2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知全集，集合,集合，那么=A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．3．“”是“方程表示橢圓”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若直線l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圓x2+y2﹣x﹣2y＝0，則的最小值為（）A． B．2 C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．是定義在上周期為4的函數(shù)，且，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．的值域?yàn)?,2B．當(dāng)時(shí)，C．圖象的對(duì)稱軸為直線D．方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解二、多選題9．下列命題是真命題的有（）A．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．平面，的法向量分別為，，則D．平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則10．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為11．中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在平面上，把與定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.若是該雙紐線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的最大值是C．面積的最大值為D．的取值范圍是三、填空題12．第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)女子10米跳臺(tái)跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍.下面統(tǒng)計(jì)某社團(tuán)一位運(yùn)動(dòng)員10次跳臺(tái)跳水的訓(xùn)練成績(jī)：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為.13．已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題15．設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、且．(1)求角的大?。?2)若，邊上的高為，求三角形的周長(zhǎng)．16．已知圓M：，點(diǎn)P是直線l：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．(1)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求線段AB長(zhǎng)度的最小值．17．“中式八球”是受群眾歡迎的臺(tái)球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一.在一場(chǎng)“中式八球”邀請(qǐng)賽中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠軍，本次邀請(qǐng)賽采取“雙敗淘汰制”.具體賽制如下：首先，4人通過(guò)抽簽兩兩對(duì)陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來(lái)，“勝區(qū)”的2人對(duì)陣，勝者進(jìn)入最后的決賽，“敗區(qū)”的2人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局，獲得第四名；緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者晉級(jí)最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的2人進(jìn)行最后的冠亞軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.現(xiàn)假定甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣丁.若.（I）求甲連勝三場(chǎng)獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的概率；(2)除“雙敗淘汰制”外，“中式八球”也經(jīng)常采用傳統(tǒng)的“單敗淘汰制”；抽簽決定兩兩對(duì)陣，勝者晉級(jí)，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.問(wèn)當(dāng)p滿足什么條件時(shí)，“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請(qǐng)賽中奪冠?18．如圖，在四棱錐中，底面是由等邊三角形和等腰三角形構(gòu)成，其中為棱上一點(diǎn)，平面．(1)求的值；(2)求平面與平面夾角的余弦值．19．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)設(shè)不等式的解集為，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.答案：題號(hào)12345678910答案CCACACBCADABD題號(hào)11答案BCD1．C【分析】先化簡(jiǎn)集合A和B,再求.【詳解】由題得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以.故答案為C(1)本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)集合的運(yùn)算要注意靈活運(yùn)用維恩圖和數(shù)軸，一般情況下，有限集的運(yùn)算用維恩圖分析，無(wú)限集的運(yùn)算用數(shù)軸，這實(shí)際上是數(shù)形結(jié)合的思想的具體運(yùn)用.2．C先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)即可列式求解.【詳解】，又是純虛數(shù)，，解得.故選：C.3．A【分析】由方程表示橢圓求出參數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得且，因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：A4．C【分析】求得圓心，代入直線的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【詳解】圓的圓心為，由于直線平分圓，故圓心在直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最小值.5．A【分析】利用兩角差的正切公式求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式結(jié)合弦化切的思想可求出所求代數(shù)式的值.【詳解】，解得.因此，.故選：A.本題考查兩角差的正切公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式求值，解題的關(guān)鍵就是利用弦化切思想進(jìn)行化簡(jiǎn)，同時(shí)也要注意弦化切所適用的基本類型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6．C【分析】先用定義法證明為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)解析式可知為增函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，又因?yàn)?，所以為上的增函?shù).因?yàn)?，為奇函?shù)，所以，又為上的增函數(shù)，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.7．B【分析】利用給定條件找到外接球球心，利用勾股定理得到半徑，再求解面積即可.【詳解】

