《電路分析基礎(chǔ)》課件5第3章

3.1電路的圖

3.2KCL和KVL的獨(dú)立方程

3.3支路電流法

3.4回路法與網(wǎng)孔法

3.5割集法與節(jié)點(diǎn)法

習(xí)題3第3章電阻電路的一般分析方法

3.1電路的圖

3.1.1電路的拓?fù)鋱D

圖論是研究點(diǎn)和線連接關(guān)系的理論，它是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支。在電路問題的討論中，我們可以利用圖論的一些知識(shí)來理解電路的連接性質(zhì)并應(yīng)用圖的方法選擇電路方程的獨(dú)立變量。將電路中的每一個(gè)元件用一線段表示，稱為一條拓?fù)渲罚喎Q為支路；各支路的連接點(diǎn)用黑點(diǎn)表示，稱為拓?fù)涔?jié)點(diǎn)，簡稱為節(jié)點(diǎn)。這樣從電路抽象出來的幾何圖形就稱為電路的拓?fù)鋱D，簡稱為圖(Graph)，以符號(hào)G表示。一個(gè)圖G是一組支路和一組節(jié)點(diǎn)的集合，每條支路的兩端必須連接在節(jié)點(diǎn)上，支路不能獨(dú)立存在于圖G中，但節(jié)點(diǎn)可以獨(dú)立存在。

圖3.1-1(a)是一個(gè)具有6個(gè)電阻和2個(gè)獨(dú)立電源的電路。按照嚴(yán)格支路與節(jié)點(diǎn)的定義，圖3.1-1(a)所示電路的對(duì)應(yīng)拓?fù)鋱D如圖3.1-1(b)所示，它具有8條支路和5個(gè)節(jié)點(diǎn)。習(xí)慣上，通常把元件的串聯(lián)組合當(dāng)作一條支路，如電阻串聯(lián)或獨(dú)立電壓源與電阻的串聯(lián)，這樣圖3.1-1(a)的對(duì)應(yīng)拓?fù)鋱D將如圖3.1-1(c)所示，它具有7條支路和4個(gè)節(jié)點(diǎn)。有時(shí)為了需要,還可以把元件的并聯(lián)組合作為一條支路，如電導(dǎo)并聯(lián)或獨(dú)立電流源與電導(dǎo)的并聯(lián)，這樣圖3.1-1(a)的對(duì)應(yīng)拓?fù)鋱D將如圖3.1-1(d)所示，它具有6條支路和4個(gè)節(jié)點(diǎn)。在電路中,通常要指定每一條支路中電流的參考方向，電壓一般取關(guān)聯(lián)參考方向。對(duì)電路的圖的每一條支路也可以指定一個(gè)方向，此方向即表示該支路電流(和電壓)的參考方向。全部支路都標(biāo)有方向的圖稱為有向圖，否則稱為無向圖。例如,圖3.1-1(b)、(c)為無向圖，圖(d)為有向圖。

從圖G中去掉某些支路和節(jié)點(diǎn)所得到的圖G1

稱為圖G的子圖。顯然,子圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)和每條支路都是圖G中的一部分。一個(gè)圖G可以有多個(gè)子圖。例如,圖3.1-2(b)、(c)、(d)為圖3.1-2(a)的3個(gè)子圖，其余子圖未畫出。圖3.1-1電路的拓?fù)鋱D

圖3.1-2圖與子圖如果圖G中的所有節(jié)點(diǎn)都被支路所連通，則該圖稱為連通圖，否則稱為非連通圖。也就是說，連通圖的任意兩節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條由支路構(gòu)成的路徑。圖3.1-2(a)、(b)、(c)均為連通圖；圖3.1-2(d)為非連通圖，該圖中的節(jié)點(diǎn)a與其他節(jié)點(diǎn)之間不存在由支路構(gòu)成的路徑。一個(gè)非連通圖至少有兩個(gè)分離部分。

在第1章中我們知道，基爾霍夫電流定律(KCL)和基爾霍夫電壓定律(KVL)分別說明了一個(gè)電路各支路電流之間和各支路電壓之間的約束關(guān)系。這兩個(gè)定律都只與電路的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與電路中各元件的性質(zhì)無關(guān)，只要一個(gè)電路的幾何結(jié)構(gòu)不變，且支路電流和支路電壓的參考方向不改變，無論支路上的電路元件如何更換，所寫出的KCL方程或KVL方程就總是相同的。因此，可利用電路的拓?fù)鋱D討論如何列寫KCL和KVL方程，并討論它們的獨(dú)立性。3.1.2回路、割集與樹

1.回路

在第1章中已經(jīng)介紹了回路的概念，這里我們將從圖的角度對(duì)回路給出定義。從圖中的某一節(jié)點(diǎn)開始，經(jīng)過一些支路和節(jié)點(diǎn)，并且只經(jīng)過一次，最后又回到原開始節(jié)點(diǎn)的閉合路徑稱為回路。簡單地說，回路是由支路和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的閉合路徑。需要注意以下幾點(diǎn)：

