2024-2025學(xué)年甘肅省白銀市高三上冊11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省白銀市高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（共8題，每題5分，共40分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.83.如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則取值范圍是（）A. B. C. D.5.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大內(nèi)角的余弦值是（）A. B. C. D.6.第41屆全國青少年信息學(xué)奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有（）種A.108 B.114 C.150 D.2407.已知偶函數(shù)定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.8.已知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多選題（共3題，每題6分，共18分.全部選對(duì)的6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不得分.）9.下列說法中正確的是（）A.若隨機(jī)變量，且，則B.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中次射擊成績單位：環(huán)如下：，，，，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為C.若隨機(jī)變量，且，則D.若變量y關(guān)于變量x線性回歸方程為，且，，則10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)，在曲線上，若，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減D.若將圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗笤谏嫌星覂H有2個(gè)極值點(diǎn)，則11.對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關(guān)于，下列說法正確的是（）A B.C. D.三、填空題（共3題，每題5分，共15分）12.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為__________．13.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是______．14.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①任意，函數(shù)最大值與最小值的差為2；②存在，使得對(duì)任意，；③當(dāng)時(shí)，存在，，使得對(duì)任意，都有；④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.四、解答題（共5題，共77分）15.函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，其中一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．16.某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.（1）求2023年該款手機(jī)的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？17.如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對(duì)兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術(shù)》商功章），已知平面，，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.18.某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)的生產(chǎn)線，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)為，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值m[70，80）[80，85）[85，90）[90，100]質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)廢品三等品二等品一等品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)．現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求“抽出的產(chǎn)品中恰有1件一等品”的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取14件產(chǎn)品，再從這14件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求一等品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（單位：元）的關(guān)系如下表（）：質(zhì)量指標(biāo)值m[70，80）[80，85）[85，90）[90，100]利潤y（元）－t22t4t7t試確定t為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大．19.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，討論單調(diào)性；（3）若，設(shè)，證明.答案：一、單選題（共8題，每題5分，共40分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出，再根據(jù)交集的含義即可得到答案.，所以，所以，故選：C.2.已知，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】B【分析】由，把代入，最后利用基本不等式即可求解.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”成立，故選：B.3.如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所?故選：D.4.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍；當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求參數(shù)范圍，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，列不等式求解即可.由題知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，所以；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故選.5.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大內(nèi)角的余弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的條件，再根據(jù)余弦定理即可得結(jié)果.因?yàn)?，即，可得，即，由正弦定理可得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，若取得最小值，則，此時(shí)最大角為角A，，所以的最大內(nèi)角的余弦值是.故選：C.6.第41屆全國青少年信息學(xué)奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有（）種A.108 B.114 C.150 D.240【正確答案】B【分析】把5名新教師分成3組，利用分組分配及排除法列式計(jì)算即得.5名新教師按分組有種方法，按分組有種分法，因此5名新教師安排方案有種，當(dāng)甲乙在同一組時(shí)，甲乙可視為1個(gè)人，即相當(dāng)于4名教師的安排方案，有種，所以所求不同的安排方案有（種）.故選：B7.已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的集合等于函數(shù)y=fx和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的集合，分析函數(shù)的圖象特征，作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.因?yàn)楹瘮?shù)，的零點(diǎn)的集合與方程在區(qū)間上的解集相等，又方程可化為，所以函數(shù)，的零點(diǎn)的集合與函數(shù)y=fx和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的集合相等，因?yàn)楹瘮?shù)為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f?x=fx，函數(shù)的圖象關(guān)于因?yàn)?，取可得，，所以函?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)y=fx，的區(qū)間上的圖象如下：觀察圖象可得函數(shù)y=fx，的圖象在區(qū)間上有個(gè)交點(diǎn)，將這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大依次記為，則，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和為.故選：A.8.已知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由同構(gòu)的思想可知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，即有兩解，分離變量求導(dǎo)即可解：由題意可知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，等價(jià)于有兩個(gè)解，因?yàn)椋瑇>0，所以，令，原式等價(jià)于有兩個(gè)解，又在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)大于零的解.解，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以?x在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，?x的圖象如圖：所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn).故選：A方法點(diǎn)睛：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)可以構(gòu)造成相同的形式時(shí)，常用同構(gòu)的思想，構(gòu)造函數(shù)，將兩個(gè)函數(shù)看成自變量不同時(shí)的同一函數(shù)，若函數(shù)有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為自變量有交點(diǎn)求解.