(5,12)＜k≤eq\f(3,4)6．(2009年高考全國卷Ⅱ)已知AC、BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，eq\r(2))，則四邊形ABCD的面積的最大值為________．解析：設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d12＋d22＝OM2＝3.四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·|CD|＝2eq\r((4－d12)(4－d22))≤8－(d12＋d22)＝5.7．(2010年寧波調(diào)研)已知圓C：x2＋y2＋bx＋ay－3＝0(a、b為正實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x＋y＋2＝0的對稱點(diǎn)都在圓C上，則eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)的最小值為________．解析：由題意，知圓心在直線上，所以－eq\f(b,2)＋(－eq\f(a,2))＋2＝0，∴eq\f(a,4)＋eq\f(b,4)＝1，則(eq\f(1,a)＋eq\f(3,b))(eq\f(a,4)＋eq\f(b,4))＝1＋eq\f(b,4a)＋eq\f(3a,4b)≥1＋2eq\r(\f(b,4a)·\f(3a,4b))＝1＋eq\f(\r(3),2).8．設(shè)圓O：x2＋y2＝eq\f(16,9)，直線l：x＋3y－8＝0，點(diǎn)A∈l，使得圓O上存在點(diǎn)B，且∠OAB＝30°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．解析：依題意點(diǎn)A∈l，設(shè)A(x0，eq\f(8－x0,3))．過點(diǎn)A作圓O的切線，切點(diǎn)為M，則∠OAM≥∠OAB＝30°.從而sin∠OAM≥sin30°＝eq\f(1,2)，即eq\f(|OM|,|OA|)≥sin30°＝eq\f(1,2)，就是|OA|2≤4(|OM|2)＝eq\f(64,9)，x02＋(eq\f(8－x0,3))2≤eq\f(64,9)，5x02－8x0≤0，解得x0∈[0，eq\f(8,5)]．答案：[0，eq\f(8,5)]9．(2009年高考江西卷)設(shè)直線系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，對于下列四個(gè)命題：A．存在一個(gè)圓與所有直線相交B．存在一個(gè)圓與所有直線不相交C．存在一個(gè)圓與所有直線相切D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是________(寫出所有真命題的代號)．解析：xcosθ＋ysinθ－2sinθ－1＝0.則點(diǎn)(0,2)到其直線的距離為d＝eq\f(|0·cosθ＋2sinθ－2sinθ－1|,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1.∴說明此直線是圓心為(0,2)，半徑為1的圓的切線．圓心為(0,2)，半徑大于等于1的圓與所有直線相交，A對；圓心為(0,2)，半徑小于1的圓與所有直線不相交，B對；圓心為(0,2)，半徑等于1的圓與所有直線都相切，C對；因?yàn)镸中的直線與以(0,2)為圓心，半徑為1的圓相切，所以M中的直線所能圍成的正三角形面積不都相等．如圖△ABC與△ADE均為等邊三角形而面積不等．答案：A、B、C10．已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B兩點(diǎn)，(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程．解：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋2y－8＝0,x2＋y2－2x＋10y－24＝0))?x－2y＋4＝0.(2)由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中得：y2－2y＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2))，即A(－4,0)，B(0,2)，又圓心在直線y＝－x上，設(shè)圓心為M(x，－x)，則|MA|＝|MB|，解得M(－3,3)，∴⊙M：(x＋3)2＋(y－3)2＝10.11．(2010年江蘇徐州調(diào)研)已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l1過定點(diǎn)A(3,0)，且與圓C相切．(1)求直線l1的方程；(2)設(shè)圓C與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，M是圓C上異于P、Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′.求證：以P′Q′為直徑的圓C′總過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．解：(1)∵直線l1過點(diǎn)A(3,0)，且與圓C：x2＋y2＝1相切，設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，則圓心O(0,0)到直線l1的距離為d＝eq\f(|3k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),4)，∴直線l1的方程為y＝±eq\f(\r(2),4)(x－3)．(2)對于圓C：x2＋y2＝1，令y＝0，則x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直線l2過點(diǎn)A且與x軸垂直，∴直線l2方程為x＝3.設(shè)M(s，t)，則直線PM的方程為y＝eq\f(t,s＋1)(x＋1)．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝\f(t,s＋1)(x＋1)，))得P′(3，eq\f(4t,s＋1))．同理可得Q′(3，eq\f(2t,s－1))．∴以P′Q′為直徑的圓C′的方程為(x－3)(x－3)＋(y－eq\f(4t,s＋1))(y－eq\f(2t,s－1))＝0，又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋eq\f(6s－2,t)y＝0，若圓C′經(jīng)過定點(diǎn)，只需令y＝0，從而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±2eq\r(2)，∴圓C′總經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(3±2eq\r(2)，0)．12．(2009年高考江蘇卷)如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2eq\r(3)，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長為2eq\r(3)，所以d＝eq\r(22－(\r(3))2)＝1.由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|1－k(－3－4)|,\r(1＋k2))，從而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－eq\f(7,24)，所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－eq\f(1,k)(x－a)．因?yàn)閳AC1和圓C2的半徑相等，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即eq\f(|1－k(－3－a)－b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|5＋\f(1,k)(4－a)－b|,\r(1＋\f(1,k2)))，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)·k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因?yàn)閗的取值有無窮多個(gè)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－2＝0，,b－a＋3＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋8＝0，,a＋b－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,2)，,b＝－\f(1,2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝\f(13,2).))這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P1(eq\f(5,2)，－eq\f(1,2))或點(diǎn)P2(－eq\f(3,2)，eq\f(13,2))．