(1)任何一個(gè)回路都是一個(gè)圖的連通子圖；

(2)此子圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)所連接的支路必須且只能有兩條；

(3)若去掉該子圖中的任意一條支路或一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則閉合路徑便遭破壞。

圖3.1-3所示的圖G中，支路、節(jié)點(diǎn)集合{1,5,8;a,b,e}，{1,2,3,4;a,b,c,d}，{1,2,6,7,4;a,b,c,e,d}，{1,2,3,7,8;a,b,c,d,e}等均為回路，此圖中共有13個(gè)不同的回路。

討論回路是為了應(yīng)用KVL，對(duì)每一回路寫出一個(gè)KVL方程。圖3.1-3回路的概念

2.割集

割集是這樣定義的：若從連通圖G中移去某些支路，則恰好將圖G分割成兩個(gè)分離的部分,但只要少移去其中任一條支路，則圖G仍然還是連通的，這些支路的集合就叫割集。簡單地說，割集就是把一個(gè)連通圖分割為兩個(gè)連通子圖所需要移去的最少支路的集合。所謂移去支路，是指僅僅移去支路而保留其相關(guān)的節(jié)點(diǎn)。圖3.1-4所示的圖G中，一條虛線所切割的支路的集合{1,2,4}，{1,3,5,4}，{1,3,6}，{4,5,6}等均為割集。顯然，一個(gè)連通圖可以有許多不同的割集。需要注意的是，割集定義中的兩個(gè)條件都是必要的，只有同時(shí)滿足這兩個(gè)條件才能確定割集。如圖3.1-4中的支路集{2,3,5,6},若少移去其中的支路6，則圖G仍是分離的兩部分，故支路集{2,3,5,6}不是圖G的割集，而支路集{2,3,5}是圖G的割集。

討論割集是為了應(yīng)用KCL。引入割集這一概念后，KCL可以表示為：任一割集中的各支路電流的代數(shù)和為零。這里是把切割線設(shè)想為一封閉面，流入該封閉面的電流之和等于流出該封閉面的電流之和。因此，對(duì)每一割集可以寫出一個(gè)KCL方程。圖3.1-4割集的概念

3.樹

討論樹的概念有助于確定一個(gè)圖的獨(dú)立回路組和獨(dú)立割集組，從而得到獨(dú)立的KVL方程和KCL方程。樹是這樣定義的：一個(gè)連通圖G的樹T是包含圖中所有節(jié)點(diǎn)和部分支路但不包含回路的連通子圖。如圖3.1-5所示，圖(b)、(c)是圖(a)的兩種樹；圖(d)、(e)、(f)不是圖(a)的樹，因?yàn)閳D(d)是圖(a)的非連通子圖，圖(e)沒有包含圖(a)中的所有節(jié)點(diǎn)，圖(f)是回路。一個(gè)連通圖可以有多種樹。例如,圖3.1-5(a)所示的圖G就具有16個(gè)不同的樹，圖3.1-5(b)、(c)僅僅是其中的兩個(gè)。圖3.1-5樹的概念樹中的支路稱為該樹的樹支，而圖G中不屬于樹支的其他支路稱為對(duì)應(yīng)于該樹的連支。所謂樹支和連支，都是對(duì)某一選取的樹而言的，不同的樹有不同的樹支，相應(yīng)地也有不同的連支。如圖3.1-5(b)所示的樹T1，它的樹支為{4,5,6}，其相應(yīng)的連支為{1,2,3}；如圖3.1-5(c)所示的樹T2，它的樹支為{2,5,6}，其相應(yīng)的連支為{1,3,4}。樹支和連支一起構(gòu)成圖G的全部支路。圖3.1-5(a)所示的圖G有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，圖3.1-5(b)、(c)所示的樹T1和T2都具有3條支路；圖3.1-5(d)、(e)都有兩條支路，它們不是樹；圖3.1-5(f)有4條支路，它也不是樹。這個(gè)圖G還有其他多個(gè)不同的樹，其任一樹的樹支數(shù)總是3，讀者可自行驗(yàn)證。可以證明，一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G，其任何一種樹的樹支數(shù)一定為n－1，相應(yīng)的連支數(shù)為b－n+1。此處證明從略，讀者可以參考有關(guān)圖論的書。

