2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之三角形（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之三角形（2024年9月）一．選擇題（共10小題）1．（2024?青秀區(qū)校級(jí)開學(xué)）以下各組數(shù)據(jù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．12，15，20 B．1，3，4 C．5，8，10 D．32．（2024春?來賓期中）某校在消防主題公園周邊修了3條小路，如圖，小路BC，AC恰好互相垂直，小路AB的中點(diǎn)M剛好在湖與小路的相交處．若測(cè)得BC的長為1200m，AC的長為900m，則CM的長為（）A．750m B．800m C．900m D．1000m3．（2024?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，∠BAD＝50°，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．BE＝CE B．∠C+∠CAF＝90° C．S△AEC＝S△ABE D．當(dāng)∠C＝∠BAD時(shí)，∠ADF＝70°4．（2024?淮陰區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（）A．2 B．55 C．12 D5．（2023秋?德慶縣期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)6．（2024春?來賓期中）如圖，某校綜合實(shí)踐小組為測(cè)量校內(nèi)人工湖的寬度AB，在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)D，E，測(cè)得DE＝16米，則人工湖的寬度AB為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米7．（2023秋?南陽期末）如圖，BD與CE交于O，AE＝AD，添加一個(gè)條件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（）A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB8．（2024春?來賓期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則下列等式正確的是（）A．b2＝a2+c2 B．2a2＝c2 C．2b2＝c2 D．2a＝c9．（2023秋?攀枝花期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC=2，∠BAC＝90°．點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝2CE，則DEA．1 B．3-52 C．35-5210．（2024春?福田區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形的一邊長為3cm，另一邊長為7cm，則它的周長為（）A．13cm B．17cm C．22cm D．13cm或17cm二．填空題（共5小題）11．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB＝12，若AC＝5，則BC＝．12．（2024春?武侯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝5，AD＝12，BD＞DE，則△BDE的面積為．13．（2024?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點(diǎn)F．只填一個(gè)條件使得△ABE≌△ACD，添加的條件是：．14．（2024春?灤南縣校級(jí)期末）如圖，D、E分別是△ABC邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝2BD，BE＝CE，連接AE、CD交于點(diǎn)F，連接BF，若△BDF的面積為4，則陰影部分的面積＝．15．（2024春?衡南縣校級(jí)期中）如圖，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若PM和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ＝°．三．解答題（共5小題）16．（2024?汕頭一模）如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，連接AD，BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）直接寫出AD和BE的位置關(guān)系．17．（2024春?衡南縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，求證：△ACD是等腰三角形．18．（2024春?秦都區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，連接AD和EF，若AB＝AD，EF＝EC，求EF的長．19．（2024?西安校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)B、E、F、D在同一直線上，BE＝DF，AB∥CD，AB＝CD．求證：AF∥CE．20．（2024春?西安校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在BC的延長線上，且BD＝AB．過點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE（2）若AB＝12，DE＝5，求CD的長．

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之三角形（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?青秀區(qū)校級(jí)開學(xué)）以下各組數(shù)據(jù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．12，15，20 B．1，3，4 C．5，8，10 D．3【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的三邊關(guān)系分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵122+152≠202，∴三邊長為12，15，20的三角形不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵1+3＜∴以1，C、∵52+82≠102，∴三邊長為5，8，10的三角形不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵32+42＝52，∴三邊長為3，4，5的三角形能組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2024春?來賓期中）某校在消防主題公園周邊修了3條小路，如圖，小路BC，AC恰好互相垂直，小路AB的中點(diǎn)M剛好在湖與小路的相交處．若測(cè)得BC的長為1200m，AC的長為900m，則CM的長為（）A．750m B．800m C．900m D．1000m【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB＝1500m，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：小路BC，AC恰好互相垂直，∴∠ACB＝90°，∴AB=A∵點(diǎn)M是小路AB的中點(diǎn)，∴CM=1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，∠BAD＝50°，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．BE＝CE B．∠C+∠CAF＝90° C．S△AEC＝S△ABE D．當(dāng)∠C＝∠BAD時(shí)，∠ADF＝70°【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；推理能力．【答案】D【分析】由中線的性質(zhì)可得BE＝CE，S△AEC＝S△ABE，由AF是△ABC的高，可得∠C+∠CAF＝90°，由角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，當(dāng)∠C＝∠BAD時(shí)，根據(jù)∠BAD＝50°可計(jì)算出∠DAF的度數(shù)，再計(jì)算出∠ADF的度數(shù)即可．【解答】解：∵AE是中線，∴BE＝CE，S△AEC＝S△ABE，故A、C說法正確；∵AF是△ABC的高，∴∠AFC＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，故B說法正確；∵AD是角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴當(dāng)∠C＝∠BAD＝50°時(shí)，∠CAF＝40°，∴∠FAD＝∠DAC﹣∠FAC＝50°﹣40°＝10°，∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝90°﹣10°＝80°，故D說法錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積、角平分線等知識(shí)，熟記三角形面積公式、角平分線定義是解題的關(guān)鍵．