八年級下冊數學教案人教版

第十六章分式

16.1分式

16.1.1從分數到分式

一、教學目標

1.了解分式、有理式的概念.

2.理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件；能熟練地求出分式有意義

的條件，分式的值為零的條件.

二、重點、難點

1.重點：理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

2.難點：能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

三、課堂引入

1.讓學生填寫P4［思考］,學生自己依次填出：10,s,200,V.

7a33s

2.學生看P3的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以

最大航速順流航行100千米所用實踐，與以最大航速逆流航行60千米所用時間

相等，江水的流速為多少？

請同學們跟著教師一起設未知數，列方程.

設江水的流速為x千米/時.

輪船順流航行100千米所用的時間為100小時，逆流航行60千米所用時間60

小時,20v20v

所以100=60.

20v20v

3.以上的式子100,60,s,v,有什么共同點？它們與分數有什么相同點和不

20v20vas

同點?

五、例題講解

P5例1.當x為何值時，分式有意義.

［分析］已知分式有意義，就可以知道分式的分母不為零，進一步解

出字母x的取值范圍.

［提問］如果題目為：當x為何值時，分式無意義.你知道怎么解題嗎？這樣可以

使學生一題二用，也可以讓學生更全面地感受到分式及有關概念.

(補充)例2.當m為何值時，分式的值為0?2

(1ml(2)mlm3mm2ml

1分母不能為零I。2分子為零，這［分析］分式的值為0時，必須同時滿足兩個

條件：o??

樣求出的m的解集中的公共部分，就是這類題目的解.

［答案］(1)m=0(2)m=2(3)m=l

六、隨堂練習

1.判斷下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4,7,9y,m4,8y3,1

xx9205y2

2.當x取何值時，下列分式有意義？

(1)(2)(3)x2432xx2

3x52x51

3.當x為何值時，分式的值為0?

x21x77x(1)(2)xx5x213x

七、課后練習

1.列代數式表示下列數量關系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1)甲每小時做x個零件，則他8小時做零件個，做80個零件需小

時.

(2)輪船在靜水中每小時走a千米，水流的速度是b千米/時，輪船的順流速

度是千米/時，輪船的逆流速度是千米/時.

(3)x與y的差于4的商是

2.當x取何值時，分式x21

3x2無意義？

3.當x為何值時，分式xl的值為0?

XX

八、答案：

六、1.整式：9x+4,9y,m4分式：7,8y3

205x,1

y2x9

2.(1)x齊2(2)xW3

2(3)x科2

3.(1)x=-7(2)x=0(3)x=-l

七、1.180sx,xy;整式：8x,a+b,xy;ab44

分式：80,sxab

2.2

33.x=-l

課后反思：

2

16.1.2分式的基本性質

一、教學目標

1.理解分式的基本性質.

2.會用分式的基本性質將分式變形.

二、重點、難點

1.重點：理解分式的基本性質.

2.難點：靈活應用分式的基本性質將分式變形.

三、例、習題的意圖分析

1.P7的例2是使學生觀察等式左右的已知的分母(或分子)，乘以或除以了什

么整式，然后應用分式的基本性質，相應地把分子(或分母)乘以或除以了這個

整式，填到括號里作為答案，使分式的值不變.

2.P9的例3、例4地目的是進一步運用分式的基本性質進行約分、通分.值得

注意的是：約分是要找準分子和分母的公因式，最后的結果要是最簡分式；通分

是要正確地確定各個分母的最簡公分母，一般的取系數的最小公倍數，以及所有

因式的最高次越的積，作為最簡公分母.

教師要講清方法，還要及時地糾正學生做題時出現的錯誤，使學生在做提示加

深對相應概念及方法的理解.

3.P11習題16.1的第5題是：不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都

不含“一，，號.這一類題教材里沒有例題，但它也是由分式的基本性質得出分子、分

母和分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變.

“不改變分式的值，使分式的分子和分母都不含號”是分式的基本性質的應

用之一，所以補充例5.

四、課堂引入

15313與9與相等嗎？為什么？

420248315932.說出與與之間變形的過程，并說出變形依據？420248

3.提問分數的基本性質，讓學生類比猜想出分式的基本性質.

五、例題講解

P7例2.填空：

［分析］應用分式的基本性質把已知的分子、分母同乘以或除以同一個整式，使

分式的值不變.

P11例3.約分：

［分析］約分是應用分式的基本性質把分式的分子、分母同除以同一個整式，使

分式的值不變.所以要找準分子和分母的公因式，約分的結果要是最簡分式.

P11例4.通分：

［分析］通分要想確定各分式的公分母，一般的取系數的最小公倍數，以及所有

因式的最高次募的積，作為最簡公分母.

(補充)例5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含號.

3

6b,x,2mn5a3y,7m,3x。

6n4y

［分析］每個分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號，其中兩個符號同時

改變，分

式的值不變.一

解：6b=6b,x=x,2m=2m,5a5a3y3ynn

~7m

6n=7m

6n,3x3x

4y=4y。

六、隨堂練習

1.填空：2x26a3b23a3

(1)x23x=x3(2)8b3=

blx2y2

(3)ac=xy

ancn(4)xy2=

2.約分：

1)3a2b8m2n4x22(xy)3

6ab2c(2)2mn2(3)yz3

(16xyz5(4)yx

3.通分：

(1)1

2ab3和2

5a2b2c(2)a

2xy和b

3x2

(3)3c2ab2和a

8bc2(4)1

yl和1

yi

4.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含號.~x3ya35

3ab2(2)17b2(3)a(ab)2

(1)13x2(4)m

七、課后練習

1.判斷下列約分是否正確：

(1)ac

bc=a

b(2)xyl

x2y2=xy

(3)mn

mn=O

2.通分：

(1)1

3ab2和2x1x1

7a2b(2)x2x和x2x

3.不百變分式的值，使分子第一項系數為正，分式本身不帶號.