4.基本回路與基本割集

我們知道，一個(gè)連通圖G可能有多個(gè)回路，這些回路相互并不都是獨(dú)立的，某個(gè)回路可能是由另外幾個(gè)回路的部分支路組合得到的。對(duì)相互不獨(dú)立的回路列寫的KVL方程必然也是相互不獨(dú)立的。也就是說，所列寫的KVL方程組中的方程不是滿足求解要求的最少方程。同樣，一個(gè)連通圖G可能有多個(gè)割集，這些割集相互也并不都是獨(dú)立的。對(duì)相互不獨(dú)立的割集列寫的KCL方程也是相互不獨(dú)立的。為了保證所寫出的KVL方程和KCL方程最少且是必需的，在分析電路問題時(shí)我們所關(guān)心的并不是如何找出一個(gè)電路的全部回路和全部割集，而是如何找出電路的獨(dú)立回路組和獨(dú)立割集組。下面介紹基本回路和基本割集的概念。在連通圖G中，任選一樹，則樹支、連支相應(yīng)確定。圖中僅包含一條連支的回路稱為基本回路或單連支回路；僅包含一條樹支的割集稱為基本割集或單樹支割集。注意，每一個(gè)基本回路只含一條連支且這一連支不出現(xiàn)在其他基本回路中；每一個(gè)基本割集只含一條樹支且這一樹支不出現(xiàn)在其他基本割集中。因此，一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G，其基本回路個(gè)數(shù)為它的連支個(gè)數(shù)，即b－n+1個(gè)；其基本割集個(gè)數(shù)為它的樹支個(gè)數(shù)，即n－1個(gè)。如圖3.1-6所示，圖中實(shí)線表示樹支，虛線表示連支。圖3.1-6(a)取支路{2,3,5}為樹，相應(yīng)的連支為{1,4,6}，則對(duì)應(yīng)于這一樹的基本回路是支路、節(jié)點(diǎn)集{1,3,2;a,c,b}、{2,4,5;a,d,b}和{3,6,5;b,c,d}，基本割集是支路集{1,2,4}、{1,3,6}和{4,5,6}。圖3.1-6(b)取支路{1,3,6}為樹，相應(yīng)的連支為{2,4,5}，則對(duì)應(yīng)于這一樹的基本回路是支路、節(jié)點(diǎn)集{1,2,3;a,b,c}、{3,5,6;b,d,c}和{1,4,6;a,d,c}，基本割集是支路集{1,2,4}、{2,5,3}和{4,5,6}。對(duì)一個(gè)選取了樹的圖，全部連支所形成的基本回路構(gòu)成基本回路組，顯然基本回路組是獨(dú)立回路組，根據(jù)基本回路寫出的KVL方程是獨(dú)立方程；全部樹支所形成的基本割集構(gòu)成基本割集組，基本割集組是獨(dú)立割集組，根據(jù)基本割集寫出的KCL方程是獨(dú)立方程。對(duì)同一個(gè)圖，選擇不同的樹，就可以得到不同的基本回路組和基本割集組，因此其選取是很靈活的。

這里還應(yīng)提到的是，為了列寫KVL方程和KCL方程方便，還應(yīng)規(guī)定基本回路、基本割集的參考方向?；净芈返膮⒖挤较蚴侵富净芈返睦@行方向，通常選連支的方向作為該連支所在基本回路的方向；基本割集的參考方向是指封閉面的法線方向，通常選樹支的方向?yàn)樵摌渲诨靖罴姆较?，如圖3.1-6(a)、(b)所示。圖3.1-6基本回路與基本割集的概念

3.2KCL和KVL的獨(dú)立方程

圖3.2-1(a)所示為一個(gè)電路的圖G，它的節(jié)點(diǎn)和支路都已分別加以編號(hào)，并給出了支路的方向，該方向即為支路電流的參考方向(支路電壓參考方向與支路電流參考方向關(guān)聯(lián)，省略不標(biāo))。圖3.2-1KCL和KVL的獨(dú)立方程對(duì)圖G中的節(jié)點(diǎn)a、b、c、d分別列出KCL方程，支路電流選取流出節(jié)點(diǎn)為正號(hào),流入節(jié)點(diǎn)為負(fù)號(hào)，有

(3.2-1)將式(3.2-1)中a、b節(jié)點(diǎn)的方程分別移項(xiàng)整理后得

再將式(3.2-2)代入式(3.2-1)中c節(jié)點(diǎn)的方程，得

－i3+i4－i5=0(3.2-3)(3.2-2)

可以看到，式(3.2-3)即為式(3.2-1)中d節(jié)點(diǎn)的方程。也就是說，由a、b、c三個(gè)節(jié)點(diǎn)方程可以推出d節(jié)點(diǎn)方程。讀者可自行驗(yàn)證，由這四個(gè)方程中的任意三個(gè)可推出另一個(gè)。若一方程組中，任一個(gè)方程可以由其他幾個(gè)方程推導(dǎo)出來，則該方程組中的方程不是相互獨(dú)立的。

要寫出方程數(shù)目最少且又能滿足求解要求的方程組，只需寫出相互獨(dú)立的方程。在3.1節(jié)中我們介紹了基本割集和基本回路的概念。選圖G的一種樹T1如圖3.2-1(b)中粗實(shí)線所示，樹支為{1,2,3}，相應(yīng)連支為{4,5,6}，則基本割集為{6,1,4}、{6,2,5}、{4,3,5}，割集的方向分別取樹支1、2、3的方向。按基本割集列寫KCL方程，選取與割集方向一致的支路電流為正號(hào)，否則為負(fù)號(hào)，有

