2023-2024學年山東省濟南市高一上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟南市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，命題“”的否定是.故選：A.4.工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學準備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，扇環(huán)的面積為.故選：C.5.已知函數(shù)則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】結合題意可得：當時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增；當時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增，故函數(shù)，圖象如圖所示：要得到，只需將的圖象沿軸對稱即可得到.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意.故選：B.7.如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點，.作于于，設，則下列不等式中可以直接表示的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，當時，，若函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個零點，則這兩個零點只能是，則當時，，解得.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，當時，，錯誤；對于B，因為，所以，又，所以，正確；對于C，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，正確；對于D，取，滿足，而，錯誤故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為增函數(shù)C.的值域為 D.對，方程有兩個根【答案】ACD【解析】因為，易知定義域為，定義域關于原點對稱，又，即為奇函數(shù)，所以選項A正確，對于選項B，因為定義域為，當時，，當時，，而，所以選項B錯誤，因為在定義域上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，又易知，當時，的值域為，當時，的值域為，所以對，方程有兩個根，即選項C和D均正確.故選：ACD.11.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點分別為，為線段的中點，射線與單位圓交于點，則（）A.B.C.點的坐標為D.點的坐標為【答案】ABC【解析】對于A：因為，，所以，正確；對于B：依題意為線段的中點，則，則，又，所以，正確；對于C：為線段的中點，射線與單位圓交于點，則為的中點，所以，又，所以點的坐標為，正確；對于D：，，所以點的坐標為，錯誤.故選：ABC.12.通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個條件：（1）和在中；（2）中的有限個元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個元素取并后得到的集合在中，則稱族為集合上的一個拓撲.已知全集為的非空真子集，且，則（）A.族為集合上的一個拓撲B.族為集合上的一個拓撲C.族為集合上的一個拓撲D.若族為集合上的一個拓撲，將的每個元素的補集放在一起構成族，則也是集合上的一個拓撲【答案】ABD【解析】對于A，首先滿足條件（1），其次，中有限個元素取交后得到的集合為或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個元素取并后得到的集合為或，都在中，滿足條件（3），故A正確；對于B，首先滿足條件（1），其次，中的有限個元素取交后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個元素取并后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（3），故B正確；對于C，不妨設，則，不在中，故C錯誤；對于D，由題意不妨設族為集合上的一個拓撲，由條件（2）可知中的有限個元素取交后得到的集合都在，且由條件（3）可知中的任意多個元素取并后得到的集合都在，所以不妨設，則，且，首先滿足條件（1），其次，中的有限個元素取交后得到的集合都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個元素取并后得到的集合都在中，滿足條件（3），故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為第二象限角，若，則的值為______.【答案】【解析】因為為第二象限角，且，所以，所以.故答案為：.14.定義域為的奇函數(shù)滿足，且當時，，則的值為__________.【答案】1【解析】由題意.故答案為：1.15.已知函數(shù)圖象關于直線對稱，則的值為______.【答案】0【解析】由題意得函數(shù)，顯然，，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，故，則，故，則，故.故答案為：0.16.已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意設，則函數(shù)的零點即為方程的根，在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：若函數(shù)有三個零點，（不妨設為），則方程的根有三個根，且，所以，且，因為在單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）解可得，故可知，當時，，所以，.（2）因為是的充分不必要條件，所以?，則，解得.18.已知函數(shù)的最大值為3，最小值為1.（1）求和的值；（2）把的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）因為，由題意可得，解得.（2）由（1）得，所以，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.19.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）解不等式.解：（1）設的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以，都有，即對都成立，等價于對都成立，整理得都成立，所以，解得，所以的值為1.（2）由題意，移項得，所以，所以，整理得，即，解得，所以不等式的解集為.20.如圖所示，在等腰直角中，為線段的中點，點分別在線段上運動，且，設.（1）設，求的取值范圍及；（2）求面積的最小值.解：（1）因為為等腰直角三角形，為線段的中點，所以，因為點在線段上運動，所以，因為，所以，所以.（2）因為，所以，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為.21.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經(jīng)驗表明：某種紅茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用可以產(chǎn)生最佳口感，現(xiàn)在室溫下，某實驗小組為探究剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)：時間012345水溫95.0088.0081.7076.0570.9366.30設茶水溫度從開始，經(jīng)過后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.（1）從上述三種函數(shù)模型中選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用前的數(shù)據(jù)求出相應的解析式；（2）根據(jù)（1）中所求的函數(shù)模型，求剛泡好的紅茶達到最佳飲用口感的放置時間.