2024屆河南省南陽地區(qū)高三上學期期末熱身摸底聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽地區(qū)2024屆高三上學期期末熱身摸底聯考數學試題一、選擇題1.下列向量中，與向量共線的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】與向量共線的向量需滿足.故選：C.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.3.現有一個圓臺形的杯子，杯口的內徑為，杯底的內徑為，杯中盛滿溶液時溶液的高度為，當杯中盛滿溶液時，杯中溶液的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，杯底面積為，杯口面積為，又溶液高度為.當杯中盛滿溶液時，溶液的體積．故選：A.4.已知橢圓的焦點為，為上一點，且點不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.5.函數在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，當時，，則，所以在上的值域為．故選：B6.已知是曲線與直線相鄰的三個交點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函數的圖象如圖所示，不妨設，可知的最小正周期，的周期與的周期相等，所以，解得．故選:A.7.已知，C是拋物線上的三個點，F為焦點，，點C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因為M的準線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當且僅當C，D，F三點共線且C在線段DF上時，等號成立，所以的最小值為．故選：B.8.已知函數在上的導函數為，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，即在上單調遞減．由，得，則，得，所以，得，所以原不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知函數，則（）A.為奇函數 B.為偶函數 C. D.【答案】ACD【解析】函數定義域為，且，所以為奇函數，故A正確，B錯誤．因為，所以，故C正確．，故D正確．故選：ACD10.在數列中，，則（）A.數列是等差數列 B.數列是等比數列C.當時，單調遞增 D.數列的前n項和的最小值為【答案】BC【解析】由，可得，因為，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，則，A錯誤，B正確．當時，，所以單調遞增，C正確．因為，由C知，當時，單調遞增，所以當時，，當時，，所以的最小值為，D錯誤．故選：BC.11.某公司成立了甲、乙、丙三個科研小組，針對某技術難題同時進行科研攻關，攻克該技術難題的小組都會獲得獎勵．已知甲、乙、丙三個小組攻克該技術難題的概率分別為，且三個小組各自獨立進行科研攻關，則（）A.該技術難題被攻克的概率為：B.在該技術難題被攻克的條件下，只有一個小組獲得獎勵的概率為C.在丙小組攻克該技術難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為D.在該技術難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率最大【答案】BD【解析】記甲、乙、丙三個小組各自攻克該技術難題分別為事件A，B，C，對于A項，記該技術難題被攻克事件M，則，故A項錯誤；對于B項，記恰有一個小組獲得獎勵為事件R，則．由A項知，記技術難題被攻克為事件M，則，在該技術難題被攻克的條件下，只有一個小組受到獎勵的概率為，故B項正確；對于C項，在丙小組攻克該技術難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為，故C項錯誤；對于D項，記恰有兩個小組獲得獎勵為事件N，則．在該技術難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率為，這兩個小組是甲和乙的概率為，這兩個小組是甲和丙的概率為，故D項正確．故選：BD.12.如圖，在棱長為6的正方體中，E，F分別是棱，BC的中點，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長為【答案】BCD【解析】如圖，以A為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以，所以．設平面的法向量為，則令，得．因為，所以與平面不垂直，則A錯誤．設異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因為，所以點到平面的距離是，則C正確．分別棱上取點M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數據可得，則平面截正方體所得圖形的周長為，故D正確．故選：BCD.三、填空題13.若復數，則__________【答案】【解析】因為，所以．故答案為：.14.已知一組數據1，3，9，5，7，則這組數據的標準差為___________．【答案】【解析】這組數據的平均數為，所以這組數據的方差為，所以這組數據的標準差為．故答案為：.15.設的小數部分為，則__________.【答案】7【解析】因為，所以的整數部分為3，則，即，所以，故.故答案為：716.已知函數存在兩個異號的零點，則k的取值范圍是___________．【答案】【解析】因為，設函數令，令，得．當時，，則，，，則在上單調遞減，在上單調遞增．設直線與曲線切于點，則，解得．當時，，則．如圖所示，又因為的圖象過定點，所以依題意可得．故答案為：.四、解答題17.在數列中，且成等比數列．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．解：（1）由，即，可知數列是以1為公差的等差數列．因為成等比數列，所以，所以，解得，所以，故數列的通項公式為.（2），則所以數列的前n項和.18.在梯形ABCD中，．（1）求AC；（2）若，求的值．解：（1）在中，由正弦定理，即，得，解得；（2）由，得，因為，所以．在中，由余弦定理，得，即或2，經檢驗，均滿足要求，因為，所以或9.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，．（1）證明：平面平面ABCD．（2）求平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值．（1）證明：因為，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因為平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）解：過點P作，OP交AD于點O，過點O作，OE與BC交于點E．在中，，則，．以O為坐標原點，向量的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設平面PBC的法向量為，則，即令，得．由（1）知，是平面PAD的一個法向量，所以，故平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值為．20.已知函數（1）當時，求的最小值；（2）若關于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當時，，則由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故．（2）由題意可得．當時，由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故．因為不等式恒成立，所以，解得．當時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．21.甲袋中裝有3個紅球，3個白球，乙袋中裝有1個紅球，2個白球，兩個袋子均不透明，所有的小球除顏色外完全相同．