顯然,式(3.2-4)中各方程之間相互獨(dú)立。這是因?yàn)槊總€(gè)基本割集都包含一條其他基本割集所不包含的樹支，所以按基本割集列寫的KCL方程相互獨(dú)立。由此可得結(jié)論：一個(gè)b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路(連通圖)，可列寫且僅能列寫相互獨(dú)立的KCL方程數(shù)為樹支的個(gè)數(shù)，即n－1個(gè)。(3.2-4)

按基本割集列寫相互獨(dú)立的KCL方程需要選樹并確定基本割集，過程比較繁雜，那么有沒有什么方法能方便地寫出獨(dú)立的KCL方程呢？可按獨(dú)立節(jié)點(diǎn)來列寫KCL方程?？梢宰C明，對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，在任意n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)上可以寫出n－1個(gè)獨(dú)立的KCL方程。相應(yīng)的n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。

選圖G的一種樹T2如圖3.2-1(c)中粗實(shí)線所示，樹支為{3,4,5}，相應(yīng)連支為{1,2,6}，則基本回路為{4,5,6;a,d,c}、{1,3,4;a,b,d}、{2,3,5;b,d,c}，回路的方向分別取連支1、2、6的方向。按基本回路列寫KVL方程，沿回路方向循行，先遇到其正極的支路電壓取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)(支路電壓與支路電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián))，有

顯然,式(3.2-5)中各方程之間相互獨(dú)立。這是因?yàn)椋總€(gè)基本回路都包含一條其他基本回路所不包含的連支，所以按基本回路列寫的KVL方程相互獨(dú)立。由此可得結(jié)論：一個(gè)b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路(連通圖)，可列寫且僅能列寫相互獨(dú)立的KVL方程數(shù)為連支的個(gè)數(shù)，即b－n+1個(gè)。(3.2-5)

在分析電路問題時(shí)我們遇到的大多數(shù)電路屬于平面電路。對(duì)于這類電路，按基本回路列寫相互獨(dú)立的KVL方程需要選樹并確定基本回路，過程也比較繁雜，那么有沒有什么方法能方便地寫出獨(dú)立的KVL方程呢？可按平面電路的網(wǎng)孔來列寫KVL方程?？梢宰C明，對(duì)于具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的平面電路，它具有的網(wǎng)孔個(gè)數(shù)恰為連支的個(gè)數(shù)b－n+1，對(duì)b－n+1個(gè)網(wǎng)孔可以列出b－n+1個(gè)獨(dú)立的KVL方程。

3.3支路電流法

對(duì)于一個(gè)具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，當(dāng)以各支路電壓和支路電流作為變量列寫方程時(shí)，總共有2b個(gè)未知變量。由3.2節(jié)的結(jié)論我們可以知道，根據(jù)KCL可列出n－1個(gè)獨(dú)立的電流方程；根據(jù)KVL可列出b－n+1個(gè)獨(dú)立的電壓方程；根據(jù)每一支路的電壓-電流關(guān)系(VCR)可列出b個(gè)電壓-電流關(guān)系方程，因?yàn)閎條支路各異，所以列出的b個(gè)電壓電流關(guān)系方程相互獨(dú)立。這樣，總共可列出2b個(gè)獨(dú)立方程，與未知變量數(shù)相等。由這2b個(gè)方程可解出2b個(gè)支路電壓、支路電流，這種方法稱為2b法。為了減少求解方程的個(gè)數(shù)，可以將b個(gè)VCR方程整理變換為以支路電流表示支路電壓的形式，然后代入KVL方程，這樣就得到以b個(gè)支路電流為未知量的b個(gè)KCL和KVL方程，方程數(shù)從2b減少至b。解該方程組得各支路電流，如果需要，再以支路電流為已知進(jìn)一步求得所需要求的電壓、功率等。這種方法稱為支路電流法。

下面以圖3.3-1(a)所示的電路為例說明2b法和支路電流法。將電壓源us1和電阻R1的串聯(lián)組合作為一條支路,把電流源is5和電阻R5的并聯(lián)組合作為一條支路，則該電路的圖如圖3.3-1(b)所示，其節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4，支路數(shù)b=6，各支路電流的參考方向如圖中所示，支路電壓參考方向與支路電流參考方向關(guān)聯(lián)，省略不標(biāo)。圖3.3-12b法和支路電流法任選圖中n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，這里選a、b、c節(jié)點(diǎn)，流出節(jié)點(diǎn)的電流取“+”號(hào)，反之取“－”號(hào)，根據(jù)KCL列寫方程，有

(3.3-1)因本示例電路為平面電路，平面電路的網(wǎng)孔即是獨(dú)立回路，故網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的循行方向如圖中所示，根據(jù)KVL對(duì)各網(wǎng)孔列寫方程，有

