2024-2025學(xué)年四川省眉山市仁壽縣高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省眉山市仁壽縣高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；B．用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；C．設(shè)，且，則；D．若變量x和y滿足關(guān)系，則x與y負(fù)相關(guān)．2．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．3．已知離散型隨機(jī)變量和滿足關(guān)系式，且隨機(jī)變量的概率分布表如下：013若，則（

）A． B． C． D．4．某商場(chǎng)有，兩種抽獎(jiǎng)活動(dòng)，，兩種抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)的概率分別為，，每人只能參加其中一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)．甲參加，兩種抽獎(jiǎng)活動(dòng)的概率分別為，，已知甲中獎(jiǎng)，則甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．5．為迎接2024年在永州舉行的中國龍舟公開賽，一位熱情好客的永州市民準(zhǔn)備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為（

）A．26 B．25 C．24 D．236．某校春季體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球項(xiàng)目決賽，約定“五局三勝制”，即先勝三局者獲得冠軍.已知甲、乙兩人水平相當(dāng)，記事件表示“甲獲得冠軍”，事件表示“比賽進(jìn)行了五局”，則（

）A． B． C． D．7．已知，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字，則（

）A．可以組成300個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)B．可以組成144個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)C．可以組成160個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比3400大的四位數(shù)D．可以組成21個(gè)無重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù)10．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）．A．若在R上單調(diào)遞增，則B．若，則過點(diǎn)能作兩條直線與曲線相切C．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則a的取值范圍為D．若，且的解集為，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：134571520304045根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，殘差為.（殘差觀測(cè)值-預(yù)測(cè)值）13．已知隨機(jī)變量，若，則.14．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）則實(shí)數(shù)a的值為；（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，則k的最大整數(shù)值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間與最大值．16．現(xiàn)有甲，乙兩個(gè)箱子，兩個(gè)箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，個(gè)綠球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，個(gè)綠球．(1)若從甲箱中任取出兩個(gè)球，求這兩個(gè)球顏色不同的概率．(2)若從乙箱中任取個(gè)球，記取出的黑球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．(3)若先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一個(gè)球，求從乙箱取出的球是綠球的概率．17．2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人．某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計(jì)未感染支原體肺炎4080感染支原體肺炎40合計(jì)120200(1)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？(2)用樣本估計(jì)總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818．臺(tái)州是全國三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì).某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，計(jì)劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關(guān)系如圖所示：

令，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：，，，，，，，現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)年廣告費(fèi)為6（百萬元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？(3)該公司生產(chǎn)的電動(dòng)車毛利潤為每輛200元（不含廣告費(fèi)、研發(fā)經(jīng)費(fèi)）.該公司在加大廣告投入的同時(shí)也加大研發(fā)經(jīng)費(fèi)的投入，年研發(fā)經(jīng)費(fèi)為年廣告費(fèi)的199倍.電動(dòng)車的年凈利潤受年廣告費(fèi)和年研發(fā)經(jīng)費(fèi)影響外還受隨機(jī)變量影響，設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤=毛利潤×年銷售量-年廣告費(fèi)-年研發(fā)經(jīng)費(fèi)-隨機(jī)變量）.附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.19．已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若滿足，求證.

