2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在直角坐標(biāo)系中，在軸上截距為且傾斜角為的直線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．2．如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點(diǎn)，為的重心，則（）A． B．C． D．3．兩條直線(xiàn)，，若，則的值是（）A．0 B．1 C．1或0 D．0或4．在斜三棱柱的底面中，，，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度是（）A． B．3 C． D．45．已知點(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．P是橢圓上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為（）A．60° B．30° C．120° D．150°7．如圖，在四面體中，平面，，，E為AB的中點(diǎn)，為DB上靠近的三等分點(diǎn)，則直線(xiàn)DE與CF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為，（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為B．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)C．圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為：D．圓上有且僅有1個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于110．下列說(shuō)法命題正確的是（）A．已知，，則在上的投影向量為B．若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則D．若向量（，，是不共面的向量）則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為11．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值是D．使直線(xiàn)AP與平面所成的角為45°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________．13．如圖，已知二面角的大小為60°，，，，，，且，，則___________．14．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決．如：若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)__________，的最大值為_(kāi)__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)駐或演算步驟．15．（本小題13分）已知頂點(diǎn)，，．（1）求邊BC上的高所在直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線(xiàn)l的方程16．（本小題15分）如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，，．（1）求證：；（2）求直線(xiàn)AE與平面所成角的正弦值．17．（本小題15分）已知圓過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心0在直線(xiàn)上．（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與圓C交于A、B兩點(diǎn)，在直線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)D，使得直線(xiàn)AD、BD的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由．18．（本小題17分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，D，E分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍．19．（本小題17分）古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線(xiàn)軌跡”問(wèn)題：平面上，到兩條已知直線(xiàn)距離的乘積是到第三條直線(xiàn)距離的平方的k倍的動(dòng)點(diǎn)軌跡為二次曲線(xiàn)（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線(xiàn)，叫做二次曲線(xiàn)）常數(shù)k的大小和直線(xiàn)的位置等決定了曲線(xiàn)的形狀．為了研究方便，我們?cè)O(shè)平面內(nèi)三條給定的直線(xiàn)為，當(dāng)三條直線(xiàn)中有相交直線(xiàn)時(shí)，記，，，動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，且滿(mǎn)足閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）當(dāng)，時(shí)，若，且與的距離為2，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的面積．（2）若是等腰直角三角形，是直角，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動(dòng)，試探求為何值時(shí)，P的軌跡是圓？（3）若是等腰三角形，，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，問(wèn)在此等腰三角形對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)，使為大于1的定值．若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?dāng)?shù)學(xué)答案題號(hào)1234567891011答案ABCAAADDBCACDABD12． 13． 14．；28．【解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)椋瑒t，所以的最小值為．故選：D．11．【解】對(duì)于A：的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積的體積不變，且，所以A正確；對(duì)于B：以為原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，設(shè)，，則，，設(shè)直線(xiàn)與所成角為，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，由，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是，所以B正確；對(duì)于C，由，，，，設(shè)，，，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，，所以，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D：因?yàn)橹本€(xiàn)AP與平面所成的角為45°，由平面，得直線(xiàn)AP與所成的角為45°，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)?，，故不成立；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時(shí)，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為，所以D正確；故選：ABD．14．【解】得，令，則直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，解得，所以的最小值為可以看作點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與它到A（1，0）距離比值的2倍，設(shè)過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，此時(shí)取到最大值．設(shè)直線(xiàn)方程為，由，，解得，結(jié)合圖形可知，代入聯(lián)立后的方程可得切點(diǎn)，代入可得的最大值為2．故；2．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．【解】【小問(wèn)1詳解】由、，且，所以其垂直斜率滿(mǎn)足，即，所以邊BC的高所在直線(xiàn)的方程為，即；【2解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，由過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以直線(xiàn)方程為，即，綜上所述，直線(xiàn)的方程為或．16．【解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以．?）取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)M，連接OE，OM，則，由，得，且，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，由平面，得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，則，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以，，設(shè)直線(xiàn)AE與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)AE與平面所成角的正弦值為．17．【解】（1）由題總得MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線(xiàn)MN的斜率為，因?yàn)椋灾本€(xiàn)CE的斜率為1，所以直線(xiàn)CE的方程為，即，解方程組得，故，所以圖的半徑，所以圓的方程為．（2）由消去整理得，可得，設(shè)，，則，（*）．設(shè)，則，（，分別為直線(xiàn)AD，BD的斜率）．因?yàn)橹本€(xiàn)AD，BD的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，即，即，將（*）式代入得，整理得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以在直線(xiàn)上存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件．18．【解】（1）連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為AC中點(diǎn)，則，由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因?yàn)镈，E分別為，中點(diǎn)，則，可得，且，，．平面，所以平面．（2）在平面內(nèi)的射影為D，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，為正三角形，由平面，平面，可得，，又因?yàn)闉榈冗吶切?，為AC中點(diǎn)，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為．（3）因?yàn)?，，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因?yàn)?，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為．19．解：（注意不同建系）（1）以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，因?yàn)樵?，之間，所以，，，由定義得，所以，化簡(jiǎn)得，表示以為圓心，1為半徑的圓：所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，點(diǎn)（且），則，，，，代入坐標(biāo)得：，化簡(jiǎn)整理：①，當(dāng)時(shí)，方程