參考數(shù)據(jù)：.解：（1）選擇②作為函數(shù)模型，對于模型①，當時，函數(shù)無意義，故而排除；對于模型③，由表中數(shù)據(jù)可知當自變量增大時，函數(shù)值減小，故而排除；對于模型②，所給函數(shù)單調(diào)遞減，且符合茶水溫度不低于室溫的要求；故應選擇模型②，將前的數(shù)據(jù)帶入，得，解得，所以所求函數(shù)解析式為.（2）由（1）中模型可得，即，所以，即所以剛泡好的紅茶放置能達到最佳飲用口感.22.已知函數(shù).（1）若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）設函數(shù)，記的最大值為.（i）當時，求的最小值；（ii）證明：對.解：（1）由，可得的對稱軸，要使為單調(diào)函數(shù)，則或，解得或.（2）（i）當時，，則當時，，當且僅當時，等號成立；當時，；所以的最小值為2.（ii）下面根據(jù)對稱軸對進行討論：當時，，①若，顯然，②若，則，當時，，則，①若，顯然，②若，則，當時，，則，①若，顯然②若，記，則，當時，，則，所以；當時，，則，所以；當時，易知恒成立，下面再討論與的大小關系：當時，，當時，，，綜上所述，.山東省濟南市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，命題“”的否定是.故選：A.4.工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學準備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，扇環(huán)的面積為.故選：C.5.已知函數(shù)則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】結合題意可得：當時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增；當時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增，故函數(shù)，圖象如圖所示：要得到，只需將的圖象沿軸對稱即可得到.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意.故選：B.7.如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點，.作于于，設，則下列不等式中可以直接表示的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，當時，，若函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個零點，則這兩個零點只能是，則當時，，解得.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，當時，，錯誤；對于B，因為，所以，又，所以，正確；對于C，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，正確；對于D，取，滿足，而，錯誤故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為增函數(shù)C.的值域為 D.對，方程有兩個根【答案】ACD【解析】因為，易知定義域為，定義域關于原點對稱，又，即為奇函數(shù)，所以選項A正確，對于選項B，因為定義域為，當時，，當時，，而，所以選項B錯誤，因為在定義域上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，又易知，當時，的值域為，當時，的值域為，所以對，方程有兩個根，即選項C和D均正確.故選：ACD.11.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點分別為，為線段的中點，射線與單位圓交于點，則（）A.B.C.點的坐標為D.點的坐標為【答案】ABC【解析】對于A：因為，，所以，正確；對于B：依題意為線段的中點，則，則，又，所以，正確；對于C：為線段的中點，射線與單位圓交于點，則為的中點，所以，又，所以點的坐標為，正確；對于D：，，所以點的坐標為，錯誤.故選：ABC.12.通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個條件：（1）和在中；（2）中的有限個元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個元素取并后得到的集合在中，則稱族為集合上的一個拓撲.已知全集為的非空真子集，且，則（）A.族為集合上的一個拓撲B.族為集合上的一個拓撲C.族為集合上的一個拓撲D.若族為集合上的一個拓撲，將的每個元素的補集放在一起構成族，則也是集合上的一個拓撲【答案】ABD【解析】對于A，首先滿足條件（1），其次，中有限個元素取交后得到的集合為或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個元素取并后得到的集合為或，都在中，滿足條件（3），故A正確；對于B，首先滿足條件（1），其次，中的有限個元素取交后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個元素取并后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（3），故B正確；對于C，不妨設，則，不在中，故C錯誤；對于D，由題意不妨設族為集合上的一個拓撲，由條件（2）可知中的有限個元素取交后得到的集合都在，且由條件（3）可知中的任意多個元素取并后得到的集合都在，所以不妨設，則，且，首先滿足條件（1），其次，中的有限個元素取交后得到的集合都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個元素取并后得到的集合都在中，滿足條件（3），故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為第二象限角，若，則的值為______.【答案】【解析】因為為第二象限角，且，所以，所以.故答案為：.14.定義域為的奇函數(shù)滿足，且當時，，則的值為__________.【答案】1【解析】由題意.故答案為：1.15.已知函數(shù)圖象關于直線對稱，則的值為______.【答案】0【解析】由題意得函數(shù)，顯然，，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，故，則，故，則，故.故答案為：0.16.已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意設，則函數(shù)的零點即為方程的根，在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：若函數(shù)有三個零點，（不妨設為），則方程的根有三個根，且，所以，且，因為在單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）解可得，故可知，當時，，所以，.（2）因為是的充分不必要條件，所以?，則，解得.18.已知函數(shù)的最大值為3，最小值為1.（1）求和的值；（2）把的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）因為，由題意可得，解得.（2）由（1）得，所以，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.19.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）解不等式.解：（1）設的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以，都有，即對都成立，等價于對都成立，整理得都成立，所以，解得，所以的值為1.（2）由題意，移項得，所以，所以，整理得，即，解得，所以不等式的解集為.20.如圖所示，在等腰直角中，為線段的中點，點分別在線段上運動，且，設.（1）設，求的取值范圍及；（2）求面積的最小值.解：（1）因為為等腰直角三角形，為線段的中點，所以，因為點在線段上運動，所以，因為，所以，所以.（2）因為，所以，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為