答案1．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故A正確；對(duì)于B，用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故B正確；對(duì)于C，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，變量x和y滿足關(guān)系，由，得x與y負(fù)相關(guān)，故D正確．故選：C2．【正確答案】D【詳解】展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：D.3．【正確答案】C【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：C.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】用事件分別表示甲參加，兩種抽獎(jiǎng)活動(dòng)，表示甲中獎(jiǎng)，則，，，，由全概率公式得，所以甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)的概率．故選D.5．【正確答案】C【詳解】將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，每人至少分得一份，有種分法，而甲、乙兩人分得的份數(shù)相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4種分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為種.故選C.6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)榧?、乙兩人水平相?dāng)，所以每局比賽甲，乙獲勝的概率都是，比賽進(jìn)行了五局，分甲獲勝和乙獲勝兩種情況，甲獲得冠軍，可能進(jìn)行了3局或4局或5局比賽，則，，，所以.故選.7．【正確答案】C【詳解】令，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，且，則，即.故選C.8．【正確答案】A【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，又函?shù)y=f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得，又設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增加，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，即恒成立，所以．故選：A．9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，首位不能排0，有種排法，后面三位從剩下的5個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)進(jìn)行排列，所以共有種排法，即可以組成300個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，故A正確；對(duì)于B，個(gè)位從1，3，5選擇一個(gè)，有種選法；千位數(shù)字不可選0，從剩下的4個(gè)中選一個(gè)，有種選法；在剩下的4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)，安排在百位、十位數(shù)字，有種選法，則有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)，故B正確；對(duì)于C，比3400大的四位數(shù)分三類：第一類千位比3大的數(shù)，其它三位任意排，有個(gè)，第二類千位是3，百位比4大的數(shù)只有5，其它兩位任意排，有個(gè)，第三類千位是3，百位是4的數(shù)，其它兩位任意排，有個(gè)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得比3400大的四位數(shù)共有種，故C不正確；對(duì)于D，能被25整除的四位數(shù)分兩類：第一類：形如□□25，共有個(gè)；第二類：形如□□50，共有個(gè)，所以能被25整除的四位數(shù)共有個(gè)，故D正確．故選：ABD10．【正確答案】BCD【詳解】由已知有，故，．所以．對(duì)于A，取x=1得，取x=2得，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)求導(dǎo)得，取x=2得，B正確；對(duì)于C，，后一項(xiàng)即為余數(shù)1，C正確．對(duì)于D，由有．在中取x=0得，所以，D正確．故選：BCD．11．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，對(duì)求導(dǎo)得：，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，記，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)在處取得最大值，所以，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，時(shí)，，，設(shè)圖象上一點(diǎn)，則，故過點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，整理得，構(gòu)造函數(shù)，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，，即方程在區(qū)間僅有一解，從而在R上也僅有一解，所以過點(diǎn)只能作一條直線與曲線相切，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，即方程有兩個(gè)解為，，記，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)在處取得最大值，方程有兩個(gè)解為，等價(jià)于與圖像有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，所以，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由，得，等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，，，又，故，所以，當(dāng)時(shí)，，無解，故的解集為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，從而D錯(cuò)誤．故選：AC．12．【正確答案】【分析】首先求樣本點(diǎn)中心，并代入回歸方程，求，并代入后，即可求解殘差.【詳解】，因?yàn)榛貧w直線過點(diǎn)，代入，可得，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意可得，解得或（舍），所以，.故答案為.14．【正確答案】14【詳解】由題意，即①，又，故由題意，即②，所以由①②得.所以，故對(duì)任意的恒成立對(duì)任意的恒成立，所以，所以，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，即，即，則當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故，又，所以k的最大整數(shù)值為4.故1；4.15．【正確答案】(1)，(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得．（2）由（1）可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的最大值為．16．【正確答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【詳解】（1）由題意可知，從甲箱中任取出兩個(gè)球，這兩個(gè)球的顏色不同的概率為.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.（3）用事件、、分別表示從甲箱中取出紅球、黑球、綠球，表示從乙箱子中取出綠球，則，，，，，由全概率公式可得.17．【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān).(2)分布列見解析，.【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算卡方值并與臨界值比較即可；(2)根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式寫出分布列，再計(jì)算其期望和方差即可.【詳解】(1)列聯(lián)表，如圖所示：有慢性疾病沒有慢性疾病合計(jì)未感染支原體肺炎404080感染支原體肺炎8040120合計(jì)12080200假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關(guān).則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.(2)70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，感染支原體肺炎的老年人為120人，則感染支原體肺炎的頻率為，由已知得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以,.18．【正確答案】(1)模型②的擬合程度更好(2)，13（百萬輛）(3)0.3【詳解】（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為，，由題意可得：，,所以，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.（2）因?yàn)?，又由，，得，所以，即回歸方程為，當(dāng)x=6時(shí)，，因此當(dāng)年廣告費(fèi)為6（百萬元）時(shí)，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.（3）凈利潤為，，令，所以，可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，由題意得：，即，，即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為0.3.19．【正確答案】(1)極小值為0，無極大值；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)把代入函數(shù)中，并求出，根據(jù)的正負(fù)得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出的極值.(2)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.(3)求出，并得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對(duì)求導(dǎo)證明即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值為0，