2025屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市房山區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合或，集合，則為（）A B.或x≥4C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧匣?，集合，所以，故選:C.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A.y＝x﹣2 B.y＝|lnx| C.y＝2﹣x D.y＝xsinx【答案】A【解析】A.f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件.B.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.C.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，在（0，+∞）不具備單調(diào)性，不滿足條件.故選：A.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為，故選：C.4.已知兩條不同的直線，和兩個(gè)不同的平面，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】若，，則或，故A錯(cuò)誤；若，，則或?yàn)楫惷嬷本€，故B錯(cuò)誤；若，，則或或與斜交，故C錯(cuò)誤；若，則內(nèi)必有一直線滿足，又，所以，又，所以，故D正確.故選：D.5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象.若函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點(diǎn)為，由圖可知，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)，則，解得，因?yàn)閷⒑瘮?shù)函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以平移后的函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，即相當(dāng)于把的圖象與軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即可，由圖可知此點(diǎn)為，所以，故選：B.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)，時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.已知函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的定義域?yàn)?B.的圖象關(guān)于軸對稱C.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔄正確；又，所以的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B9.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成.這兩個(gè)圓錐的底面直徑和高分別相等，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度（h）的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個(gè)沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】細(xì)沙全部在上部時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細(xì)沙的體積為.細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設(shè)高為，則，得.∴.故選：A.10.對于函數(shù)﹐若集合中恰有個(gè)元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”.若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.-∞,0 B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則集合中恰有個(gè)元素.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一段部分為，注意的函數(shù)本身具有偶函數(shù)性質(zhì)，故集合中不止有兩個(gè)元素，矛盾，當(dāng)時(shí)，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為或，為，故當(dāng)，該方程無解，當(dāng)，解得或，故要使得集合中恰有個(gè)元素，則需要滿足，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的取值為，為，根據(jù)題意得滿足恰有兩個(gè)元素，故滿足條件.綜上，實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】【解析】由題得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為12.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則____________．【答案】【解析】由題設(shè)知：，故.13.已知命題：若，為第二象限角，且，則.能說明為假命題的一組，的值為__________，________.【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】如，，滿足，為第二象限角，且，但是，，即，即命題為假命題，故，符合題意（答案不唯一）故答案為：；（答案不唯一）14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，即為，解得，當(dāng)時(shí)，即為，解得，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以且，解得且，所以.故答案為：.15.如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；④是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中所有正確結(jié)論序號是____________．【答案】①④【解析】對于①，如下圖所示：在邊長為1的正方體中，易知平面，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的一個(gè)動點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，且，則三棱錐的體積，故①正確；對于②，連接，，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校?，所以不垂直，所以使得不垂直平面，所以②不正確.對于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，無論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交，故③錯(cuò)誤；對于④，根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)檎襟w中，易知平面，所以，設(shè)，則，，在中，，，則該截面面積，由，當(dāng)時(shí)，，故④正確；故答案為：①④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，，，.（1）求，的值和的面積；（2）求的值.解：（1）由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，進(jìn)一步；（2）由余弦定理可得，，因?yàn)?，所以，而，從?17.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f'x的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,0，2,0，如圖所示.（1）的值；（2），，的值；（3）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由圖象可知：在上，；在上，；在上，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，；（2）因?yàn)榍遥?，，得：，解得：，，；?）由（2）得，則，可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，，，，.18.已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間上的最大值.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，此題得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）因?yàn)?，則為奇函數(shù)，故②不能選，選擇條件①③：因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，因?yàn)椋?，的值不唯一，故不能選.選擇條件①④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所?選擇條件③④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，所以.（2）因?yàn)?，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，且.19.如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）在四棱柱中，連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，在中，因?yàn)?、分別為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）（i）選擇條件①：因?yàn)榈酌媸钦叫危?，?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因?yàn)?，則，與選擇條件①：等價(jià)，故條件不能進(jìn)一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結(jié)，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因?yàn)?，，所以，在中，因?yàn)?，，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，且，，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面面的一個(gè)法向量，則即.不妨設(shè)，則，可得，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角，設(shè)為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（下面同選擇條件②）.（ii）如圖所示，平面，理由如下：，與相交，所以直線與直線異面，這表明四點(diǎn)不共面，即平面.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，成立.參考數(shù)據(jù).解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即.（2）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以在0,+∞上遞減，在上遞增；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則或，①當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)和時(shí)，f'所以在上遞減，在和上遞增；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)和時(shí)，f'所以在上遞減，在和0,+∞上遞增.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知：在0,1上遞減，在1,+∞上遞增，則，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，即當(dāng)時(shí)，成立.21.已知{an}是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，最小值記為Bn，令．