(1)2ab

ab(2)x2y

3xy

4

八、答案：

六、1.(l)2x(2)4b(3)bn+n(4)x+y

2.(1)

a4mx2

(2)(3)(4)-2(x-y)22bcn4z

3.通分：

15ac4b2=,=

5a2b2c1Oa2b3c2ab310a2b3c

ba3ax2by

(2)=,=

(1)

2xy6x2y(3)3cl2c3

2ab2=8ab2c2

(4)lyyl=l(yl)(yl)4.(I)x3ya33ab2(2)17b2

課后反思：

3x26x2y

a8bc2=ab8ab2c2lyl=yl

(yi)(yi)

3)5a(abl3x2

(4))2

m

5

16.2分式的運算

16.2.1分式的乘除(一)

一、教學目標：理解分式乘除法的法則，會進行分式乘除運算.

二、重點、難點

1.重點：會用分式乘除的法則進行運算.

2.難點：靈活運用分式乘除的法則進行運算.

三、例、習題的意圖分析

1.P13本節(jié)的引入還是用問題1求容積的高，問題2求大拖拉機的工作效率是

小拖拉機的工作效率的多少倍，這兩個引例所得到的容積的高是

小拖拉機的工作效率的vm，大拖拉機的工作效率是abnab倍.引出

了分式的乘除法的實際存在的意義，進一步引出mn

P14［觀察］從分數的乘除法引導學生類比出分式的乘除法的法則.但分析題意、

列式子時，不易耽誤太多時間.

2.P14例1應用分式的乘除法法則進行計算，注意計算的結果如能約分，應化

簡到最簡.

3.P14例2是較復雜的分式乘除，分式的分子、分母是多項式，應先把多項式

分解因式，再進行約分.

4.P14例3是應用題，題意也比較容易理解，式子也比較容易列出來，但要注

意根據問題的實際意義可知a>1,因止匕(a-1)=a-2a+1<a-2+1,即(a-1)<a-1.這

一點要給學生講清楚，才能分析清楚“豐收2號”單位面積產量高.(或用求差法

比較兩代數式的大小)

四、課堂引入

1.出示P13本節(jié)的引入的問題1求容積的高

小拖拉機的工作效率的22222vm，問題2求大拖拉機的工作效率是

abnab倍.mn

［引入］從上面的問題可知，有時需要分式運算的乘除本節(jié)我們就討論數量關系

需要進行分式的乘除運算.我們先從分數的乘除入手，類比出分式的乘除法法則.

1.P14［觀察］從上面的算式可以看到分式的乘除法法則.

3.［提問］P14［思考］類比分數的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法則？類

似分數的乘除法法則得到分式的乘除法法則的結論.

五、例題講解

P14例1.

［分析］這道例題就是直接應用分式的乘除法法則進行運算.應該注意的是運算

結果應約分到最簡，還應注意在計算時跟整式運算一樣，先判斷運算符號，在計

算結果.

P15例2.

［分析］這道例題的分式的分子、分母是多項式，應先把多項式分解因式，再進

行約分.結果的分母如果不是單一的多項式，而是多個多項式相乘是不必把它們

展開.

P15例.

6

［分析］這道應用題有兩問，第一問是：哪一種小麥的單位面積產量最高？先分

別求出“豐收1號”、“豐收2號”小麥試驗田的面積，再分別求出“豐收1號”、“豐

收2號”小麥試驗田的單位面積產量，分別是500、500,還要判斷出以上兩個分

式的值，哪一a21al2

個值更大.要根據問題的實際意義可知a>1,因此(a-1尸a-2a+1<a-2+1,即

(a-l)<a-l,可22222得出“豐收2號”單位面積產量高.

六、隨堂練習

計算

(1)c2a2b2

ab(2)n24m22

c2m5n3(3)y7xx

(4)-8xy2y⑸屹42

y26y9

5xa22alal

a2(6)4a4y2(3y)

七、課后練習

計算

(1)x2y2

x1(2)5blObc(3)12xy3y_8x2y

3ac21a5a

(4)a24b2

3ab2ab(5)x2x(6)42(x2y2)a2bxl(4x)xx2

35(yx)3

八、答案：

六、(1)ab(2)(3)2~2my(4)-20x(5)(al)(a2)

5nl4(al)(a2)

(6)3y

y2.

七、(1)~1(2)~7b(3)~3(4)a2b

x2c210ax3b

(5)x(6)6x(xy)

lx5(xy)2

課后反思：

7

16.2.1分式的乘除(二)

一、教學目標：熟練地進行分式乘除法的混合運算.

二、重點、難點

1.重點：熟練地進行分式乘除法的混合運算.

2.難點：熟練地進行分式乘除法的混合運算.

三、例、習題的意圖分析

1.P17頁例4是分式乘除法的混合運算.分式乘除法的混合運算先把除法統(tǒng)

一成乘法運算，再把分子、分母中能因式分解的多項式分解因式，最后進行約分,

注意最后的結果要是最簡分式或整式.

