福建省福州市東南學(xué)校2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省福州市東南學(xué)校2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如右圖，某簡單幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖都是邊長為1的正方形，且其體積為，則該幾何體的俯視圖可以是

參考答案：D略2.若P（2，1）為圓（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線的方程為(

)A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．2x+y=0 D．x+y﹣3=0參考答案：D【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】利用圓心和弦的中點(diǎn)的連線和弦所在的直線垂直，兩直線垂直，斜率之積等于﹣1，求出直線AB的斜率，用點(diǎn)斜式求得直線AB的方程．【解答】解：圓（x﹣1）2+y2=25的圓心為（1，0），直線AB的斜率等于=﹣1，由點(diǎn)斜式得到直線AB的方程為y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用點(diǎn)斜式求直線方程的方法，圓心和弦的中點(diǎn)的連線和弦所在的直線垂直，兩直線垂直，斜率之積等于﹣1．3.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題:,

的共軛復(fù)數(shù)為的虛部為其中真命題為A.

B.

C.

D.

參考答案：C略4.滿足,且關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為

（）A．14 B．13 C．12 D．10參考答案：B略5.從男女共有36名的大學(xué)生中任選2名去考“村官”，任何人都有同樣的當(dāng)選機(jī)會(huì)，若選出的同性大學(xué)生的概率為，則男女生相差（

）名A.1

B.3

C.6

D.10參考答案：C略6.設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，則M∩N＝(

)

A．{0}

B．{0,1}

C．{－1,1}

D．{－1,0,1}參考答案：B7.已知是等比數(shù)列,若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則為（）A．B．C．D．參考答案：C8.甲、乙兩位歌手在“中國好聲音”選拔賽中，5位評(píng)委評(píng)分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為、，則下列判斷正確的是（

）A.，甲比乙成績穩(wěn)定

B.，乙比甲成績穩(wěn)定C.，甲比乙成績穩(wěn)定

D.，乙比甲成績穩(wěn)定參考答案：B9.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 A． B． C．1 D．2參考答案：C略10.已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2．則棱錐S—ABC的體積為

(

) A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，為的共軛復(fù)數(shù)，若（是虛數(shù)單位），則

參考答案：12.若變量滿足約束條件，則的最大值是

.參考答案：613.已知，，是的三邊，，，，則的取值范圍為

.參考答案：由正弦定理，，，由余弦定理，，由，，.14.已知向量，若，則

．參考答案：，∵，∴1-2（1+m）=0，解得m=﹣．則.故答案為：

15.設(shè)：，：，若是的充分不必充要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．參考答案：試題分析：，，，是的充分不必充要條件，所以，解得.考點(diǎn)：充要條件，絕對(duì)值不等式，一元二次不等式.16.非零向量，的夾角為，且滿足||=λ||（λ＞0），向量組，，由一個(gè)和兩個(gè)排列而成，向量組，，由兩個(gè)和一個(gè)排列而成，若?+?+?所有可能值中的最小值為42，則λ=．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】列出向量組的所有排列，計(jì)算所有可能的值，根據(jù)最小值列出不等式組解出．【解答】解：=||×λ||×cos=2，=λ22，向量組，，共有3種情況，即（，，），（），（），向量組，，共有3種情況，即（），（），（，），∴?+?+?所有可能值有2種情況，即++=（λ2+λ+1），3=，∵?+?+?所有可能值中的最小值為42，∴或．解得λ=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．17.已知為球的半徑，垂直于的平面截球面得到圓（為截面與的交點(diǎn)）.若圓的面積為，，則球的表面積為___________.參考答案：試題分析：由已知可得圓的半徑為，取圓上一點(diǎn)，則，在中，球半徑，所以所求球的表面積為.考點(diǎn)：球的表面積．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積，屬基礎(chǔ)題.本題關(guān)鍵在于獲得球體的半徑，由截面圓的面積可得截面圓的半徑為，結(jié)合垂直于截面圓，可得在垂線上，取圓上任一點(diǎn)，則為直角三角形，故球體半徑，由球體表面積公式可得.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

在△ABC中,a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊.

