2024屆浙江省紹興市諸暨市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題解析版

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市諸暨市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕?故選：D.2.若函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)和，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)得，則，又過(guò)點(diǎn)得，即，.故選:A3.已知i是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，即，得，而時(shí)，，推不出一定是，即推不出;所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.4.已知，為單位向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，為單位向量，若，得，即，所以，解得：，又因?yàn)?，所?故選:C.5.的展開(kāi)式中（即分子a的指數(shù)和分母b的指數(shù)相同）項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.15 C. D.20【答案】B【解析】通項(xiàng)公式，由可得，故，系數(shù)為.故選:B.6.若直線l與三次函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則直線l（）A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn) B.不經(jīng)過(guò)定點(diǎn) C.斜率為定值 D.斜率可為任意實(shí)數(shù)【答案】A【解析】設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題意可得，由于三次函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形，由可知，為對(duì)稱中心，即直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)是三次函數(shù)的對(duì)稱中心.故選:A．7.小張同學(xué)將一塊棱長(zhǎng)為正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過(guò)程中橡皮泥無(wú)損失），則該四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，設(shè)正四面體如圖，F(xiàn)為為底面的中心，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，O為正四面體外接球的球心，則為四面體的高，O在上，則，則，即得，所以，又設(shè)正四面體外接球的半徑R，則，即，即得，故外接球體積為，故選：C．8.已知函數(shù)，都有，若恰好有4個(gè)點(diǎn)同在一個(gè)圓心在x軸上半徑為的圓內(nèi)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：，因?yàn)槎加?，所以這4個(gè)點(diǎn)為的最值點(diǎn)，由恰好有4個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，可得，解得，所以的取值范圍為.故選：C．二、多選題9.在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則//平面B.若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則//平面C.若點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，則平面D.若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則平面【答案】AC【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令,則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，，顯然，即平面，而平面，因此//平面，A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，，顯然，即與平面不平行，因此與平面不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P為AC中點(diǎn)時(shí)，，，因此平面，C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，與不平行，因此不垂直于平面，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由已知得，故A正確：，故B正確；，而，所以不成立，故C錯(cuò)誤；，故D正確：故選：ABD11.已知雙曲線上兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，分別為的左右頂點(diǎn)，若直線和交于點(diǎn)，則（）A.直線和的斜率之積為定值 B.直線和的斜率之積為定值C.點(diǎn)在橢圓上 D.面積的最大值為【答案】ABC【解析】設(shè)點(diǎn)，，則有，得到，又易知，對(duì)于選項(xiàng)A，直線和的斜率之積為定值，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，直線和的斜率之積為定值，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)，直線，直線，因?yàn)辄c(diǎn)為直線和的交點(diǎn)，由，解得，所以，又，所以，故點(diǎn)在橢圓上，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知面積的，所以，得到，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.12.在的紅色表格中，有一只會(huì)染紅黃藍(lán)三種顏色的電子蛐蛐從A區(qū)域出發(fā)，每次跳動(dòng)都等可能的跳往相鄰區(qū)域，當(dāng)它落下時(shí)會(huì)將該區(qū)域染成新的顏色（既與該區(qū)域原來(lái)的顏色不同，也與蛐蛐起跳時(shí)區(qū)域的顏色不同）．記蛐蛐第跳后表格中的不同染色情況種數(shù)為，（第一次跳后有如圖四種情況，即），則（）A. B.，恒成立C.蛐蛐能將表格中的三塊染成藍(lán)色 D.蛐蛐能將表格中的四塊染成黃色【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，對(duì)第一個(gè)表格往左跳，區(qū)域染成藍(lán)色；或往下跳，區(qū)域染成藍(lán)色；共兩種情況；其他表格亦如此，，A正確；對(duì)于B，表格最多不超過(guò)種不同的染色情況，不可能恒成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若蛐蛐按照如下順序跳，即可將三個(gè)區(qū)域染成藍(lán)色；情況一：情況二：C正確；對(duì)于D，三塊都是黃色也可能，但當(dāng)三塊染成黃色后，不可能第四塊還是黃色，因?yàn)橐推鹛鴷r(shí)區(qū)域不一樣，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13.設(shè)等比數(shù)列的公比為，為前項(xiàng)和，若，，則______．【答案】8【解析】因?yàn)椋?，，得，于是?故答案為：814.一臺(tái)放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊長(zhǎng)BO均為，點(diǎn)P為眼睛所在位置，D為AO的中點(diǎn)，連接PD，當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)P為“黃金視角點(diǎn)”，作，垂足C在OB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)，時(shí)，______cm．【答案】【解析】過(guò)O作交DP于M，過(guò)M作交PC于C，則，，，于是(cm)．故答案為：．15.將正整數(shù)由小到大排列，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)在前面，一個(gè)在后面的概率為，則______．