教材P17例4只把運算統(tǒng)一乘法，而沒有把25x-9分解因式，就得出了最后的結

果，教師在見解是不要跳步太快，以免學習有困難的學生理解不了，造成新的疑

點.

2,P17頁例4中沒有涉及到符號問題，可運算符號問題、變號法則是學生學

習中重點，也是難點，故補充例題，突破符號問題.

四、課堂引入

計算

⑴yx(y)⑵3x(3x)(1)xyx4yy2x

五、例題講解

(P17)例4.計算

［分析］是分式乘除法的混合運算.分式乘除法的混合運算先統(tǒng)一成為乘法運

算，再把分子、分母中能因式分解的多項式分解因式，最后進行約分，注意最后

的計算結果要是最簡的.

(補充)例.計算2

3ab28xy3x(l)3(2)2xy9ab(4b)

3ab28xy4b=3(2)(先把除法統(tǒng)一成乘法運算)2xy9ab3x

3ab28xy4b=32(判斷運算的符號)2xy9ab3x

16b2

(約分到最簡分式)9ax3

2x6(x3)(x2)(x3)3x44x4x2

2x61(x3)(x2)二(先把除法統(tǒng)一成乘法運算)3x44x4x2x3(2)

=2(x3)l(x3)(x2)(分子、分母中的多項式分解因式)3x(2x)2x3

8

=2(x3)

(x2)21x3(x3)(x2)

~&3)=2

x2

六、隨堂練習

計算(l)3b2

16abe

2a2a

b)(2)5c6220c32(2a2b4(6abc)30a3bl0

(3)3(xy)2

492x22xyy2xy

(yx)3(xy)yx(4)(xyx)xyx2

七、課后練習

時算2

(I)8x2y43xx2y(2)a26a93aa

4y6(6z)4b22b3a9y24y4

2y61

y3126yx2

(3)9y2(4)xyxy

x2xy(xy)y2xy

八、答案：

3a2

4c(2)5(xy)4

六.(1)8c4(3)3(4)-y

七.⑴36xza22yl

y3(2)b2(3)12(4)~x

課后反思：

9

16.2.1分式的乘除(三)

一、教學目標：理解分式乘方的運算法則，熟練地進行分式乘方的運算.

~點、點

1.重點；熟豢加進行分式乘方的運算.

2.難點：熟練地進行分式乘、除、乘方的混合運算.

三、例、習題的意圖分析

1.P17例5第(1)題是分式的乘方運算，它與整式的乘方一樣應先判

斷乘方的結果的符號，在分別把分子、分母乘方.第(2)題是分式的乘除與乘

方的混合運算，應對學生強調運算順序：先做乘方，再做乘除..

2.教材P17例5中象第(1)題這樣的分式的乘方運算只有一題，對于初學者

來說，練習的量顯然少了些，故教師應作適當的補充練習洞樣象第(2)題這樣

的分式的乘除與乘方的混合運算，也應相應的增加幾題為好.

分式的乘除與乘方的混合運算是學生學習中重點，也是難點，故補充例題，強

調運算順序，不要盲目地跳步計算，提高正確率，突破這個難點.

四、課堂引入

計算下列各題：

a2abb

a4a(3)()=bb(1)()=aa3aaa=()(2)()==()bbbbbaaa=

()bbb

an［提問］由以上計算的結果你能推出0(n為正整數)的結果嗎？b

五、例題講解

(P17)例5.計算

［分析］第(1)題是分式的乘方運算，它與整式的乘方一樣應先判斷乘方的結果

的符號，再分別把分子、分母乘方.第(2)題是分式的乘除與乘方的混合運算，

應對學生強調運算順序：先做乘方，再做乘除.

六、隨堂練習

1.判斷下列各式是否成立，并改正.

~3b29b2b3

2b5

)=(1)()=(2)(222a2a2a4a

2y38y33x29x2

)=3(4)()=2(3)(3xxbxb29x

2.計算3a2b35x2

2a3

2ay3)(l)((3))(2)(()()~2c33y3xy22x2

x2y3x3

2x2y2

)05)()0(xy4)(4)(2zzyx

10

(6)(y23x3x2)()3()2x2y2ay

七、課后練習

計算2b2

3(1)(3)aa22(2)，nl)b

ab2a3c3

2c4

2a4)()(a2b2)(3)(2)(3)()(4)(abbacabab

八、答案：

~3b29b2b3

2b6

)=2六、1.(1)不成立，(尸(2)不成立，(2a2a4a24a

2y33x28y39x2

)=)=2(3)不成立，((4)不成立，(2^3xxbx2bxb27x

27a6b3y325x48a3x4

2.(1)(2)~(3)~(4)~49228cz9y9y

Ia3y2

(5)2(6)2x4x

8b6a4

七、(1)(2)2n29ababc2(3)2(4)ba

課后反思：

11

16.2.2分式的加減(―)

一、教學目標：(1)熟練地進行同分母的分式加減法的運算.

C2)會把異分母的分式通分，轉化成同分母的分式相加減.

~點、點

1.重點1、熟豢加進行異分母的分式加減法的運算.

2.難點：熟練地進行異分母的分式加減法的運算.

三、例、習題的意圖分析

1.P18問題3是一個工程問題，題意比較簡單，只是用字母n天來表示甲工

程隊完成一項工程的時間，乙工程隊完成這一項工程的時間可表示為n+3天，兩

隊共同工作一天完成這項工程的11.這樣引出分式的加減法的實際背景，問題4

的目的與問題3一樣，nn3

從上面兩個問題可知，在討論實際問題的數量關系時，需要進行分式的加減法

運算.