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），寫出b1，b2，b3的值；（Ⅱ）證明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，???）；（Ⅲ）若{bn}是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n0，當(dāng)n≥n0時(shí)，an，an+1，an+2，…是等比數(shù)列．解：（Ⅰ）∵an＝2n，∴An＝2n，Bn＝2，∴n．b1＝1，b2＝2，b3＝3．（Ⅱ）證明：由題意知An+1≥An＞0，0＜Bn+1≤Bn，所以An+1Bn≥AnBn+1．所以，即bn+1≥bn．（Ⅲ）證明：由題意知，及bn+1≥bn，①當(dāng)bn+1＝bn時(shí)，得bn＝1，即．所以An＝Bn．所以an＝a1．即{an}為公比等于1的等比數(shù)列．②當(dāng)bn+1＞bn時(shí)，令at＝min{a1，a2，…，an，…}，則Bm＝at（m≥t）．當(dāng)n≥t時(shí)，顯然An+1＞An．若an+1≤An，則An+1＝An，與An+1＞An矛盾，所以an+1＞An≥an，即An+1＝an+1．取n0＝t+1，當(dāng)n≥n0時(shí)，，顯然an，an+1，an+2，…是等比數(shù)列．綜上，存在正整數(shù)n0，使得n≥n0時(shí)，an，an+1，an+2，…是等比數(shù)列．北京市房山區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合或，集合，則為（）A B.或x≥4C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧匣?，集合，所以，故選:C.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A.y＝x﹣2 B.y＝|lnx| C.y＝2﹣x D.y＝xsinx【答案】A【解析】A.f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件.B.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.C.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，在（0，+∞）不具備單調(diào)性，不滿足條件.故選：A.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為，故選：C.4.已知兩條不同的直線，和兩個(gè)不同的平面，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】若，，則或，故A錯(cuò)誤；若，，則或?yàn)楫惷嬷本€，故B錯(cuò)誤；若，，則或或與斜交，故C錯(cuò)誤；若，則內(nèi)必有一直線滿足，又，所以，又，所以，故D正確.故選：D.5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象.若函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點(diǎn)為，由圖可知，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)，則，解得，因?yàn)閷⒑瘮?shù)函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以平移后的函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，即相當(dāng)于把的圖象與軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即可，由圖可知此點(diǎn)為，所以，故選：B.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)，時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.已知函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的定義域?yàn)?B.的圖象關(guān)于軸對稱C.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔄正確；又，所以的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B9.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成.這兩個(gè)圓錐的底面直徑和高分別相等，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度（h）的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個(gè)沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】細(xì)沙全部在上部時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細(xì)沙的體積為.細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設(shè)高為，則，得.∴.故選：A.10.對于函數(shù)﹐若集合中恰有個(gè)元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”.若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.-∞,0 B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則集合中恰有個(gè)元素.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一段部分為，注意的函數(shù)本身具有偶函數(shù)性質(zhì)，故集合中不止有兩個(gè)元素，矛盾，當(dāng)時(shí)，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為或，為，故當(dāng)，該方程無解，當(dāng)，解得或，故要使得集合中恰有個(gè)元素，則需要滿足，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的取值為，為，根據(jù)題意得滿足恰有兩個(gè)元素，故滿足條件.綜上，實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】【解析】由題得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為12.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則____________．【答案】【解析】由題設(shè)知：，故.13.已知命題：若，為第二象限角，且，則.能說明為假命題的一組，的值為__________，________.【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】如，，滿足，為第二象限角，且，但是，，即，即命題為假命題，故，符合題意（答案不唯一）故答案為：；（答案不唯一）14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，即為，解得，當(dāng)時(shí)，即為，解得，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以且，解得且，所以.故答案為：.15.如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；④是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中所有正確結(jié)論序號是____________．【答案】①④【解析】對于①，如下圖所示：在邊長為1的正方體中，易知平面，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的一個(gè)動點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，且，則三棱錐的體積，故①正確；對于②，連接，，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以不垂直，所以使得不垂直平面，所以②不正確.對于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，無論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交，故③錯(cuò)誤；對于④，根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)檎襟w中，易知平面，所以，設(shè)，則，，在中，，，則該截面面積，由，當(dāng)時(shí)，，故④正確；故答案為：①④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，，，.（1）求，的值和的面積；（2）求的值.解：（1）由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，進(jìn)一步；（2）由余弦定理可得，，因?yàn)?，所以，而，從?17.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f'x的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,0，2,0，如圖所示.（1）的值；（2），，的值；（3）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由圖象可知：在上，；在上，；在上，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，；（2）因?yàn)榍?，，，得：，解得：，，；?）由（2）得，則，可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，，，，.18.已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間上的最大值.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，此題得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）因?yàn)?，則為奇函數(shù)，故②不能選，選擇條件①③：因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，因?yàn)?，所以，的值不唯一，故不能選.選擇條件①④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因?yàn)椋?，即，所?選擇條件③④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，所以.（2）因?yàn)?，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，且.19.如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）在四棱柱中，連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，在中，因?yàn)?、分別為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）（i）選擇條件①：因?yàn)榈酌媸钦叫危?，?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因?yàn)?，則，與選擇條件①：等價(jià)，故條件不能進(jìn)一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結(jié)，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因?yàn)?，，所以，在中，因?yàn)?，，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，且，，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面面的一個(gè)法向量，則即.不妨設(shè)，則，可得，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角，設(shè)為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因?yàn)榈酌媸钦叫危?，因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面