如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又，所以，故，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，設(shè)和的外心分別為，則分別在線段上，且，設(shè)外接球的球心為O，連接，在正方形中，由勾股定理得，由勾股定理得，故，故B正確.故選：B8．C【分析】畫(huà)出的部分圖象結(jié)合圖形分析每一個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)周期性，畫(huà)出的部分圖象如上圖所示，由圖可知，選項(xiàng)A，D正確，C不正確；根據(jù)周期為，當(dāng)時(shí)，，故B正確.故選：C.方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).9．AD【分析】根據(jù)直線的方向向量、平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：∵，，∴，則，∴直線與垂直，故A正確；B：，，則，則，∴或，故B錯(cuò)誤；C：∵，，∴與不共線，∴不成立，故C錯(cuò)誤；D：∵點(diǎn)，，，∴，.∵向量是平面的法向量，∴，即，解得，故D正確.故選：AD10．ABD【分析】在選項(xiàng)A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；在選項(xiàng)B中，根據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解判斷即可；在選項(xiàng)C中，根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解判斷即可；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.【詳解】在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD11．BCD【分析】根據(jù)雙紐線的定義可得曲線的方程為，對(duì)于A，由解不等式即可判斷；對(duì)于B，，結(jié)合，求解即可判斷；對(duì)于C，令，可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積最大值即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合基本不等式判斷即可.【詳解】設(shè)Px,y是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義得：，整理可得曲線的方程為，對(duì)于A：整理可得：，由可得，即，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確；對(duì)于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，所以，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于讀懂題意根據(jù)雙紐線的定義可得曲線的方程，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)即可求解.12．75【分析】先進(jìn)行排序，后按照百分位數(shù)概念計(jì)算可得.【詳解】先將成績(jī)進(jìn)行排序：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84.由于，60%分位數(shù)為第6和第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均值.即.故75.13．【分析】利用對(duì)稱求出點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，最后根據(jù)傾斜角與斜率的變化關(guān)系得到范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)Px0,y0，有，解得，，所以，，結(jié)合圖可知，.故答案為.14．9【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標(biāo)為，即可根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，則．由題意可得圓是關(guān)于點(diǎn)，的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，由題意得該圓的方程為，即所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，最小值為，因此當(dāng)時(shí)，的值最小為，故9

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點(diǎn)，即可利用點(diǎn)到直線的距離求解.15．(1)(2)【分析】（1）利用內(nèi)角和為化簡(jiǎn)，利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，為的?nèi)角，所以，因?yàn)?，所以可化為：，即，即，因?yàn)?，解得：，即．?）由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長(zhǎng)為.16．(1)或(2)【分析】（1）圓M的半徑，圓心，設(shè)，由PA是圓M的一條切線，得，由此能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）圓N方程為，圓，從而求出圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程，求出點(diǎn)M到直線AB的距離，由此能求出相交弦長(zhǎng)AB的最小值．【詳解】（1）∵圓，∴圓M的半徑，圓心，設(shè)，∵PA是圓M的一條切線，∴，∵切線PA的長(zhǎng)度為，∴，解得或，∴或．（2）∵圓N方程為，即，…①圓，即，…②②﹣①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為：，點(diǎn)M到直線AB的距離，相交弦長(zhǎng)即：，∴當(dāng)時(shí)，線段AB長(zhǎng)度取最小值．17．(1)（I）；（Ⅱ）(2)【分析】（1）結(jié)合對(duì)立事件概率和獨(dú)立事件概率公式求解即可；（2）結(jié)合對(duì)立事件概率和獨(dú)立事件概率公式再作差比較計(jì)算.【詳解】（1）記甲在第i場(chǎng)比賽獲勝的事件為，，2，3，4，則，.由不同對(duì)陣結(jié)果相互獨(dú)立，（I）甲連勝三場(chǎng)獲得冠軍的概率為.（Ⅱ）甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的情況有：勝勝勝、勝敗勝勝、敗勝勝勝，故概率為.（2）“雙敗淘汰制”下甲奪冠的概率為：.“單敗淘汰制”下甲奪冠的概率為.令得，解得.所以當(dāng)時(shí)，“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請(qǐng)賽中奪冠.18．(1)2(2)【分析】（1）設(shè)，連接，求得，由線面平行的性質(zhì)得出，即可得出；（2）由余弦定理求出，再證明平面，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面夾角的向量公式計(jì)算即可．【詳解】（1）如圖，設(shè)，連接，由于為等邊三角形，為等腰三角形，根據(jù)對(duì)稱性可得為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以．?）因?yàn)椋?，所以，又點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，設(shè)，由，得，解得，所以，又，，則，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，所以，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，所以，則，令，得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．19．(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的