2.P19［觀察］是為了讓學生回憶分數的加減法法則，類比分數的加減法，分式

的加減法的實質與分數的加減法相同，讓學生自己說出分式的加減法法則.

3.P20例6計算應用分式的加減法法則.第(1)題是同分母的分式減法的運算,

第二個分式的分子式個單項式，不涉及到分子變號的問題，比較簡單，所以要補

充分子是多項式的例題，教師要強調分子相減時第二個多項式注意變號；

第(2)題是異分母的分式加法的運算，最簡公分母就是兩個分母的乘積，沒

有涉及分母要因式分解的題型.例6的練習的題量明顯不足，題型也過于簡單，

教師應適當補充一些題，以供學生練習，鞏固分式的加減法法則.

(4)P21例7是一道物理的電路題，學生首先要有并聯(lián)電路總電阻R與各支

路電阻Rl,R2,,,,Rn的關系為111.1.若知道這個公式，就比較容易地用

含有R1的式子

RRlR2Rn

表示R2,列出1］RR11,下面的計算就是異分母的分式加法的運算了，得到

R150

12R150,再利用倒數的概念得到R的結果.這道題的數學計算并不難，但是物

理的知RR1(R15O)

識若不熟悉，就為數學計算設置了難點.鑒于以上分析，教師在講這道題時要根

據學生的物理知識掌握的情況，以及學生的具體掌握異分母的分式加法的運算的

情況，可以考慮是否放在例8之后講.

四、課堂堂引入

1.出示P18問題3、問題4,教師引導學生列出答案.

引語：從上面兩個問題可知，在討論實際問題的數量關系時，需要進行分式的

加減法運算.

2.下面我們先觀察分數的加減法運算，請你說出分數的加減法運算的法則嗎？

3.分式的加減法的實質與分數的加減法相同，你能說出分式的加減法法則？

4.請同學們說出

確定方法嗎？

五、例題講解

12111,,的最簡公分母是什么？你能說出最簡公分母的234222xy3xy9xy

(P20)例6.計算

［分析］第(1)題是同分母的分式減法的運算，分母不變，只把分子相減，第

二個分式的分子式個單項式，不涉及到分子是多項式時，第二個多項式要變號的

問題，比較簡單；第

(2)題是異分母的分式加法的運算，最簡公分母就是兩個分母的乘積.

(補充)例.計算~

(1)x3yx2y2x3yx2y2x2y2x2y2

［分析］第(1)題是同分母的分式加減法的運算，強調分子為多項式時，應把

多項事春作二個整件他上括號參加運算，結果也要約分化成最簡分式.解：

x3yx2y2x3y.222222xyxyxy

=(x3y)(^2y.)(2x3y)22xy

2x2y22xy

2(xy)(xy)(xy)

2xy

11x62x362xx9===(2)

［分析］第(2)題是異分母的分式加減法的運算，先把分母進行因式分解，再

確正年阿公分母，進行通分，結果要化為最簡分式.I?：11x62x362xx9

11x6=x32(x3)(x3)(x3)

=2(x3)(ix)(x3)122(x3)(x3)

(x26x9)=2(x3)(x3)

~63)2'

=2(x3)(x3)

=x32x6

六、隨堂練習

計算(1)3a2babbam2nn2m(2)222nmmnnm5ab5ab5ab

13

(3)1

a363a6b5a6b4a5b7a8b

a29(4)abababab

七、課后練習

計算⑴5a6b3b4aa3bbaa

3a2bc3ba2c3cba2(2)3

a2b22ba2b23a4bb2a2

(3)b2a2

abbaabl(4)113x

6x4y6x4y4y26x2

八、答案：

四.(1)5a2b

5a2b(2)3m3n

nm(3)1

a3(4)1

五.(l)2a3bl

a2b(2)a2b2(3)1(4)3x2y

課后反思：

14

16.2.2分式的加減(二)

一、教學目標：明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運算.

~點、點

1.重點；熟豢加進行分式的混合運算.

2.難點：熟練地進行分式的混合運算.

三、例、習題的意圖分析

1.P21例8是分式的混合運算.分式的混合運算需要注意運算順序，式與數

有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結果分子、分母要進

行約分，注意最后的結果要是最簡分式或整式.

例8只有一道題，訓練的力度不夠，所以應補充一些練習題，使學生熟練掌握

分式的混合運算.

2.P22頁練習1：寫出第18頁問題3和問題4的計算結果.這道題與第一節(jié)課

相呼應，也解決了本節(jié)引言中所列分式的計算，完整地解決了應用問題.

四、課堂引入

1.說出分數混合運算的順序.

2.教師指出分數的混合運算與分式的混合運算的順序相同.

五、例題講解

(P21)例8.計算

[分析]這道題是分式的混合運算，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算

順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結果分子、分母要進行約分，注意運算

的結果要是最簡分式.

(補充)”

(1)(x2xl4x)xx22xx24x4

[分析].這道題先做括號里的減法，再把除法轉化成乘法，把分母的“」號提到

分式本身的河邊..

