2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上冊11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在直角坐標(biāo)系中，在軸上截距為且傾斜角為的直線方程為（）A． B．C． D．2．如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點，為的重心，則（）A． B．C． D．3．兩條直線，，若，則的值是（）A．0 B．1 C．1或0 D．0或4．在斜三棱柱的底面中，，，，則線段的長度是（）A． B．3 C． D．45．已知點，，直線與線段AB有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．P是橢圓上一點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小為（）A．60° B．30° C．120° D．150°7．如圖，在四面體中，平面，，，E為AB的中點，為DB上靠近的三等分點，則直線DE與CF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知點是圓上的動點，點是圓上的動點，點在直線上運(yùn)動，則的最小值為，（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．直線的傾斜角的取值范圍為B．直線恒過定點C．圓與圓的公共弦所在直線方程為：D．圓上有且僅有1個點到直線的距離等于110．下列說法命題正確的是（）A．已知，，則在上的投影向量為B．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知三棱錐，點為平面上的一點，且，則D．若向量（，，是不共面的向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為11．如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)在線段AC上運(yùn)動時，與所成角的取值范圍是C．若是的中點，當(dāng)在底面上運(yùn)動，且滿足平面時，PF長度的最小值是D．使直線AP與平面所成的角為45°的點的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________．13．如圖，已知二面角的大小為60°，，，，，，且，，則___________．14．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．如：若實數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________，的最大值為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過駐或演算步驟．15．（本小題13分）已知頂點，，．（1）求邊BC上的高所在直線的方程；（2）若直線l過點A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線l的方程16．（本小題15分）如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，，．（1）求證：；（2）求直線AE與平面所成角的正弦值．17．（本小題15分）已知圓過，兩點，且圓心0在直線上．（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A、B兩點，在直線上是否存在定點D，使得直線AD、BD的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點D的坐標(biāo)：若不存在，說明理由．18．（本小題17分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段，的中點，在平面內(nèi)的射影為．（1）求證：平面；（2）若點為棱的中點，求點到平面的距離；（3）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍．19．（本小題17分）古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的k倍的動點軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）常數(shù)k的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀．為了研究方便，我們設(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時，記，，，動點到直線的距離為，且滿足閱讀上述材料，完成下列問題：（1）當(dāng)，時，若，且與的距離為2，點在與之間運(yùn)動時，求動點的軌跡所圍成的面積．（2）若是等腰直角三角形，是直角，點在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動，試探求為何值時，P的軌跡是圓？（3）若是等腰三角形，，點在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動，當(dāng)時，問在此等腰三角形對稱軸上是否存在一點，使為大于1的定值．若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由．?dāng)?shù)學(xué)答案題號1234567891011答案ABCAAADDBCACDABD12． 13． 14．；28．【解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，，即，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即，因為，則，所以的最小值為．故選：D．11．【解】對于A：的面積不變，點到平面的距離為正方體棱長，所以三棱錐的體積的體積不變，且，所以A正確；對于B：以為原點，DA，DC，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，設(shè)，，則，，設(shè)直線與所成角為，則，因為，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，，由，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；對于C，由，，，，設(shè)，，，則，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，，所以，因為平面，所以，可得，所以，當(dāng)時，等號成立，所以C錯誤．對于D：因為直線AP與平面所成的角為45°，由平面，得直線AP與所成的角為45°，若點在平面和平面內(nèi)，因為，，故不成立；在平面內(nèi)，點的軌跡是；在平面內(nèi)，點的軌跡是；在平面時，作平面，如圖所示，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點的軌跡是以點為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點的軌跡的長度為，綜上，點的軌跡的總長度為，所以D正確；故選：ABD．14．【解】得，令，則直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離為，解得，所以的最小值為可以看作點到直線的距離與它到A（1，0）距離比值的2倍，設(shè)過點A（1，0）的直線與圓相切于點，此時取到最大值．設(shè)直線方程為，由，，解得，結(jié)合圖形可知，代入聯(lián)立后的方程可得切點，代入可得的最大值為2．故；2．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解】【小問1詳解】由、，且，所以其垂直斜率滿足，即，所以邊BC的高所在直線的方程為，即；【2解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，，此時直線，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點時，由題意設(shè)直線方程為，由過點，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或．16．【解】（1）因為四邊形為矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以．（2）取AD的中點O，BC的中點M，連接OE，OM，則，由，得，且，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，由平面，得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，則，，．設(shè)為平面的一個法向量，則，令，得，，所以，，設(shè)直線AE與平面所成角為，則，所以直線AE與平面所成角的正弦值為．17．【解】（1）由題總得MN的中點E的坐標(biāo)為，直線MN的斜率為，因為，所以直線CE的斜率為1，所以直線CE的方程為，即，解方程組得，故，所以圖的半徑，所以圓的方程為．（2）由消去整理得，可得，設(shè)，，則，（*）．設(shè)，則，（，分別為直線AD，BD的斜率）．因為直線AD，BD的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，即，即，將（*）式代入得，整理得對任意實數(shù)恒成立，故，解得，故點的坐標(biāo)為．所以在直線上存在定點滿足條件．18．【解】（1）連接，因為為等邊三角形，為AC中點，則，由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因為D，E分別為，中點，則，可得，且，，．平面，所以平面．（2）在平面內(nèi)的射影為D，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，D是線段AC的中點，為正三角形，由平面，平面，可得，，又因為為等邊三角形，為AC中點，所以，則以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，可得，所以點到平面的距離為．（3）因為，，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一個法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因為，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為．19．解：（注意不同建系）（1）以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，因為在，之間，所以，，，由定義得，所以，化簡得，表示以為圓心，1為半徑的圓：所以動點的軌跡圍成的圖形面積；（2）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，點（且），則，，，，代入坐標(biāo)得：，化簡整理：①，當(dāng)時，方程