經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿足題目條件．第五節(jié)空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)組1．(2009年高考安徽卷)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________．解析：設(shè)M的坐標(biāo)為(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)2．在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則實(shí)數(shù)x的值為________．解析：因?yàn)椤鰽BC是以BC為底邊的等腰三角形，則有|AB|＝|AC|，∴eq\r((10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2)＝eq\r((x－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2)，化簡得(x－4)2＝4，∴x＝2或6.答案：2或63．已知x、y、z滿足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，則x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：x2＋y2＋z2可看成球面上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其最小值為(eq\r(32＋42＋(－5)2)－eq\r(2))2＝(4eq\r(2))2＝32.答案：324．(2010年廣州調(diào)研)與A(3,4,5)、B(－2,3,0)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M(x，y，z)滿足的條件是________．解析：由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化簡得10x＋2y＋10z－37＝0.答案：10x＋2y＋10z－37＝05．(原創(chuàng)題)已知A(3,5，－7)和點(diǎn)B(－2,4,3)，點(diǎn)A在x軸上的射影為A′，點(diǎn)B在z軸上的射影為B′，則線段A′B′的長為________．解析：可知A′(3,0,0)，B′(0,0,3)，∴|A′B′|＝eq\r(32＋02＋(－3)2)＝3eq\r(2).6．如圖所示，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，P、Q分別是D′B，B′C的中點(diǎn)，求PQ的長．解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD′分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，B(a，a,0)，D′(0,0，a)，∵P(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，∴Q(eq\f(a,2)，a，eq\f(a,2))．∴|PQ|＝eq\r((\f(a,2)－\f(a,2))2＋(\f(a,2)－a)2＋(\f(a,2)－\f(a,2))2)＝eq\f(a,2).B組1．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，則△ABC的重心坐標(biāo)為______．解析：三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，則其重心為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)，\f(z1＋z2＋z3,3)))，故所求重心為(4，eq\f(7,3)，2)．答案：(4，eq\f(7,3)，2)2．設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2，－3,5)關(guān)于xOy面的對稱點(diǎn)，則|AB|等于______．解析：點(diǎn)A關(guān)于xOy面的對稱點(diǎn)為B(2，－3，－5)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|5－(－5)|＝10.3．正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，則正方體的體積為______．解析：設(shè)棱長為a，則eq\r(3)a＝eq\r(42＋(－4)2＋42)，∴a＝4，∴V＝64.4．(2010年江蘇宜興模擬)已知B是點(diǎn)A(3,7，－4)在xOy平面上的射影，則eq\o(OB,\s\up6(→))2等于______．解析：A在xOy平面上射影為B(3,0，－4)，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,0，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))2＝25.5．在z軸上與點(diǎn)A(－4,1,7)和點(diǎn)B(3,5，－2)等距離的點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.解析：設(shè)z軸上的點(diǎn)為(0,0，z)，則根據(jù)題意有eq\r((－4－0)2＋(1－0)2＋(7－z)2)＝eq\r((3－0)2＋(5－0)2＋(－2－z)2)，則17＋49－14z＝9＋25＋4＋4z，∴z＝eq\f(14,9).故該點(diǎn)是(0,0，eq\f(14,9))．6．在空間直線坐標(biāo)系中，方程x2－4(y－1)2＝0表示的圖形是__________．解析：x2－4(y－1)2＝0化為[x－2(y－1)][x＋2(y－1)]＝0，∴x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0，表示兩個(gè)平面．答案：兩個(gè)平面7．在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A(3，－1,2)，其中心M的坐標(biāo)為(0,1,2)，則該正方體的棱長為__________．解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)所以C1(－3,3,2)．正方體的體對角線長為AC1＝eq\r([3－(－3)]2＋(－1－3)2＋(2－2)2)＝2eq\r(13)，所以正方體棱長為eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3).答案：eq\f(2\r(39),3)8．已知ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．解析：由平行四邊形中對角線互相平分的性質(zhì)知，AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)，AC的中點(diǎn)O(eq\f(7,2)，4，－1)，設(shè)D(x，y，z)，則eq\f(7,2)＝eq\f(x＋2,2)，4＝eq\f(－5＋y,2)，－1＝eq\f(1＋z,2)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．9．如圖所示，在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1與BO1的交點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)是______．解析：∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，∵A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,3,0)，故B1(2,3,2)．∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(2,2))，即M(1,1.5,1)．答案：(1,1.5,1)10．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分別是棱AB、B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE、EF的長度．解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(xiàn)(1,0,0)，∴|DE|＝eq\r((1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2)＝eq\r(5)，|EF|＝eq\r((0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2)＝eq\r(6).11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x軸上求一點(diǎn)P，使|