解：(x2x14x)22xx2xx4x4

x2x1x=[]2x(x2)(x2)(x4)

=[(x2)(x2)x(xl)x]22(x4)x(x2)x(x2)

x24x2xx=2(x4)x(x2)

=1x24x4

2xyx4yx2

(2)4242xyxyxyxy

15

［分析］這道題先做乘除，再做減法，把分子的號提到分式本身的前邊.

xy2x4y

xyxyx2

解：x4y4x2y22

=x

Wy

xyx4yx2y2

(x2y2)(x2y2)x2xy2x2

=(xy)(xy)~y

x2y2=xy(yx)

(xy)(xy)=xy

xy

六、隨堂練習

計算(1)(X2

x24

2x)x2

2x(2)(a

abb

ba)(1

al

b)

(3)(3

a21221

a24)(a2a2)

七、課后練習

1.好算(i)(iy

xy)(ix

xy)(2)(a2

a22aal

a24a4)a24a

aa2(3)(1

xllxy

yz)xyyzzx

2.計算(1

a21

a2)4

a2,并求出當a-1的值.

八、答案：

六、(1)2x(2)ab

ab(3)3

七、l.(l)xylla2

x2y2(2)a2(3)z2.1

a24,-3

課后反思：

16

16.2.3整數指數越

一、教學目標：

1.知道負整數指數募an=l(a/),n是正整數).an

2.掌握整數指數募的運算性質.

3.會用科學計數法表示小于1的數.

~點、點

1.重點；掌箱魯數指數幕的運算性質.

2.難點：會用科學計數法表示小于1的數.

三、例、習題的意圖分析

1.P23思考提出問題，引出本節(jié)課的主要內容負整數指數募的運算性質.

2.P24觀察是為了引出同底數的募的乘法：aaa

質，在整數范圍里也都適用.

3.P24例9計算是應用推廣后的整數指數越的運算性質，教師不要因為這部

分知識已經講過，就認為學生已經掌握，要注意學生計算時的問題，及時矯正，

以達到學生掌握整數指數募的運算的教學目的.

4.P25例10判斷下列等式是否正確？是為了類比負數的引入后使減法轉化為

加法，而得到負指數募的引入可以使除法轉化為乘法這個結論，從而使分式的運

算與整式的運算統(tǒng)一起來.

5.P25最后一段是介紹會用科學計數法表示小于1的數.用科學計算法表示小

于1的數，運用了負整數指數募的知識.用科學計數法不僅可以表示小于1的正

數，也可以表示一個負數.

6.P26思考提出問題，讓學生思考用負整數指數越來表示小于1的數，從而歸

納出：對于一個小于1的數，如果小數點后至第一個非0數字前有幾個0,用科

學計數法表示這個數時，10的指數就是負幾.

7.P26例11是一個介紹納米的應用題，使學生做過這道題后對納米有一個新

的認識.更主要的是應用用科學計數法表示小于1的數.

四、課堂引入

1.回憶正整數指數易的運算性質：

(1)同底數的募的乘法：aaa

(2)幕的乘方:(a)a

nmnmnmnmnmnmn,這條性質適用于m,n是任意整數的結論，說明正整數指數

越的運算性質具有延續(xù)性.其它的正整數指數褰的運算性(m,n是正整數)；(m,n

是正整數)；n(3)積的乘方：(ab)ab(n是正整數)；

(4)同底數的越的除法：aaamnmnn(a^O,m,n是正整數，

m>n)；

anan

(5)商的乘方：()n(n是正整數)；bb

2.回憶0指數易的規(guī)定，即當存0時，a1.0

17

3.你還記得1納米=10米，即1納米=

35-91米嗎？1091a3a3

4.計算當存0時，aa=5=32=2,再假設正整數指數募的運算性質aaaa

amanamn(a#0,m,n是正整數，m>n)中的m>n這個條件去掉，那么

a3a5=a缶5=a2.于是得到a2=

正整數時，anl(a#0),就規(guī)定負整數指數褰的運算性質：當n是2a=1(a知).

na

五、例題講解

(P24)例9.計算

［分析］是應用推廣后的整數指數募的運算性質進行計算，與用正整數

指數褰的運算性質進行計算一樣，但計算結果有負指數嘉時，要寫成分式形式.

(P25)例10.判斷下列等式是否正確？

［分析］類比負數的引入后使減法轉化為加法，而得到負指數募的引入可以使除

法轉化為乘法這個結論，從而使分式的運算與整式的運算統(tǒng)一起來，然后再判斷

下列等式是否正確.

(P26)例11.

［分析］是一個介紹納米的應用題，是應用科學計數法表示小于1的數.

六、隨堂練習

1.填空

(1)-2=

02(2)(-2)=(3)(-2)=-3-320(4)2=

(5)2=(6)(-2)=

2.計算

⑴(xy)(2)xy2(xy)

七、課后練習

1.用科學計數法表示下列各數：

0.00004,-0.034,0.00000045,0.003009

2.計算

(1)(3310)3(4310)(2)(2310)-(10)

八、答案：

六、1.(1)-4(2)4(3)1(4)1(5)-83-32-333-222-2-23(3)(3xy)

-(xy)2-22-2311(6)~88

yx69xl0

2.(1)4(2)4(3)7xyy

七、1.(1)4310(2)3.4310(3)4.5310(4)3.009310

2.(1)1.2310(2)4310

課后反思:

18-53-5-2-7-3

16.3分式方程(一)

一、教學目標：

1.了解分式方程的概念，和產生增根的原因.

2.掌握分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢

驗一個數是不是原方程的增根.

二、重點、難點

1.重點：會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗一個數是不是

原方程的增根.

2.難點：會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗一個數是不是

原方程的增根.

三、例、習題的意圖分析

1.P31思考提出問題，引發(fā)學生的思考，從而引出解分式方程的解法以及產

生增根的原因.

