第三十講　相似與位似

第三十講相似與位似1.如圖,已知直線a∥b∥c,直線m交直線a,b,c于點A,B,C,直線n交直線a,b,c于點D,E,F,若ABBC=12,則DEEFA.13 B.12 C.23 2.(2024·內(nèi)江)已知△ABC與△DEF相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△DEF的周長之比是(B)A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶93.若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,則ACDF=(A.49 B.94 C.23 4.如圖,數(shù)學(xué)活動課上,為測量學(xué)校旗桿高度,小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡,然后向后退(保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上),直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,則旗桿高度為(B)A.6.4m B.8mC.9.6m D.12.5m5.若yx=37,則x-yx6.(2024·濱州)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上.添加一個條件使△ADE∽△ACB,則這個條件可以是∠ADE=∠C(答案不唯一).(寫出一種情況即可)

7.如圖,在△ABC中,M,N分別為AC,BC的中點.若S△CMN=1,則S四邊形ABNM=3.

8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC與△AB'C'的相似比為1∶2,點A是位似中心,已知點A(2,0),點C(a,b),∠C=90°.則點C'的坐標(biāo)為(6-2a,-2b).(結(jié)果用含a,b的式子表示)9.如圖,在△ABC中,D是邊AB上一點,按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以適當(dāng)長為半徑作弧,分別交AB,AC于點M,N;②以點D為圓心,以AM長為半徑作弧,交DB于點M';③以點M'為圓心,以MN長為半徑作弧,在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點N';④過點N'作射線DN'交BC于點E.若△BDE與四邊形ACED的面積比為4∶21,則BECE的值為

2310.如圖,在6×6的方格紙中,點A,B,C均在格點上,試按要求畫出相應(yīng)格點圖形.(1)如圖1,作一條線段,使它是AB向右平移一格后的圖形;(2)如圖2,作一個多邊形,使其為軸對稱圖形,AB和AC是它的兩條邊;(3)如圖3,作一個與△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【解析】(1)如圖1,CD為所作;(2)如圖2即為所作(答案不唯一);(3)如圖3,△EDC為所作(答案不唯一).11.(2024·湖南)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結(jié)論中,錯誤的是(D)A.DE∥BC B.△ADE∽△ABCC.BC=2DE D.S△ADE=12S△12.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,點D在邊AC上,且BD平分△ABC的周長,則BD的長是(C)A.5 B.6 C.655 D13.如圖,在直角坐標(biāo)系中,每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度,以點P為位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此規(guī)律作下去,所作正方形的頂點均在格點上,其中正方形PA1A2A3的頂點坐標(biāo)分別為P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),則頂點A100的坐標(biāo)為(A)A.(31,34) B.(31,-34)C.(32,35) D.(32,0)14.把兩個含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起,點E為AD的中點,連接BE交AC于點F,則AFAC=

3515.(2024·廣元)數(shù)學(xué)實驗,能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程,更是培養(yǎng)動手能力,創(chuàng)新能力的一種手段.小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如圖1)產(chǎn)生了如下問題,請同學(xué)們幫他解決.在△ABC中,點D為邊AB上一點,連接CD.(1)初步探究如圖2,若∠ACD=∠B,求證:AC2=AD·AB;(2)嘗試應(yīng)用如圖3,在(1)的條件下,若點D為AB中點,BC=4,求CD的長;(3)創(chuàng)新提升如圖4,點E為CD中點,連接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,AC=27,求BE的長.【解析】(1)∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴ACAB=AD∴AC2=AD·AB;(2)∵點D為AB中點,∴設(shè)AD=BD=m,由(1)知△ACD∽△ABC,∴AC2=AD·AB=m·2m=2m2,∴AC=2m,∴△ACD與△ABC的相似比為ADAC=1∴CDBC=1∵BC=4,∴CD=22;(3)過點C作EB的平行線交AB的延長線于點H,過C作CY⊥AB,如圖1所示:∵點E為CD中點,∴設(shè)CE=DE=a,∵∠CDB=∠CBD=30°,∴CB=CD=2a,∠DCB=120°,在Rt△BCY中,CY=12BC=a則由勾股定理可得BD=23a,過點B作BF⊥EC于點F,如圖2所示:∴∠FCB=60°,∴∠CBF=30°,∴CF=12BC∴CF=a,BF=3a,∴EF=2a,∴BE=7a,∵CH∥BE,點E為CD中點,∴CH=2BE=27a,DH=2DB=