2025屆福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)高中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)高中2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.2.函數(shù)的最小正周期為（）A.4 B. C.8 D.【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期為.故選：D.3.在中國(guó)傳統(tǒng)的十二生肖中，馬?牛?羊?雞?狗?豬為六畜，則“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖屬于六畜”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若甲的生肖不是馬，則甲的生肖未必屬于六畜；若甲的生肖屬于六畜，則甲的生肖不一定是馬.故“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖屬于六畜”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】由題意可得：，化簡(jiǎn)得：，所以，所以的虛部為.故選：A.5.在梯形中，，與BD交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故，進(jìn)而，故.故選：A.6.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，故,解得，取，為最小值，故選：A7.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A.8.若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，，故由可得，故,則，取，取，因此只有符合要求，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若與分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)榕c分別為定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故選：AC.10.如圖，在中，，，點(diǎn)分別邊上，點(diǎn)均在邊上，設(shè)，矩形的面積為，且關(guān)于的函數(shù)為，則（）A.的面積為 B.C.先增后減 D.的最大值為【答案】ACD【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，且，所以的面積為A正確.過(guò)作，垂足為，設(shè)與交于點(diǎn)，由等面積法可得，則.由，得，則，所以，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，B錯(cuò)誤，C，D均正確.故選：ACD11.已知向量，，滿(mǎn)足，，，，則（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】根據(jù)題意不妨設(shè)，，，則，，所以，化簡(jiǎn)得，記為圓，即是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上的向量.對(duì)于，，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，表示原點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，所以最大值為圓的直徑，即，故正確；對(duì)于，，表示點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以的最小值為,的最大值為，故正確，錯(cuò)誤.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】.13.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由于，所以，要使在上單調(diào)遞增，則，解得，故的最大值為.14.已知函數(shù)，，若與的零點(diǎn)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為3，則m的取值范圍是__________.【答案】【解析】由，得，令函數(shù)，一次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，因此直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；由，得，令函數(shù)，依題意，函數(shù)有不同于的兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不能是，由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，或，則當(dāng)或時(shí)，與的零點(diǎn)相同，由，得，由，得，因此且，所以m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的面積為，求．解：（1）由題意知，即，由于，故，即，結(jié)合，則；（2），，的面積為，則，則，故，故.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求m的取值范圍.解：（1）由可得，故，又，故y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，即（2），令，令，則，由于在0,+∞單調(diào)遞增，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，故，且當(dāng)，又h1=0故當(dāng)時(shí)，而，因此時(shí)，而，故時(shí)，而，故在0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，故，因此，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿(mǎn)足，綜上可得17.已知函數(shù).（1）將化成（，，）的形式；（2）求在上的值域；（3）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集.解：（1）由可得；（2），則，故，故，故值域?yàn)?,2.（3）由題意可得，故，即,故，解得，故不等式的解集為18.已知函數(shù)，滿(mǎn)足，.（1）若為上的增函數(shù)，求的取值范圍.（2）證明：與的圖象關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng).（3）若，且關(guān)于的方程在內(nèi)有解，求的取值范圍.解：（1）由，可得，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）因?yàn)?，，所以即，所以，函?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，再把向右方平移2個(gè)單位得到，所以函數(shù)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）由（2）可得，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，所以在內(nèi)有解，所以在內(nèi)有解，，由（1）可知時(shí)，為上的增函數(shù)，所以，所以在內(nèi)有解，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，所以的取值范圍為.19.若存在有限個(gè)，使得，且不是偶函數(shù)，則稱(chēng)為“缺陷偶函數(shù)”，稱(chēng)為的偶點(diǎn).（1）證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一.（2）對(duì)任意x，，函數(shù)，都滿(mǎn)足.①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn).②若，證明：當(dāng)時(shí)，.