2.P32的歸納明確地總結了解分式方程的基本思路和做法.

3.P33思考提出問題，為什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就

是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的

解，引出分析產生增根的原因，及P33的歸納出檢驗增根的方法.

4.P34討論提出P33的歸納出檢驗增根的方法的理論根據是什么？

5.教材P38習題第2題是含有字母系數的分式方程，對于學有余力的學生，

教師可以點撥一下解題的思路與解數字系數的方程相似，只是在系數化1時，要

考慮字母系數不為0,才能除以這個系數.這種方程的解必須驗根.

四、課堂引入

1.回憶一元一次方程的解法，并且解方程

2.提出本章引言的問題：

一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100

千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流速為多

少？

分析：設江水的流速為v千米/時，根據“兩次航行所用時間相同”這一等量關系,

得到方程x22xW14610060.20v20v

像這樣分母中含未知數的方程叫做分式方程.

五、例題講解

(P34)例1.解方程

［分析］找對最簡公分母x(x-3),方程兩邊同乘x(x-3),把分式方程轉化

為整式方程，整式方程的解必須驗根

這道題還有解法二：利用比例的性質

“19

乘最簡公分母(x-l)(x+2),整式方程的解必須驗根.

六、隨堂練習

解方程(1)3

x22

x6(2)xl3

xl6

x21

(3)xl

xl4

xll(4)2xx

22x1x22

七、課后練習

1.解方程(1)2164x7

5xlx0(2)3x8183x(3)2

x2x34

xxxlO(4)153

22xl2x2'4

2.X為何值時，代數式2x9

x312

x3x的值等于2?

八、答案：

六、(1)x=18(2)原方程無解(3)x=l(4)x=4

5

七、1.(1)x=3(2)x=3(3)原方程無解(4)x=l2.x=3

2

課后反思：

20

16.3分式方程(二)

一、教學目標：

1.會分析題意找出等量關系.

2.會列出可化為一元一次方程的分式方程解決實際問題.

二、重點、難點

1.重點：利用分式方程組解決實際問題.

2.難點：列分式方程表示實際問題中的等量關系.

三、例、習題的意圖分析

本節(jié)的P35例3不同于舊教材的應用題有兩點：(1)是一道工程問題應用題，

它的問題是甲乙兩個施工隊哪一個隊的施工速度快？這與過去直接問甲隊單獨

干多少天完成或乙隊單獨干多少天完成有所不同，需要學生根據題意，尋找未知

數，然后根據題意找出問題中的等量關系列方程.求得方程的解除了要檢驗外，

還要比較甲乙兩個施工隊哪一個隊的施工速度快，才能完成解題的全過程(2)

教材的分析是填空的形式，為學生分析題意、設未知數搭好了平臺，有助于學生

找出題目中等量關系，列出方程.

P36例4是一道行程問題的應用題也與舊教材的這類題有所不同（1）本題中涉

及到的列車平均提速v千米/時，提速前行駛的路程為s千米，

完成.用字母表示已知數（量）在過去的例題里并不多見，題目的難度也增加

了；（2）例題中的分析用填空的形式提示學生用已知量v、s和未知數x,表示

提速前列車行駛s千米所用的時間，提速后列車的平均速度設為未知數x千米/

時，以及提速后列車行駛（x+50）千米所用的時間.

這兩道例題都設置了帶有探究性的分析，應注意鼓勵學生積極探究，當學生在

探究過程中遇到困難時，教師應啟發(fā)誘導，讓學生經過自己的努力，在克服困難

后體會如何探究，教師不要替代他們思考，不要過早給出答案.

教材中為學生自己動手、動腦解題搭建了一些提示的平臺，給了設未知數、解

題思路和解題格式，但教學目標要求學生還是要獨立地分析、解決實際問題，所

以教師還要給學生一些問題，讓學生發(fā)揮他們的才能，找到解題的思路，能夠獨

立地完成任務.特別是題目中的數量關系清晰，教師就放手讓學生做，以提高學

生分析問解決問題的能力.

四、例題講解

P35例3

分析：本題是一道工程問題應用題，基本關系是：工作量=工作效率3工作時間.

這題沒有具體的工作量，工作量虛擬為1,工作的時間單位為“月”.

等量關系是：甲隊單獨做的工作量+兩隊共同做的工作量=1

P36例4

分析：是一道行程問題的應用題，基本關系是：速度=路程.這題用字母表示已

知數時間

（量）.等量關系是：提速前所用的時間=提速后所用的時間

五、隨堂練習

1.學校要舉行跳繩比賽，同學們都積極練習.甲同學跳180個所用的時間，乙

同學可以跳240個；又已知甲每分鐘比乙少跳5個，求每人每分鐘各跳多少個.

