第3講-光波在非線性介質(zhì)中傳播的基本方程

第3講光波在非線性介質(zhì)中傳播的基本方程(Wave-EquationDescriptionofNonlinearOpticalInteracion)

介質(zhì)在強(qiáng)激光作用下被極化，極化強(qiáng)度隨時間變化，作為場源產(chǎn)生輻射場，這些輻射場就是介質(zhì)中發(fā)生頻率轉(zhuǎn)換等各種光學(xué)現(xiàn)象的光電場。從麥克斯韋方程出發(fā)，可導(dǎo)出光電場在介質(zhì)中傳播的基本方程。麥克斯韋方程組回顧（ReviewofMaxwell’sEquations：(1)麥克斯韋方程組本構(gòu)方程由麥克斯韋方程組和本構(gòu)方程N(yùn)ofreecurrentsNofreechargesNonmagneticmedium

二階非線性光學(xué)效應(yīng)只能發(fā)生在非中心對稱的晶體材料中，研究光波在各向異性晶體中的線性光學(xué)傳播規(guī)律，便于以后討論三波相互作用的相位匹配條件。單色平面波復(fù)數(shù)形式的光電場強(qiáng)度表示為：光波的波矢k：這里，光波在晶體中傳播，由于色散，不同波長有不同的折射率；由于光波在光學(xué)各向異性晶體中傳播，波矢值的大小與波法線的方向有關(guān)；同一傳播方向、同一波長的光波在光學(xué)各向晶體中傳播，有兩個數(shù)值不同的波矢。我們先介紹晶體的介電常數(shù)張量：unit：cm-1光波在真空中傳播，，由，因此，

是一個對稱張量，相對介電張量也是對稱張量，經(jīng)主軸變換后的介電常數(shù)張量是對角矩陣，只有三個非零的對角元素。線性極化率張量介電常數(shù)張量上一講通過極化率的完全對易對稱性和時間反演對稱性，證明了線性極化率張量是一個對稱張量：相應(yīng)地定義三個主折射率nx,ny,nz,由麥斯斯韋關(guān)系：相當(dāng)于由晶體坐標(biāo)系變換到介電主軸坐標(biāo)系三斜、單斜和正交晶系屬于雙軸晶體(KTP,LBO、KNbO3)三方、四方和六方晶系屬于單軸晶體(LiNbO3,BBO、ZnGeP2)立方晶系各向同性（GaAs,YAG)雙軸晶體單軸晶體各向同性晶體七大晶系對應(yīng)的相對介電常數(shù)張量：拉普拉斯符號▽僅是針對笛卡爾坐標(biāo)的微分，用代替▽，用-iw

代替，其中e是波矢（光波波法線）單位矢量）。當(dāng)光波在晶體中傳播，先考慮線性極化，此時電位移矢量表示為,相對介電常數(shù)張量在介電主軸坐標(biāo)系中，電位移矢量寫成分量形式：*一般情況下，電位移矢量和電矢量

方向不同。線性極化條件下Ｍaxwell

方程為：線性極化條件下，電位移矢量振幅和電場強(qiáng)度振幅不是位移r和時間t的函數(shù)，變量r只在相位傳播項exp(-ik.r)中，時間變量t在振動項exp(-iwt)中用到了微分后的方程為：根據(jù)矢量運(yùn)算：電位移矢量D