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）由可得，由可得，解得，所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一，且為0，（2）由可得對(duì)任意x，，恒成立，所以存在常數(shù)，使得,令，則，且，解得，①，則，由于是“缺陷偶函數(shù)”，故，即，即，則，得，，由于，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有兩個(gè)極值點(diǎn).②若，即，則，故，當(dāng)時(shí)，要證，只需要證.，因?yàn)?，故，只需證，令，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故，所以，從而，故，時(shí)，得證.福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)高中2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.2.函數(shù)的最小正周期為（）A.4 B. C.8 D.【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期為.故選：D.3.在中國(guó)傳統(tǒng)的十二生肖中，馬?牛?羊?雞?狗?豬為六畜，則“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖屬于六畜”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若甲的生肖不是馬，則甲的生肖未必屬于六畜；若甲的生肖屬于六畜，則甲的生肖不一定是馬.故“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖屬于六畜”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】由題意可得：，化簡(jiǎn)得：，所以，所以的虛部為.故選：A.5.在梯形中，，與BD交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故，進(jìn)而，故.故選：A.6.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，故,解得，取，為最小值，故選：A7.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A.8.若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，，故由可得，故,則，取，取，因此只有符合要求，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若與分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)榕c分別為定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故選：AC.10.如圖，在中，，，點(diǎn)分別邊上，點(diǎn)均在邊上，設(shè)，矩形的面積為，且關(guān)于的函數(shù)為，則（）A.的面積為 B.C.先增后減 D.的最大值為【答案】ACD【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，且，所以的面積為A正確.過(guò)作，垂足為，設(shè)與交于點(diǎn)，由等面積法可得，則.由，得，則，所以，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，B錯(cuò)誤，C，D均正確.故選：ACD11.已知向量，，滿(mǎn)足，，，，則（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】根據(jù)題意不妨設(shè)，，，則，，所以，化簡(jiǎn)得，記為圓，即是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上的向量.對(duì)于，，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，表示原點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，所以最大值為圓的直徑，即，故正確；對(duì)于，，表示點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以的最小值為,的最大值為，故正確，錯(cuò)誤.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】.13.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由于，所以，要使在上單調(diào)遞增，則，解得，故的最大值為.14.已知函數(shù)，，若與的零點(diǎn)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為3，則m的取值范圍是__________.【答案】【解析】由，得，令函數(shù)，一次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，因此直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；由，得，令函數(shù)，依題意，函數(shù)有不同于的兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不能是，由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，或，則當(dāng)或時(shí)，與的零點(diǎn)相同，由，得，由，得，因此且，所以m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的面積為，求．解：（1）由題意知，即，由于，故，即，結(jié)合，則；（2），，的面積為，則，則，故，故.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求m的取值范圍.解：（1）由可得，故，又，故y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，即（2），令，令，則，由于在0,+∞單調(diào)遞增，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，故，且當(dāng)，又h1=0故當(dāng)時(shí)，而，因此時(shí)，而，故時(shí)，而，故在0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，故，因此，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿(mǎn)足，綜上可得17.已知函數(shù).（1）將化成（，，）的形式；（2）求在上的值域；（3）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集.解：（1）由可得；（2），則，故，故，故值域?yàn)?,2.（3）由題意可得，故，即,故，解得，故不等式的解集為18.已知函數(shù)，滿(mǎn)足，.（1）若為上的增函數(shù)，求的取值范圍.（2）證明：與的圖象關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng).（3）若，且關(guān)于的方程在內(nèi)有解，求的取值范圍.解：（1）由，可得，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）因?yàn)?，，所以即，所以，函?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，再把向右方平移2個(gè)單位得到，所以函數(shù)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）由（2）可得，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，所以在內(nèi)有解，所以在內(nèi)有解，，由（1）可知時(shí)，為上的增函數(shù)，所以，所以在內(nèi)有解，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，所以的取值范圍為.19.若存在有限個(gè)，使得，且不是偶函數(shù)，則稱(chēng)為“缺陷偶函數(shù)”，稱(chēng)為的偶點(diǎn).（1）證明：