2.一項工程要在限期21

獨做，需要超過規(guī)定日期4天才能完成,如果兩組合作3天后，剩下的工程由第二

組單獨做，正好在規(guī)定日期2.12天3.5千米/時，20千米/時

六、1.10千米/時2.4天，6天3.20升

課后反思：

22

第十七章反比例函數

17.1.1反比例函數的意義

一、教學目標

1.使學生理解并掌握反比例函數的概念

2.能判斷一個給定的函數是否為反比例函數，并會用待定系數法求函數解析

式

3.能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想

、重、難點

1.重點：理解反比例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式

2.難點：理解反比例函數的概念

三、例題的意圖分析

教材第46頁的思考題是為引入反比例函數的概念而設置的，目的是讓學生從

實際問題出發(fā)，探索其中的數量關系和變化規(guī)律，通過觀察、討論、歸納，最后

得出反比例函數的概念，體會函數的模型思想。

教材第47頁的例1是一道用待定系數法求反比例函數解析式的題，此題的目

的一是要加深學生對反比例函數概念的理解，掌握求函數解析式的方法；二是讓

學生進一步體會函數所蘊含的“變化與對應”的思想，特別是函數與自變量之間的

單值對應關系。

補充例1、例2都是常見的題型，能幫助學生更好地理解反比例函數的概念。

補充例3是一道綜合題，此題是用待定系數法確定由兩個函數組合而成的新的函

數關系式，有一定難度，但能提高學生分析、解決問題的能力。

四、課堂引入

1.回憶一下什么是正比例函數、一次函數？它們的一般形式是怎樣的？

2.體育課上，老師測試了百米賽跑，那么，時間與平均速度的關系是怎樣的？

五、例習題分析

例1.見教材P47

分析：因為y是x的反比例函數，所以先設y

常數k,即利用了待定系數法確定函數解析式。

例1.(補充)下列等式中，哪些是反比例函數

(Dy

(6)yk,再把x=2和y=6代入上式求出xx532(2)y"(3)xy=21

(4)y(5)yx22x3x.13(7)y=x—4x

k(k為常數，k^O)x

13x的形式，這里(1)、(7)是整式，(4)的分母不是只單獨含x,(6)改寫

后是y,x分析：根據反比例函數的定義，關鍵看上面各式能否改寫成y

分子不是常數，只有(2)、(3)、(5)能寫成定義的形式

例2.(補充)當m取什么值時，函數y(m2)x

分析：反比例函數yWm2是反比例函藪？kl(k/))的另一種表達式是ykx

(kr0),后一種寫法x

中x的次數是一1,因此m的取值必須滿足兩個條件，即m—2#)且3—m2=

—1,特別注23

意不要遺漏k/)這一條件，也要防止出現3—m2=l的錯誤。

解得m=-2

例3.(補充)已知函數丫=丫1+丫2,yl與x成正比例，y2與x成反比例，且

當x=l時，y=4；當x=2時，y=5

(1)求y與x的函數關系式

(2)當x=—2時，求函數y的值

分析：此題函數y是由yl和y2兩個函數組成的，要用待定系數法來解答，先

根據題意分別設出yl、y2與x的函數關系式，再代入數值，通過解方程或方程

組求出比例系數的值。這里要注意yl與x和y2與x的函數關系中的比例系數不

一定相同，故不能都設為k,要用不同的字母表示。

略解：設yl=klx(kl#O),y2

k2=2,貝Uy2xk2k(k2^0),貝Uyklx2,代入數值求得kl=2,xx2,當x

=—2時，y=—5x

六、隨堂練習

1.蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系

式為

2.若函數y(3m)x8m2是反比例函數，則m的取值是3.矩形的面積為4,

一條邊的長為x,另一條邊的長為y,則y與x的函數解析式為

4.已知y與x成反比例，且當x=-2時，y=3,則y與x之間的函數關系式

是，當x=-3時，y=

5.函數y中自變量x的取值范圍是x2

七、課后練習

已知函數丫=丫1+丫2,yl與x+1成正比例，y2與x成反比例，且當x=l時，

y=0；當x=4時，y=9,求當x=—l時y的值

答案：y=4

課后反思：

24

17.1.2反比例函數的圖象和性質(1)

一、教學目標

1.會用描點法畫反比例函數的圖象

2.結合圖象分析并掌握反比例函數的性質

3.體會函數的三種表示方法，領會數形結合的思想方法

二、重點、難點

1.重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質

2.難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數的性質

三、例題的意圖分析

教材第48頁的例2是讓學生經歷用描點法畫反比例函數圖象的過程，一方面

能進一步熟悉作函數圖象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深學生對反比

例函數圖象的認識，了解函數的變化規(guī)律，從而為探究函數的性質作準備。

補充例1的目的一是復習鞏固反比例函數的定義，二是通過對反比例函數性質

的簡單應用，使學生進一步理解反比例函數的圖象特征及性質。

補充例2是一道典型題，是關于反比例函數圖象與矩形面積的問題，要讓學生

理解并掌握反比例函數解析式y(tǒng)k(kWO)中k的幾何意義。x

四、課堂引入

提出問題：

1.一次函數丫=—+6(k、b是常數，k/))的圖象是什么？其性質有哪些？

正比例函數y=kx(kWO)呢？

2.畫函數圖象的方法是什么?其一般步驟有哪些？應注意什么？

3.反比例函數的圖象是什么樣呢？

五、例習題分析

例2.見教材P48,用描點法畫圖，注意強調：

(1)列表取值時，X#),因為x=0函數無意義，為了使描出的點具有代表性,

可以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣

也便于求y值

(2)由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點,

這樣便于連線，使畫出的圖象更精確

(3)連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線

(4)由于x/),k和，所以#0,函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是

無限靠近兩坐標軸

例1.(補充)已知反比例函數y(ml)xm

指出在每個象限.,.m2—3=—1,且m—屏0又\?圖象在第二、四象限

1V0解得m2且mVl則m~2

25

例2.(補充)如圖，過反比例函數y1(x>0)的圖x

象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D,

連接OA、OB,設AAOC和ABOD的面積分別是SI、S2,比

較它們的大小，可得()