【答案】4或7【解析】由題意，整理得到解得或7，故答案為：4或7．16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線皆過(guò)點(diǎn)P，則橢圓和雙曲線離心率之比的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意橢圓和雙曲線離心率之比．令，設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，故，又，所以．故答案為：．四、解答題17.已知為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和，且，，，成等差數(shù)列．（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又，即，可列出方程，解得，所以，（2）由（1）得，所以，．18.如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，N是線段PC中點(diǎn)，，．（1）求點(diǎn)N到平面PAB的距離；．（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐體積的大小．解：（1）因?yàn)槠矫?平面所以,因?yàn)?，所以，平面ABP，平面ABP，平面ABP，所以點(diǎn)C到平面PAB的距離，又因?yàn)锽N是線段PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面PAB的距離．（2）解法一：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，又因?yàn)槠矫鍭PD，則，所以，所以．解法二：如圖，作NO垂直AC于O，取AD中點(diǎn)M，連結(jié)MO，MN，易知是二面角余角，所以中，，所以，所以．19.在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．解：（1）因?yàn)椋玫?，即，由平方關(guān)系得，整理得到，解得或.（2）因?yàn)?，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，又是的中點(diǎn)，所以，又，得到，整理得到，又，得到，所以.20.已知點(diǎn)在橢圓：上，過(guò)右焦點(diǎn)的兩相互垂直的弦中點(diǎn)分別記為，．（1）求橢圓的方程；（2）求直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）由題意得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）若兩條弦分別與軸，軸平行，此時(shí)直線就是軸，故定點(diǎn)在軸上．否則設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線記為：交橢圓于兩點(diǎn)，，則，聯(lián)立方程組：，消去，得：整理得：，，，用代替，可得：，，若，解得，：，否則,，故：，其中：令得：.故直線過(guò)定點(diǎn).21.為豐富課余生活，某班組織了五子棋大賽．下表統(tǒng)計(jì)了該班學(xué)生近期課間與其他班學(xué)生的200場(chǎng)比賽的勝負(fù)與先后手列聯(lián)表（不記平局，單位：場(chǎng)）．最后甲乙兩人晉級(jí)決賽，決賽規(guī)則如下：五局三勝，沒(méi)有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交換先后手．已知甲先手勝乙的概率為后手勝乙的概率為．先后手勝負(fù)合計(jì)勝負(fù)先手6040100后手4060100合計(jì)100100200（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為五子棋先后手與勝負(fù)有關(guān)聯(lián)？（2）在甲第一局失敗的的條件下，求甲最終獲勝的概率．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1），故可以認(rèn)為五子棋先后手與勝負(fù)有關(guān)聯(lián)．（2）設(shè)事件A：甲第一局失?。皇录﨎：第一局甲先手；事件C：甲獲勝；．分兩種情況討論：甲第一局先手且失敗，但最終獲勝：共4局比賽：．共5局比賽：甲第一局后手且失敗，但最終獲勝：共4局比賽：共5局比賽：．故甲在第一局失敗的情況下獲勝的概率．綜上．22.已知函數(shù)，其中且．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，易知，，即得曲線在處的切線方程為．（2）法一：因?yàn)?，又因?yàn)椋噪Sa增大而減小，當(dāng)時(shí)，，下證充分性：設(shè)，則，顯然時(shí)，則此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，即恒成立，由，，令，即，設(shè)，，易知其對(duì)稱軸為，且，即開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．法二：由題意可知，，又由，可知在上遞增，且.（i）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)存在，使得，即在上遞減，在上遞增，所以設(shè)，則，顯然時(shí)，則此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，即恒成立，①當(dāng)時(shí)，令，所以可得．②當(dāng)，再令，此時(shí)，所以可得．（ii）當(dāng)時(shí)，即，則存在，使得，則在上遞減，在上遞增，所以，不成立．綜上（i），（ii）知．浙江省紹興市諸暨市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以?故選：D.2.若函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)和，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)得，則，又過(guò)點(diǎn)得，即，.故選:A3.已知i是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，即，得，而時(shí)，，推不出一定是，即推不出;所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.4.已知，為單位向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，為單位向量，若，得，即，所以，解得：，又因?yàn)?，所?故選:C.5.的展開(kāi)式中（即分子a的指數(shù)和分母b的指數(shù)相同）項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.15 C. D.20【答案】B【解析】通項(xiàng)公式，由可得，故，系數(shù)為.故選:B.6.若直線l與三次函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則直線l（）A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn) B.不經(jīng)過(guò)定點(diǎn) C.斜率為定值 D.斜率可為任意實(shí)數(shù)【答案】A【解析】設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題意可得，由于三次函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形，由可知，為對(duì)稱中心，即直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)是三次函數(shù)的對(duì)稱中心.故選:A．7.小張同學(xué)將一塊棱長(zhǎng)為正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過(guò)程中橡皮泥無(wú)損失），則該四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，設(shè)正四面體如圖，F(xiàn)為為底面的中心，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，O為正四面體外接球的球心，則為四面體的高，O在上，則，則，即得，所以，又設(shè)正四面體外接球的半徑R，則，即，即得，故外接球體積為，故選：C．8.