二、多選題（共3題，每題6分，共18分.全部選對(duì)的6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不得分.）9.下列說法中正確的是（）A.若隨機(jī)變量，且，則B.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中次射擊成績單位：環(huán)如下：，，，，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為C.若隨機(jī)變量，且，則D.若變量y關(guān)于變量x的線性回歸方程為，且，，則【正確答案】AC【分析】A選項(xiàng)利用二項(xiàng)分布求期望與方差的公式代入即可求解；B選項(xiàng)，先將數(shù)據(jù)排序，再利用求百分位數(shù)的方法求解即可；C選項(xiàng)，先根據(jù)題意確定，再利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求概率；D選項(xiàng)，利用回歸直線過樣本中心即可求解.對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以，A正確；對(duì)于B，這組數(shù)從小到大排列為：，，，，，，，，，，因?yàn)?，所以這組數(shù)的百分位數(shù)為第八個(gè)數(shù)，即為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，由，得出，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，根?jù)回歸直線過樣本中心，有點(diǎn)在直線上，即，解得，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)，在曲線上，若，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減D.若將圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗笤谏嫌星覂H有2個(gè)極值點(diǎn)，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圖象求出的解析式，再利用正弦型函數(shù)的逐一判斷即可.對(duì)于A，由，得，而，在的遞增區(qū)間上，則，A正確；依題意，，，解得，函數(shù)的周期，解得，，對(duì)于B，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，因此在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得的圖象，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，D正確.故選：ABD11.對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關(guān)于，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)所給新定義運(yùn)算即可判斷AB，取特殊值判斷C，根據(jù)曲邊梯形與梯形面積大小判斷D.由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，也成立，綜上，，對(duì)A，，，即，故A正確；對(duì)B，，而，所以，故B正確；對(duì)C，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如圖，因?yàn)?，所以，即，故D正確.故選：ABD三、填空題（共3題，每題5分，共15分）12.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為__________．【正確答案】【分析】將原式變形為，再結(jié)合基本不等式即可求解.，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以的最小值為.故13.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意可知在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合變號(hào)零點(diǎn)與給定區(qū)間的關(guān)系求解即可.由題意知，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，即在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，又，所以，，，所以在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，即m的取值范圍是.故答案為.14.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；②存，使得對(duì)任意，；③當(dāng)時(shí)，存在，，使得對(duì)任意，都有；④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【正確答案】②③【分析】①舉一例說明最大值與最小值的差不為2，②令，可證明，③取特值判斷，④例如時(shí)，舉一例說明，從而判斷各命題的真假．，①當(dāng)時(shí)，，最大值是1，最小值是0，差為1，①錯(cuò)；②當(dāng)時(shí)，，，②正確；③，，它的最小值正周期是，存在，使得對(duì)任意，，③正確；④當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，即，④錯(cuò)，所以正確的只有②③，故②③．四、解答題（共5題，共77分）15.函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，其中一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，列方程組，求解即可；（2）首先得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列不等式，求解即可.【小問1】由題意得，，，解得，注意到，所以只能，，所以函數(shù)的解析式為.【小問2】當(dāng)時(shí)，，令或，解得或，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.（1）求2023年該款手機(jī)的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【正確答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【分析】（1）根據(jù)利潤等于收入減去成本即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.【小問1】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以.【小問2】當(dāng)時(shí)，,∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.17.如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對(duì)兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術(shù)》商功章），已知平面，，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，可知為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取中點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，可知是直線與平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出結(jié)果.【小問1】證明：連接，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2】解：取中點(diǎn)，由題意可知，所以，且，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以，因?yàn)椋⑵矫?，所以平面．連接，則是直線與平面所成的角．由題意，同理可得，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，則，因?yàn)?，，即直線與平面所成角的余弦值為.18.某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)的生產(chǎn)線，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)為，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值m[70，80）[80，85）[85，90）[90，100]質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)廢品三等品二等品一等品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)．現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求“抽出的產(chǎn)品中恰有1件一等品”的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取14件產(chǎn)品，再從這14件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求一等品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（單位：元）的關(guān)系如下表（）：質(zhì)量指標(biāo)值m[70，80）[80，85）[85，90）[90，100]利潤y（元）－t22t4t7t試確定t為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大．【正確答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求得1件產(chǎn)品為一等品的概率為，進(jìn)而求得其概率；（2）由頻率分布直方圖，結(jié)合分層抽樣抽取的件產(chǎn)品中，二等品有件，一等品有件，得到隨機(jī)變量的所有可能取值，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；（3）由頻率分布直方圖，得到該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（元）的關(guān)系，求得每件產(chǎn)品的平均利潤，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1】解：記“抽出的產(chǎn)品中恰有1件一等品”為事件，由頻率分布直方圖可得，1件產(chǎn)品為一等品的概率為，則抽出的產(chǎn)品中恰有1件一等品的概率為.【小問2】解：由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)值的產(chǎn)品中，可得的頻率為，的頻