(A)S1>S2(B)S1=S2

(C)S1<S2(D)大小關系不能確定k(k#))的圖象上任一點P(x,

y)向x軸、y軸作垂線段，x

1與x軸、y軸所圍成的矩形面積Sxyk,由此可得S1=S2=,故選B2

分析：從反比例函數y

六、隨堂練習

1.已知反比例函數y3k,分別根據下列條件求出字母k的取值范圍x

(1)函數圖象位于第一、三象限

(2)在第二象限)

X

3.在平面直角坐標系x2,當x=-2時，丫=當x<-2時；y的取值范圍是;

a26當x>—2時；y的取值范圍是3.已知反比例函數y(a2)x

求函數關系式

答案：3.a~5,y，當x0時，y隨x的增大而增大，石2

26

17.1.2反比例函數的圖象和性質(2)

一、教學目標

1.使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質

2.能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題

3.深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯(lián)系，體會數形結合及轉化的思想

方法

二、重點、難點

1.重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合

問題

2.難點：學會從圖象上分析、解決問題

三、例題的意圖分析

教材第51頁的例3一是讓學生理解點在圖象上的含義，掌握如何用待定系數

法去求解析式，復習鞏固反比例函數的意義；二是通過函數解析式去分析圖象及

性質，由“數”到“形”，體會數形結合思想，加深學生對反比例函數圖象和性質的

理解。

教材第52頁的例4是已知函數圖象求解析式中的未知系數，并由雙曲線的變

化趨勢分析函數值y隨x的變化情況，此過程是由“形”到“數”，目的是為了提高

學生從函數圖象中獲取信息的能力，加深對函數圖象及性質的理解。

補充例1目的是引導學生在解有關函數問題時，要數形結合，另外，在分析反

比例函數的增減性時，一定要注意強調在哪個象限一次函數丫=入+6的圖象與

反比例函數y

A(-2,1)、B(1,n)兩點

27m的圖象交于x

(1)求反比例函數和一次函數的解析式

(2)根據圖象寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取

值范圍

分析：因為A點在反比例函數的圖象上，可先求出反比例函數的解析式丫~2,

又B點在反比例函數的圖象上，代入即可求出x

n的值，最后再由A、B兩點坐標求出一次函數解析式y(tǒng)=—x—l,

第(2)問根據圖象可得x的取值范圍xV—2或OVxVl,這是因為比較兩個

不同函數的值的大小時，就是看這兩個函數圖象哪個在上方，哪個在下方。

六、隨堂練習

1.若直線y=kx+b經過第一、二、四象限，則函數ykb的圖象在()

X

(A)第一、三象限(B)第二、四象限

(C)第三、四象限(D)第一、二象限

k212.已知點(一1,yl)、(2,y2)、(兀，y3)在雙曲線y~上，則下列關系x

式正確的是()

(A)yl>y2>y3(B)yl>y3>y2

(C)y2>yl>y3(D)y3>yl>y2

七、課后練習

1.已知反比例函數y2kl的圖象在每個象限內函數值y隨自變量x的增大而

減小，x

且k的值還滿足92(2口巨2k—1,若k為整數，求反比例函數的解析式

2.已知一次函數yk^b的圖像與反比例函數y~

點A的橫坐標和點B的縱坐標都是一2,

求(1)一次函數的解析式；

(2)AAOB的面積

答案：

1-y

2.(1)y=—x+2,(2)面積為6

課后反思：

288的圖像交于A、B兩點，且xl35或y或yxxx

17.2實際問題與反比例函數（1）

一、教學目標

1.利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力

二、重點、難點

1.重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式

三、例題的意圖分析

教材第57頁的例1,數量關系比較簡單，學生根據基本公式很容易寫出函數關

系式，此題實際上是利用了反比例函數的定義，同時也是要讓學生學會分析問題

的方法。

教材第58頁的例2是一道利用反比例函數的定義和性質來解決的實際問題，

此題的實際背景較例1稍復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數學問

題的能力，掌握用函數觀點去分析和解決問題的思路。

補充例題一是為了鞏固反比例函數的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀

取信息的能力，掌握數形結合的思想方法，以便更好地解決實際問題

四、課堂引入

寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發(fā)現前面有一處冰出

現了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區(qū)。你能解釋一

下小明這樣做的道理嗎？

五、例習題分析

例1.見教材第57頁

分析：（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，容積為104,底面積是S,

深度為d,滿足基本公式：圓柱的體積=底面積3高，由題意知S是函數，d是

自變量，改寫后所得的函數關系式是反比例函數的形式，（2）問實際上是已知函

數S的值，求自變量d的取值，

（3）問則是與（2）相反

例2.見教材第58頁

分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量=工作速度3工作時

間，由于題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t,因此具有

反比關系，（2）問涉及了反比例函數的增減性，即當自變量t取最大值時，函數

值v取最小值是多少？例1.（補充）某氣球

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小，可先求出氣壓P=144千帕時所對應的氣體體積，再分析出最后結果是不

小于2立方米3

六、隨堂練習

1.京沈高速公路全長658km,汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車

行完全程所需時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的函數關系式為

2.完成某項任務可獲得500元報酬，考慮由x人完成這項任務，試寫出人均

報酬y（元）與人數x（人）之間的函數關系式

3.一定質量的氧氣，它的密度（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數,

當V=10時，=1.43,（1）求與V的函數關系式；（2）求當V=2時氧氣的

密度答案：=14.3,當V=2時，=7.15V

七、課后練習

1.小林家離工作單位的距離為3600米