4．（2024?淮陰區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（）A．2 B．55 C．12 D【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義．【答案】C【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：連接AC，由網(wǎng)格特點(diǎn)和勾股定理可知，AC=12+12=2，ABAC2+AB2＝10，BC2＝10，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ABC=AC故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義、掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?德慶縣期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【答案】B【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．由此即可確定涼亭位置．【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．主要利用了利用了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．6．（2024春?來賓期中）如圖，某校綜合實(shí)踐小組為測(cè)量校內(nèi)人工湖的寬度AB，在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)D，E，測(cè)得DE＝16米，則人工湖的寬度AB為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】直接利用三角形的中位線定理，進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝32米；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中位線定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?南陽期末）如圖，BD與CE交于O，AE＝AD，添加一個(gè)條件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（）A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE＝AD，∠A＝∠A，具備了一組邊和一組角對(duì)應(yīng)相等，還缺少邊或角對(duì)應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進(jìn)行選擇即可．【解答】解：∵∠A＝∠A，AE＝AD，∴當(dāng)BE＝CD時(shí)，則AB＝AC，依據(jù)SAS即可得到△ABE≌△ACD；當(dāng)CE＝BD時(shí)，則△ABD和△ACE全等條件是SSA，不能判定△ABD≌△ACE；當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，由于∠EOB＝∠DOC，則∠ABD＝∠ACE，依據(jù)ASA即可得到△ABE≌△ACD；當(dāng)∠ABC＝∠ACB時(shí)，則AB＝AC，依據(jù)SAS即可得到△ABE≌△ACD；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL．添加時(shí)注意：AAA，SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．8．（2024春?來賓期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則下列等式正確的是（）A．b2＝a2+c2 B．2a2＝c2 C．2b2＝c2 D．2a＝c【考點(diǎn)】勾股定理；三角形內(nèi)角和定理；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得△ABC是直角三角形，且c是斜邊，從而得到a2+b2＝c2，c＝2a，即可求解．【解答】解：設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∴x+2x+3x＝180°，解得：x＝30°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，且c是斜邊，∴a2+b2＝c2，c＝2a，故選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．9．（2023秋?攀枝花期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC=2，∠BAC＝90°．點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝2CE，則DEA．1 B．3-52 C．35-52【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．【答案】C【分析】由等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，由全等三角形的性質(zhì)可得DF＝DE，設(shè)EC＝x，則BF＝x，BD＝2x，DF＝DE=5x，根據(jù)BC＝2，列方程，求出x【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC=2，∠BAC＝90∴∠ABC＝∠C＝45°，∴BC=AB2把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，AD=AD∠FAD=∠EAD∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，BF＝EC，設(shè)EC＝x，則BF＝x，BD＝2x，∴DF=BF∵BC＝2，∴2x+5x+x＝2∴x=3-∴DE=5x=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的應(yīng)用，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．10．（2024春?福田區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形的一邊長為3cm，另一邊長為7cm，則它的周長為（）A．13cm B．17cm C．22cm D．13cm或17cm【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3cm和7cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為3cm時(shí)，3+3＝6＜7，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為7cm時(shí)，3+7＞7，所以能構(gòu)成三角形，周長是：3+7+7＝17（cm）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB＝12，若AC＝5，則BC＝119．【考點(diǎn)】勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】119．【分析】由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【解答】解：由勾股定理得：BC=A故答案為：119．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理解決問題．12．（2024春?武侯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝5，AD＝12，BD＞DE，則△BDE的面積為30．【考點(diǎn)】三角形的面積；垂線段最短．【答案】30．【分析】根據(jù)SAS證明△ABF與△BED全等，BF＝DE＝5，然后利用S△BDE【解答】解：∵BD是高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C＝∠E，在BD上截取BF＝DE，如圖所示：在△ABF與△BED中AB=BE∠ABD=∠E∴△ABF≌△BED（SAS），∴BF＝DE＝5，∴S△BDE故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線，根據(jù)SAS證明△ABF≌△BED全等是解題的關(guān)鍵．13．（2024?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點(diǎn)F．只填一個(gè)條件使得△ABE≌△ACD，添加的條件是：∠B＝∠C（答案不唯一）．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】∠B＝∠C（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，已經(jīng)有一組邊相等，一個(gè)公共角，結(jié)合圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，添加一組角相等，構(gòu)成ASA，即可得到兩個(gè)三角形全等．根據(jù)其他的判定定理，也可添加其他的條件．【解答】解：∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可．