(3.3-2)根據(jù)電路中各支路的具體結(jié)構(gòu)與元件值列寫各支路的電壓-電流關(guān)系(VCR)方程，有

(3.3-3)若聯(lián)立式(3.3-1)、式(3.3-2)和式(3.3-3)可得到有2b(本例中2b=12)個(gè)方程的方程組，其中有2b個(gè)未知量i1、i2、…、i6、u1、u2、…、u6，解此方程組即可求解出各支路的電壓、電流，這就是2b法。

式(3.3-3)即是用支路電流來表示支路電壓的形式，把式(3.3-3)代入式(3.3-2)并移項(xiàng)整理，得

(3.3-4)聯(lián)立式(3.3-1)和式(3.3-4)得到有b(本例中b=6)個(gè)方程的方程組，其中有b個(gè)未知量i1、i2、…、i6，解此方程組可求解出各支路電流，這就是支路電流法。若有需要，則可將求得的支路電流回代入式(3.3-3)求得各支路電壓。

如果將式(3.3-3)整理變換為用支路電壓表示支路電流的形式，然后代入式(3.3-1)的KCL方程，再聯(lián)立式(3.3-2)的KVL方程，則可得到以支路電壓為變量的b個(gè)方程。解該方程組便得各支路電壓，這就是支路電壓法。

支路電流法和支路電壓法也叫b法。從解聯(lián)立方程的個(gè)數(shù)來看，b法比2b法少了一半，若手算，b法比2b法簡便；但若用現(xiàn)代的MATLAB工具軟件在計(jì)算機(jī)上求解，二者都不算是難事。

【例3.3-1】如圖3.3-2所示的三個(gè)電路，其中R1、R2、R3、R4、R5、us、us5、us6、is、γ、μ均為已知。試用支路電流法列寫出各電路的求解方程。圖3.3-2例3.3-1圖

【解】在圖3.3-1(a)中，電流源有一電阻與之并聯(lián)，這種電流源稱為有伴電流源。當(dāng)電路中存在有伴電流源時(shí)，可將其等效變換為電壓源與電阻的串聯(lián)組合，再應(yīng)用支路電流法列寫方程。在本例中，圖3.3-2(a)所示電路的一條支路僅含電流源而不存在與之并聯(lián)的電阻，這種電流源稱為無伴電流源。當(dāng)電路中存在無伴電流源時(shí)，就無法用支路電流表示支路電壓，必須加以處理后才能應(yīng)用支路電流法列寫方程。一種方法可先假設(shè)該電流源兩端電壓為u6，將u6當(dāng)作獨(dú)立電壓源一樣看待列寫方程。這樣雖引入了電流源兩端電壓u6這個(gè)未知量，但電流源所在支路的支路電流等于is為已知，所以所列方程數(shù)還是等于未知量數(shù)。另一種方法是合理選擇回路以減少方程中的電路變量，一般不選擇由無伴電流源所在支路構(gòu)成的獨(dú)立回路。這里我們采用第一種方法。對(duì)圖3.3-2(a)，選取a、b、c為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為獨(dú)立回路。設(shè)各支路電流參考方向及各網(wǎng)孔循行方向如圖中所示。應(yīng)用KCL、KVL及VCR列寫方程為

解式(3.3-5)即可求解出各支路電流i1、i2、…、i5和電流源兩端電壓u6。(3.3-5)

圖3.3-2(b)所示的電路含有受控電壓源，且其控制量是某一支路電流，那么就將受控電壓源兩端電壓當(dāng)作獨(dú)立電壓源來列寫方程。對(duì)圖3.3-2(b)，選取a、b、c為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為獨(dú)立回路。設(shè)各支路電流參考方向及各網(wǎng)孔循行方向如圖中所示。應(yīng)用KCL、KVL及VCR列寫方程為

解式(3.3-6)即可求解出各支路電流i1、i2、…、i6。(3.3-6)圖3.3-2(c)所示電路含有受控電壓源和無伴電流源。其中,受控電壓源的控制量是某一電壓，這種情況可先將受控源兩端電壓當(dāng)作獨(dú)立電壓源來列寫方程，然后再增加一個(gè)用未知電流表示控制量的輔助方程，這樣就得到了數(shù)量足夠而又相互獨(dú)立的方程組。對(duì)圖3.3-2(c)，選取a、b、c為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ為獨(dú)立回路。設(shè)各支路電流參考方向及各回路循行方向如圖中所示。應(yīng)用KCL、KVL及VCR列寫方程為

(3.3-7)

式(3.3-7)中有i1、i2、i3、i4、i5、u3、u6七個(gè)未知量，而只有六個(gè)方程，無法求解該電路，所以還必須增加一個(gè)輔助方程。將控制量u3用支路電流i3表示，即

u3=R3i3(3.3-8)

聯(lián)立式(3.3-7)和式(3.3-8)就可以求解電路。

若電路中含有受控電流源，則處理方法與獨(dú)立電流源類似。對(duì)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路，用支路電流法列寫電路方程的一般步驟如下：

(1)標(biāo)出各支路電流及其參考方向。

(2)對(duì)任意n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程:

第ni節(jié)點(diǎn)：∑ik=0

其中,ik為與節(jié)點(diǎn)ni相關(guān)的第k條支路上的支路電流。寫方程時(shí)要注意各電流的方向。

(3)根據(jù)VCR用支路電流表示支路電壓，對(duì)b－n+1個(gè)獨(dú)立回路列寫KVL方程：

第li回路：∑Rkik=∑usk

其中，Rkik為li回路中第k條支路的電阻上的電壓，當(dāng)ik的參考方向與回路方向一致時(shí)，Rkik項(xiàng)前取“+”號(hào)，反之取“－”號(hào)；usk為回路中第k條支路的電源電壓，電源電壓包括電壓源的電壓，也包括電流源和受控源引起的電壓，當(dāng)usk與回路方向一致時(shí)前面取“－”號(hào)，反之取“+”號(hào)(因移在等號(hào)另一側(cè))。

(4)若電路中含有電流源或受控源，則需作相應(yīng)處理。

3.4回路法與網(wǎng)孔法

支路電流法需要求解b個(gè)聯(lián)立方程，如果電路的支路較多，則手工求解的過程就會(huì)相當(dāng)繁雜?；芈贩ê途W(wǎng)孔法是為減少方程個(gè)數(shù)、簡化手工求解過程的一類改進(jìn)方法。3.4.1回路法

要使方程個(gè)數(shù)減少，必須使要求解的未知量個(gè)數(shù)減少，所以我們應(yīng)尋找一組新的求解變量，這組求解變量的數(shù)目應(yīng)少于支路數(shù)，并且應(yīng)是相互獨(dú)立和完備的。

在3.1節(jié)中我們知道，一個(gè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G其基本回路個(gè)數(shù)為它的連支個(gè)數(shù)，即b－n+1個(gè)。B－n+1個(gè)連支電流即是一組完備的獨(dú)立電流變量。根據(jù)樹的定義，樹連通所有的節(jié)點(diǎn)，因此對(duì)連通圖中的任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，與它相連的所有支路中一定有一條樹支，不可能全是連支。所以，不能由節(jié)點(diǎn)的KCL方程把各連支電流的關(guān)系聯(lián)系起來。對(duì)于已選定樹的連通圖來說，割集不可能只由連支組成，因?yàn)槿魧⑺羞B支移去則將會(huì)剩下樹而不會(huì)成為兩個(gè)分離部分,所以也不能通過割集的KCL方程把各連支電流的關(guān)系聯(lián)系起來。因此，連支電流是相互獨(dú)立的電流變量。也就是說，若已知b－n+1個(gè)連支電流中的任何b－n個(gè)，則求不出第b－n+1個(gè)連支電流。由于每一樹支都可以與有關(guān)的連支構(gòu)成一個(gè)基本割集，而對(duì)任一割集來說KCL是成立的,因此，每一基本割集中唯一的一個(gè)樹支電流都可以用連支電流線性表示。如圖3.1-6(a)所示，如果知道了各連支電流i1、i4、i6，則各樹支電流i2、i3、

i5即可通過節(jié)點(diǎn)或基本割集的KCL方程求得，如

i2=－i1－i4

i3=－i1+i6

i5=－i4－i6

這就是說，一旦連支電流確定，則所有支路電流即可確定。因此，連支電流是完備的電流變量。假想在每個(gè)獨(dú)立回路中均有一沿回路邊沿流經(jīng)該回路上各支路的電流，稱為各獨(dú)立回路的回路電流。顯然,各連支電流就等于該連支所確定的基本回路的回路電流，而樹支電流就等于經(jīng)過該支路的回路電流的代數(shù)和。這樣，一個(gè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路有b－n+1條連支，就會(huì)有b－n+1個(gè)基本回路及b－n+1個(gè)回路電流。以b－n+1個(gè)基本回路的回路電流為求解變量，列寫b－n+1個(gè)基本回路的KVL方程，解方程先求得回路電流，進(jìn)而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為回路電流法，簡稱回路法。用回路法列寫電路方程的一般步驟如下：

(1)選樹，確定基本回路，設(shè)定各支路電流及基本回路電流的參考方向，一般取連支電流的參考方向?yàn)榛净芈冯娏鞯膮⒖挤较颉?/p>

(2)以基本回路電流的參考方向?yàn)檠蟹较?，列寫基本回路的KVL方程。在列寫KVL方程時(shí)，將回路內(nèi)各電阻上的電壓表示為電阻值與流經(jīng)該電阻的回路電流代數(shù)和相乘積的形式，與循行方向一致的回路電流取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。