先從甲袋中一次性抽取3個小球，記錄顏色后放入乙袋，再將乙袋中的小球混勻后從乙袋中一次性抽取3個小球，記錄顏色．設隨機變量X表示在甲袋中抽取出的紅球個數，Y表示在乙袋中抽取出的紅球個數，Z表示在甲、乙兩個袋中共抽取出的紅球個數，（1）求概率；（2）求Z的分布列與數學期望．解：（1）因為X的取值可能為0，1，2，3，，，所以．（2）當時，或；當時，或或；當時，或或或；當時，或或．所以Z的取值可能為0，1，2，3，4，5，6．；；；；；；．所以Z的分布列為Z0123456P所以．22.已知離心率為的雙曲線的虛軸長為2．（1）求C的方程；（2）已知，過點的直線l（斜率不為0）與C交于M，N兩點，直線與交于點P，若Q為圓上的動點，求的最小值.解：（1）依題意可得解得，故C的方程為．（2）設l的方程為，設，聯立得，則．直線，直線，聯立與，得，解得，故點P在定直線上．因為圓的圓心到直線的距離為3，所以的最小值為．河南省南陽地區(qū)2024屆高三上學期期末熱身摸底聯考數學試題一、選擇題1.下列向量中，與向量共線的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】與向量共線的向量需滿足.故選：C.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.3.現有一個圓臺形的杯子，杯口的內徑為，杯底的內徑為，杯中盛滿溶液時溶液的高度為，當杯中盛滿溶液時，杯中溶液的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，杯底面積為，杯口面積為，又溶液高度為.當杯中盛滿溶液時，溶液的體積．故選：A.4.已知橢圓的焦點為，為上一點，且點不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.5.函數在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，當時，，則，所以在上的值域為．故選：B6.已知是曲線與直線相鄰的三個交點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函數的圖象如圖所示，不妨設，可知的最小正周期，的周期與的周期相等，所以，解得．故選:A.7.已知，C是拋物線上的三個點，F為焦點，，點C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因為M的準線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當且僅當C，D，F三點共線且C在線段DF上時，等號成立，所以的最小值為．故選：B.8.已知函數在上的導函數為，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，即在上單調遞減．由，得，則，得，所以，得，所以原不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知函數，則（）A.為奇函數 B.為偶函數 C. D.【答案】ACD【解析】函數定義域為，且，所以為奇函數，故A正確，B錯誤．因為，所以，故C正確．，故D正確．故選：ACD10.在數列中，，則（）A.數列是等差數列 B.數列是等比數列C.當時，單調遞增 D.數列的前n項和的最小值為【答案】BC【解析】由，可得，因為，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，則，A錯誤，B正確．當時，，所以單調遞增，C正確．因為，由C知，當時，單調遞增，所以當時，，當時，，所以的最小值為，D錯誤．故選：BC.11.某公司成立了甲、乙、丙三個科研小組，針對某技術難題同時進行科研攻關，攻克該技術難題的小組都會獲得獎勵．已知甲、乙、丙三個小組攻克該技術難題的概率分別為，且三個小組各自獨立進行科研攻關，則（）A.該技術難題被攻克的概率為：B.在該技術難題被攻克的條件下，只有一個小組獲得獎勵的概率為C.在丙小組攻克該技術難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為D.在該技術難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率最大【答案】BD【解析】記甲、乙、丙三個小組各自攻克該技術難題分別為事件A，B，C，對于A項，記該技術難題被攻克事件M，則，故A項錯誤；對于B項，記恰有一個小組獲得獎勵為事件R，則．由A項知，記技術難題被攻克為事件M，則，在該技術難題被攻克的條件下，只有一個小組受到獎勵的概率為，故B項正確；對于C項，在丙小組攻克該技術難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為，故C項錯誤；對于D項，記恰有兩個小組獲得獎勵為事件N，則．在該技術難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率為，這兩個小組是甲和乙的概率為，這兩個小組是甲和丙的概率為，故D項正確．故選：BD.12.如圖，在棱長為6的正方體中，E，F分別是棱，BC的中點，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長為【答案】BCD【解析】如圖，以A為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以，所以．設平面的法向量為，則令，得．因為，所以與平面不垂直，則A錯誤．設異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因為，所以點到平面的距離是，則C正確．分別棱上取點M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數據可得，則平面截正方體所得圖形的周長為，故D正確．故選：BCD.三、填空題13.若復數，則__________【答案】【解析】因為，所以．故答案為：.14.已知一組數據1，3，9，5，7，則這組數據的標準差為___________．【答案】【解析】這組數據的平均數為，所以這組數據的方差為，所以這組數據的標準差為．故答案為：.15.設的小數部分為，則__________.【答案】7【解析】因為，所以的整數部分為3，則，即，所以，故.故答案為：716.已知函數存在兩個異號的零點，則k的取值范圍是___________．【答案】【解析】因為，設函數令，令，得．當時，，則，，，則在上單調遞減，在上單調遞增．設直線與曲線切于點，則，解得．當時，，則．如圖所示，又因為的圖象過定點，所以依題意可得．故答案為：.四、解答題17.在數列中，且成等比數列．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．解：（1）由，即，可知數列是以1為公差的等差數列．因為成等比數列，所以，所以，解得，所以，故數列的通項公式為.（2），則所以數列的前n項和.18.在梯形ABCD中，．（1）求AC；（2）若，求的值．解：（1）在中，由正弦定理，即，得，解得；（2）由，得，因為，所以．在中，由余弦定理，得，即或2，經檢驗，均滿足要求，因為，所以或9.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，．（1）證明：平面平面ABCD．（2）求平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值．（1）證明：因為，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因為平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）解：過點P作，OP交AD于點O，過點O作，OE與BC交于點E．在中，，則，．以O為坐標原點，向量的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設平面PBC的法向量為，則，即令，得．由（1）知，是平面PAD的一個法向量，所以，故平面PAD和平面PBC的夾角的