向量，，且與的夾角為.⑴求角C的值；

⑵已知，的面積，求△ABC的周長.參考答案：19.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，E是BC的中點(diǎn)．（1）求證：AE∥平面PCD；（2）記平面PAB與平面PCD的交線為l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出四邊形ADCE是平行四邊形，從而AE∥CD，由此能證明AE∥平面PCD．（2）連結(jié)DE、BD，設(shè)AE∩BD于O，連結(jié)PO，推導(dǎo)出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，從而PO⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值．【解答】證明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，∴AD∥CE，且AD=CE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE∥CD，∵AE?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE∥平面PCD．解：（2）連結(jié)DE、BD，設(shè)AE∩BD于O，連結(jié)PO，則四邊形ABED是正方形，∴AE⊥BD，∵PD=PB=2，O是BD中點(diǎn)，∴PO⊥BD，則PO===，又OA=，PA=2，∴PO2+OA2=PA2，∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，），A（﹣），B（0，，0），E（），D（0，﹣，0），∴=（﹣），=（0，），=（0，），=（2，0，0），設(shè)=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則，取x=1，得，設(shè)=（a，b，c）是平面PCD的法向量，則，取b=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞==0，∴二面角C﹣l﹣B的余弦值為0．20.如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，.(Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)若,求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接可知且

又,在有又，,即

………3分又平面,平面平面，

………5分又平面平面平面

………6分（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,又平面平面，且平面平面面

………8分

………9分在中有，

…10分，所以點(diǎn)到平面的距離為

.………12分21.設(shè)平面向量＝（m,1）,=(2,n)，其中m，n{1,2,3,4}.（I）請(qǐng)列出有序數(shù)組（m，n）的所有可能結(jié)果；（II）記“使得成立的（m，n）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率參考答案：（1）（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16個(gè)（2）由am⊥（am-bn）得m2-2m+1-n=0∴n=(m-1)2∵m,n∈{1,2,3,4}∴A包含（2,1）（3，4）共2個(gè)∴22.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2+（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)；（2）設(shè)bn=，試確定實(shí)常數(shù)p，使得{bn}為等比數(shù)列；（3）設(shè)m，n，p∈N*，m＜n＜p，問：數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差關(guān)系的確定．專題：綜合題．分析：（1）根據(jù)數(shù)列an}的通項(xiàng)公式可知隨著n的增大而減小，即為遞減數(shù)列，故可知a1為數(shù)列中的最大項(xiàng)，進(jìn)而可得答案．（2）把（1）中的an代入bn，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知b2n+1﹣bnbn+2=0，把bn代入，進(jìn)而可求得p．（3）根據(jù)（1）中數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可分別求得am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，則2an=am+ap，把a(bǔ)m，an，ap代入整理可得關(guān)于m，n，p的關(guān)系式，再根據(jù)m＜n＜p判定等式是否成立．解答：解（1）由題意an=2+，隨著n的增大而減小，所以{an}中的最大項(xiàng)為a1=4．（2）bn===，若{bn}為等比數(shù)列，則b2n+1﹣bnbn+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3n+1+（2﹣p）]2﹣[{2+p）3n+（2﹣p）][（2+p）3n+2+（2﹣p）]=0（n∈N*），化簡得（4﹣p2）（2?3n+1﹣3n+2﹣3n）=0即﹣（4﹣p2）?3n?4=0，解得p=±2．反之，當(dāng)p=2時(shí)，bn=3n，{bn}是等比數(shù)列；當(dāng)p=﹣2時(shí)，bn=1，{bn}也是等比數(shù)列．所以，當(dāng)且僅當(dāng)p=±2時(shí){bn}為等比數(shù)列．（3）因?yàn)?，，，若存在三?xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，則2an=am+ap，所以=，化簡得3n（2×3p﹣n﹣3p﹣m﹣1）=1+3p﹣m﹣2×3n﹣m（*），因?yàn)閙，n，p∈N*，m＜n＜p，所以p﹣m≥p﹣n+1，p