(3)解方程組，得基本回路電流。

(4)由解得的基本回路電流，應(yīng)用各支路電流等于流經(jīng)各支路的回路電流的代數(shù)和，求得各支路電流。

【例3.4-1】如圖3.4-1(a)所示的電路，其中R1=R2=R3=

1Ω，R4=R5=R6=2Ω，us1=4V，us5=2V。試選擇一組獨(dú)立回路，并列出回路電流方程。圖3.4-1例3.4-1圖

【解】[HT]電路的圖如圖3.4-1(b)所示，選擇支路4、5、6為樹。Il1、Il2、Il3為基本回路電流，其參考方向如圖中所示。按回路法列寫方程，有

(3.4-1)式(3.4-1)經(jīng)整理后為

(3.4-2)將各已知的參數(shù)值代入式(3.4-2)，得到

(3.4-3)解式(3.4-3)的方程組得到Il1、Il2、Il3，然后可根據(jù)以下各式計(jì)算支路電流：

I1=Il1

I2=Il2

I3=Il3

I4=－Il1－Il2

I5=Il1+Il2－Il3

I6=－Il1+Il3

回路法中求解變量數(shù)b－n+1肯定少于電路的支路數(shù)b，所以從手工解算方程數(shù)的多少來看，回路法比支路電流法要簡單。3.4.2網(wǎng)孔法

網(wǎng)孔法以網(wǎng)孔電流作為求解變量，該法僅適用于平面電路。由于實(shí)際中所遇到的電路大都屬于平面電路，因此人們更經(jīng)常使用的是網(wǎng)孔法，下面我們將重點(diǎn)討論網(wǎng)孔法。圖3.4-2網(wǎng)孔法假想在每一網(wǎng)孔中均有一電流沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各支路作閉合流動(dòng)，這些假想的電流就稱為各網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流。圖3.4-2所示的平面電路有3個(gè)網(wǎng)孔，網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流分別為im1、im2、im3，網(wǎng)孔電流的方向可任意設(shè)定，網(wǎng)孔電流的方向即作為列寫KVL方程時(shí)的循行方向。平面電路的網(wǎng)孔是一組獨(dú)立的回路，因此網(wǎng)孔電流就是獨(dú)立回路電流。我們知道，對(duì)于具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的平面電路，它具有的網(wǎng)孔個(gè)數(shù)恰為連支的個(gè)數(shù)b－n+1。這

b－n+1個(gè)網(wǎng)孔電流也是一組完備的獨(dú)立電流變量。各網(wǎng)孔電流不能通過KCL相互聯(lián)系起來。由于每一網(wǎng)孔電流沿著網(wǎng)孔流動(dòng)，當(dāng)它流經(jīng)某節(jié)點(diǎn)時(shí)，從該節(jié)點(diǎn)流入，又從該節(jié)點(diǎn)流出，在為該節(jié)點(diǎn)所列的KCL方程中彼此抵消,因此，就KCL而論，各網(wǎng)孔電流線性無關(guān)。所以,網(wǎng)孔電流是一組相互獨(dú)立的電流變量。

任何一條支路一定屬于一個(gè)或兩個(gè)網(wǎng)孔，如果某支路只屬于某一網(wǎng)孔，那么該支路電流就等于該網(wǎng)孔電流，如圖3.4-2中i1=im1、i2=im2、i3=－im3；如果某支路屬于兩個(gè)網(wǎng)孔所共有，那么該支路上的電流就等于流經(jīng)該支路的兩網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，與支路電流方向一致的網(wǎng)孔電流取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)，如圖3.4-2中i4=im1－im3，其他支路電流都可類似地求出。所以若網(wǎng)孔電流確定，則所有的支路電流就可確定。因此，網(wǎng)孔電流是完備的電流變量。對(duì)平面電路，以網(wǎng)孔電流為求解變量，根據(jù)KVL對(duì)全部網(wǎng)孔列寫方程，解方程求得網(wǎng)孔電流，進(jìn)而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為網(wǎng)孔電流法，簡稱網(wǎng)孔法。圖3.4-2所示的電路中，以網(wǎng)孔電流為未知量，對(duì)各網(wǎng)孔列寫KVL方程，有

解式(3.4-4)即可得各網(wǎng)孔電流，進(jìn)而可確定各支路電流、電壓。(3.4-4)

我們將式(3.4-4)整理后可得

(3.4-5)令

則式(3.4-5)可表示為

(3.4-6)觀察電路及式(3.4-6)，R11是網(wǎng)孔1內(nèi)所有電阻之和，稱為網(wǎng)孔1的自電阻，由于循行方向與網(wǎng)孔電流方向一致，因此自電阻前總為正號(hào)；R12是網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2公有支路上的電阻，稱為網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的互電阻，由于網(wǎng)孔電流im1、im2以相同方向流過公有電阻R5，im2在R5上引起的電壓的方向與網(wǎng)孔1的循行方向一致，因此R5前取正號(hào)；R13是網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔3公有支路上的電阻，稱為網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔3的互電阻，由于網(wǎng)孔電流im1、im3以相反方向流過公有電阻R4，im3在R4上引起的電壓的方向與網(wǎng)孔1的循行方向相反，因此R4前取負(fù)號(hào)；