14．（2024春?灤南縣校級(jí)期末）如圖，D、E分別是△ABC邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝2BD，BE＝CE，連接AE、CD交于點(diǎn)F，連接BF，若△BDF的面積為4，則陰影部分的面積＝3．【考點(diǎn)】三角形的面積；三角形的角平分線、中線和高．【答案】3．【分析】根據(jù)AD＝2BD得到S△ADF＝2S△BDF＝8，S△ADC＝2S△BDC，再由三角形中線平分三角形面積得到S陰影＝S△BEF，S△ABE＝S△ACE，S陰影＝S△BEF＝x，則S△BDC＝2x+4，根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系推出S△ACE＝5x，則5x＝x+8+4，解方程即可得到答案．【解答】解：∵AD＝2BD，∴S△ADF＝2S△BDF＝8，S△ADC＝2S△BDC，∵BE＝CE，∴S陰影＝S△BEF，S△ABE＝S△ACE，設(shè)S陰影＝S△BEF＝x，則S△BDC＝2x+4，∴S△ACD＝4x+8，∴S△ACF＝4x，∴S△ACE＝5x，∴5x＝x+8+4，解得x＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高，掌握等底同高的三角形面積相等是解題的關(guān)鍵．15．（2024春?衡南縣校級(jí)期中）如圖，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若PM和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ＝90°．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；運(yùn)算能力．【答案】90．【分析】先由PM和QN分別垂直平分AB和AC，得出∠2＝∠B，∠1＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)列式作答即可．【解答】解：如圖：∵PM和QN分別垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝QC，∴∠2＝∠B，∠1＝∠C，∵∠B＝20°，∠C＝25°，∴∠3＝180°﹣2（∠B+∠C）＝90°，故答案為：90．【點(diǎn)評(píng)】＝本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．三．解答題（共5小題）16．（2024?汕頭一模）如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，連接AD，BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）直接寫出AD和BE的位置關(guān)系．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）AD⊥BE．【分析】（1）先證明∠ACD＝∠BCE，然后根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△BCE；（2）延長AD交BE于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)N，由全等三角形的性質(zhì)得∠CAD＝∠CBE，由∠CAD+∠ANC＝90°可證∠CBE+∠BNF＝90°，進(jìn)而可證結(jié)論成立．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：延長AD交BE于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ANC＝90°，∵∠ANC＝∠BNF，∠CBE+∠BNF＝90°，∴∠BFN＝90°，∴AD⊥BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，對(duì)頂角相等，證明△ACD≌△BCE是解答本題的關(guān)鍵．17．（2024春?衡南縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，求證：△ACD是等腰三角形．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD度數(shù)，即可得到∠A＝∠ACD，繼而得證．【解答】證明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=又∵∠A＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD，即△ACD是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD度數(shù)解答．18．（2024春?秦都區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，連接AD和EF，若AB＝AD，EF＝EC，求EF的長．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】4．【分析】連接AF，在△ABC中，由“等腰三角形三線合一”可得∠AFC＝90°，由“等邊對(duì)等角”可得∠EFC＝∠C，由“等角的余角相等”可得∠AFE＝∠FAE，由此可得EA=EF=EC=12AC【解答】解：連接AF，∵AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C，∴∠EAF＝∠AFE，∴EA=EF=EC=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2024?西安校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)B、E、F、D在同一直線上，BE＝DF，AB∥CD，AB＝CD．求證：AF∥CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力．【答案】見解析過程．【分析】由“SAS”可證△ABF≌△CDE，可得∠AFB＝∠CED，可得結(jié)論．【解答】證明：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，在△ABF和△CDE中，AB=CD∠B=∠D∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．（2024春?西安校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在BC的延長線上，且BD＝AB．過點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE（2）若AB＝12，DE＝5，求CD的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）CD＝7．【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等，證明∠A＝∠DBE，再根據(jù)ASA即可證明△ABC≌△BDE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出AB＝CD+DE，即可求解．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠A=∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）證得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．∵AB＝12，DE＝5，∴CD＝AB﹣DE＝12﹣5＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．

考點(diǎn)卡片1．余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．2．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．3．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．4．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．5．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．6．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．7．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．8．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．9．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE10．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．11．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．12．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡稱：等角對(duì)等邊】說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．13．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