寫為：電位移矢量寫成分量形式：利用電位移矢量D和電矢量E

關(guān)系：波矢在坐標(biāo)軸x,y,z方向上的單位矢量描述晶體光學(xué)性質(zhì)的基本方程：點位移矢量分量Di

重寫為：kDEHSB

kD,H EB DH SE,H晶體中電位移矢量D，電矢量E、波矢k，坡印廷矢量S，及磁場強(qiáng)度H間的相互垂直關(guān)系電位移矢量D

和波矢k

相互垂直：而上式描述了在晶體中傳播的光波法線（波矢）方向與相應(yīng)折射率和晶體的主介電常數(shù)之間的關(guān)系，稱為波法線的菲涅爾方程?；虿ǚň€菲涅爾方程光波波矢在相對介電主軸上的投影由平面光波在晶體中傳播的基本方程：或相當(dāng)于求解一個本征方程，其本征值為,本征矢為是一個3×3對稱方陣，本應(yīng)有三個相互正交的本征矢，而光波為橫波，光電場振動方向通常在近似垂直于波法線的平面內(nèi)，因此晶體中有兩個可以傳播的本征矢。設(shè)本征方程的另一個本征值和電場本征矢分別為：和分別用一個電場本征矢標(biāo)量乘本征方程：交換m,n指標(biāo)得：相等上式重寫為：對稱張量相等上面兩式相減得：當(dāng)時，當(dāng)m≠n00當(dāng)nm≠nn給定波矢k方向，各向異性晶體中兩個本征模的E、D、s方向結(jié)論：晶體中兩個自由傳播模的電位移矢量是正交的。當(dāng)考慮非線性極化時，極化強(qiáng)度分為線性極化項和非線性極化項：波動方程重寫為：討論：Maxwell物質(zhì)方程中，對無自由電荷非線性介質(zhì)而我們根據(jù)光學(xué)各向異性晶體材料中，電位移矢量和電矢量關(guān)系：光波矢的方向e和電矢量E不垂直，即因此由得不到實際情況中，晶體中電位移矢量和電矢量偏離角比較小，波法線方向和電矢量基本垂直，如對BBO晶體，波法線和電矢量夾角大于85度；而且理論上討論的是橫截面無限大均勻平面波，因而可近似認(rèn)為：非線性光學(xué)耦合波方程(Wave-EquationofNonlinearOpticalInteraction：波動方程寫為：非線性光學(xué)相互作用是多個光波之間耦合，考慮到色散，將介質(zhì)中的光電場合極化強(qiáng)度是多個光波場和極化強(qiáng)度的疊加，而每個單色波和作為其輻射源的極化強(qiáng)度滿足波動方程。也就是說，介質(zhì)內(nèi)有幾種相互作用的光波存在，就有幾個相應(yīng)的波動方程或非線性耦合波方程來描述。電場強(qiáng)度和極化強(qiáng)度是介質(zhì)內(nèi)它們各個頻率分量之和我們主要討論單色、振幅慢變化平面波情況，光波沿z方向傳播，光電場振幅在橫向方向上不變化（不是x或y的函數(shù)），只是笛卡爾坐標(biāo)z

的函數(shù)，光電場振幅慢變化，即不是時間的t

的函數(shù)，且介質(zhì)對相互作用的光波沒有吸收。單色平面波光電場：輻射頻率為wn的非線性極化強(qiáng)度表示為：～表示實數(shù)電場或極化場每一個頻率分量滿足波動方程，由：在平面波條件下，電場強(qiáng)度只是z的函數(shù):方程兩邊對z和t求偏微分得：方程左邊方程右邊：線性極化條件下：得到：光電場振幅慢變化近似：在一個光波長的范圍內(nèi)（），振幅的變化量很小，可以忽略該式就是平面光波在穩(wěn)態(tài)條件下的非線性耦合波方程，它是討論光波混頻的基本方程。當(dāng)脈沖激光作用到非線性介質(zhì)時，此時光電場是時間t的函數(shù)，穩(wěn)態(tài)條件對適用。（t為脈沖寬度，L為作用介質(zhì)的長度）我們通常所用的調(diào)Q激光脈沖在納秒量級，而非線性光學(xué)晶體長度一般長度10mm，因而適用于穩(wěn)態(tài)條件的耦合波方程。二階非線性效應(yīng)穩(wěn)態(tài)耦合波方程對應(yīng)的極化強(qiáng)度：定義三波共線條件下的相位失配量：光電場矢量寫為單位矢量和電場幅度的乘積：耦合波方程(1)重寫為：上式是將方程左邊的電場單位矢量移到右邊得到二階非線性極化率與三個光電場單位矢量關(guān)系重寫為：：二階非線性效應(yīng)穩(wěn)態(tài)耦合波方程重寫為：定義二階有效非線性極化率二階非線性光學(xué)效應(yīng)三波混頻耦合波方程組：相位失配量曼利——羅關(guān)系能流密度及光強(qiáng)定義：光子通量定義為：unit:W/cm2unit:/cm2.s光子通量對z微分：耦合波方程（1）兩邊同乘以，并與方程（1）兩邊先復(fù)共軛再乘以，得到的兩個方程相加：