已知函數(shù)，都有，若恰好有4個(gè)點(diǎn)同在一個(gè)圓心在x軸上半徑為的圓內(nèi)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：，因?yàn)槎加?，所以這4個(gè)點(diǎn)為的最值點(diǎn)，由恰好有4個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，可得，解得，所以的取值范圍為.故選：C．二、多選題9.在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則//平面B.若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則//平面C.若點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，則平面D.若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則平面【答案】AC【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令,則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，，顯然，即平面，而平面，因此//平面，A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，，顯然，即與平面不平行，因此與平面不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P為AC中點(diǎn)時(shí)，，，因此平面，C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，與不平行，因此不垂直于平面，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由已知得，故A正確：，故B正確；，而，所以不成立，故C錯(cuò)誤；，故D正確：故選：ABD11.已知雙曲線上兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，分別為的左右頂點(diǎn)，若直線和交于點(diǎn)，則（）A.直線和的斜率之積為定值 B.直線和的斜率之積為定值C.點(diǎn)在橢圓上 D.面積的最大值為【答案】ABC【解析】設(shè)點(diǎn)，，則有，得到，又易知，對(duì)于選項(xiàng)A，直線和的斜率之積為定值，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，直線和的斜率之積為定值，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)，直線，直線，因?yàn)辄c(diǎn)為直線和的交點(diǎn)，由，解得，所以，又，所以，故點(diǎn)在橢圓上，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知面積的，所以，得到，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.12.在的紅色表格中，有一只會(huì)染紅黃藍(lán)三種顏色的電子蛐蛐從A區(qū)域出發(fā)，每次跳動(dòng)都等可能的跳往相鄰區(qū)域，當(dāng)它落下時(shí)會(huì)將該區(qū)域染成新的顏色（既與該區(qū)域原來(lái)的顏色不同，也與蛐蛐起跳時(shí)區(qū)域的顏色不同）．記蛐蛐第跳后表格中的不同染色情況種數(shù)為，（第一次跳后有如圖四種情況，即），則（）A. B.，恒成立C.蛐蛐能將表格中的三塊染成藍(lán)色 D.蛐蛐能將表格中的四塊染成黃色【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，對(duì)第一個(gè)表格往左跳，區(qū)域染成藍(lán)色；或往下跳，區(qū)域染成藍(lán)色；共兩種情況；其他表格亦如此，，A正確；對(duì)于B，表格最多不超過(guò)種不同的染色情況，不可能恒成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若蛐蛐按照如下順序跳，即可將三個(gè)區(qū)域染成藍(lán)色；情況一：情況二：C正確；對(duì)于D，三塊都是黃色也可能，但當(dāng)三塊染成黃色后，不可能第四塊還是黃色，因?yàn)橐推鹛鴷r(shí)區(qū)域不一樣，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13.設(shè)等比數(shù)列的公比為，為前項(xiàng)和，若，，則______．【答案】8【解析】因?yàn)椋海?，得，于是?故答案為：814.一臺(tái)放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊長(zhǎng)BO均為，點(diǎn)P為眼睛所在位置，D為AO的中點(diǎn)，連接PD，當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)P為“黃金視角點(diǎn)”，作，垂足C在OB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)，時(shí)，______cm．【答案】【解析】過(guò)O作交DP于M，過(guò)M作交PC于C，則，，，于是(cm)．故答案為：．15.將正整數(shù)由小到大排列，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)在前面，一個(gè)在后面的概率為，則______．【答案】4或7【解析】由題意，整理得到解得或7，故答案為：4或7．16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線皆過(guò)點(diǎn)P，則橢圓和雙曲線離心率之比的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意橢圓和雙曲線離心率之比．令，設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故，又，所以．故答案為：．四、解答題17.已知為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和，且，，，成等差數(shù)列．（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又，即，可列出方程，解得，所以，（2）由（1）得，所以，．18.如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，N是線段PC中點(diǎn)，，．（1）求點(diǎn)N到平面PAB的距離；．（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐體積的大?。猓海?）因?yàn)槠矫?平面所以,因?yàn)?，所以，平面ABP，平面ABP，平面ABP，所以點(diǎn)C到平面PAB的距離，又因?yàn)锽N是線段PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面PAB的距離．（2）解法一：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，又因?yàn)槠矫鍭PD，則，所以，所以．解法二：如圖，作NO垂直AC于O，取AD中點(diǎn)M，連結(jié)MO，MN，易知是二面角余角，所以中，，所以，所以．19.在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．解：（1）因?yàn)椋玫?，即，由平方關(guān)系得，整理得到，解得或.（2）因?yàn)?，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，又是的中點(diǎn)，所以，又，得到，整理得到，又，得到，所以.20.已知點(diǎn)在橢圓：上，過(guò)右焦點(diǎn)的兩相互垂直的弦中點(diǎn)分別記為，．（1）求橢圓的方程；（2）求直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）由題意得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）若兩條弦分別與軸，軸平行，此時(shí)直線就是軸，故定點(diǎn)在軸上．否則設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線記為：交橢圓于兩點(diǎn)，，則，聯(lián)立方程組：，消去，得：整理得：，，，用代替，可得：，，若，解得，：，否則,，故：，其中：令得：.故直線過(guò)定點(diǎn).2