us11為網(wǎng)孔1中各電壓源的代數(shù)和，按網(wǎng)孔電流的方向循行，先遇到電壓源正極性端取負(fù)號(hào)，否則取正號(hào)(因移到等式右邊)。同樣，對(duì)網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3的方程，其中的R22、R33分別為網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3的自電阻;R21、R23、R31、R32分別為下標(biāo)所示網(wǎng)孔之間的互電阻;us22、us33分別為網(wǎng)孔2、網(wǎng)孔3中各電壓源的代數(shù)和。根據(jù)以上的分析我們可以知道，用網(wǎng)孔法列寫的電路方程在形式上是有一定規(guī)律的。式(3.4-6)是三網(wǎng)孔電路的網(wǎng)孔方程的一般形式。對(duì)于具體的電路，僅是其中的自電阻、互電阻和電壓源代數(shù)和的具體值不同。如果是具有m個(gè)網(wǎng)孔的電路，則網(wǎng)孔方程的一般形式為

(3.4-7)在按一般形式列寫網(wǎng)孔方程時(shí)要注意：自電阻恒為正；互電阻的正負(fù)根據(jù)兩網(wǎng)孔電流流經(jīng)公有電阻的方向是否相同而定，相同為正，相反為負(fù)；方程右邊的us11、us22等為相應(yīng)網(wǎng)孔中各電源(電壓源、電流源、受控源)引起的電壓的代數(shù)和，按網(wǎng)孔電流的方向循行，先遇到電源電壓的正極性端取負(fù)號(hào)，否則取正號(hào)。需要說明的是，實(shí)際上電阻值是沒有正負(fù)的，這里互電阻的正負(fù)號(hào)是由于把公有電阻上的電壓的正負(fù)號(hào)歸在相應(yīng)的互電阻中，以使方程的形式整齊統(tǒng)一。網(wǎng)孔法是回路法的一種特殊情況，選取網(wǎng)孔作獨(dú)立回路時(shí)，回路法就是網(wǎng)孔法?；芈贩ǚ匠桃部砂词?3.4-7)的一般形式列寫，只不過式中的求解變量為獨(dú)立回路電流。采用網(wǎng)孔法，我們無需選樹確定基本回路，只需設(shè)出各網(wǎng)孔電流的方向，通過觀察電路求出各網(wǎng)孔的自電阻、互電阻及電源電壓代數(shù)和，按照網(wǎng)孔方程的一般形式即可直接寫出方程。網(wǎng)孔法比回路法更加簡便，但網(wǎng)孔法只適用于平面電路，回路法則無此限制，它適用于平面及非平面電路。

【例3.4-2】如圖3.4-3(a)所示的電路，其中R1=R3=R4=

20Ω，R2=R5=R6=10Ω，is1=0.1A，us5=2V，us6=4V。用網(wǎng)孔電流法求電流i3。圖3.4-3例3.4-2圖

【解】本題電路中含有有伴電流源。這種情況可應(yīng)用電壓源、電流源模型的互換等效將其等效為圖3.4-3(b)所示的電路，其中:

us1=is1R1=0.1×20=2V

設(shè)網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，其方向如圖3.4-3(b)所示。觀察電路，根據(jù)通式列寫方程為

解上式，得

im1≈－0.0471A,im2≈－0.1294A,im3≈－0.1765A

所以

i3=im1－im2=［(－0.0471)－(－0.1294)］A=0.0823A

【例3.4-3】如圖3.4-4所示的電路，試用網(wǎng)孔法列寫網(wǎng)孔方程。圖3.4-4例3.4-3圖

【解】設(shè)網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，其方向如圖3.4-4所示。本題電路中的電流源是無伴電流源，無法將其等效變換為電壓源的形式，而且電流源兩端的電壓是不知道的，也就無法寫出其所在網(wǎng)孔的方程等式右邊電源電壓的代數(shù)和。這種情況可先假設(shè)電流源兩端電壓為U，列寫方程時(shí)把U當(dāng)作獨(dú)立電壓源寫入方程。由于引入了U這個(gè)未知量，所以還需要增加一個(gè)輔助方程，使得方程數(shù)與未知量數(shù)相等，方可求解。這個(gè)輔助方程可用網(wǎng)孔電流來表示電流源電流。根據(jù)本題電路可寫出輔助方程為

im3－im2=1A按網(wǎng)孔方程的一般形式列寫方程為

聯(lián)立上面四個(gè)式子即可求解電路。

【例3.4-4】如圖3.4-5所示的電路，試用網(wǎng)孔法求電流i。

圖3.4-5例3.4-4圖

【解】設(shè)網(wǎng)孔電流為im1、im2，其方向如圖3.4-5所示。本題電路中含有受控電壓源。在列寫方程時(shí)，將受控電壓源當(dāng)作獨(dú)立電壓源寫入方程，由此會(huì)引入一個(gè)新的未知量，即受控源的控制量，它可能是電壓或是電流，在本題中是電壓ux。因此需要增加一個(gè)輔助方程，用網(wǎng)孔電流來表示控制量。根據(jù)本題電路可寫出輔助方程為

ux=4im2

按網(wǎng)孔方程的一般形式列寫方程為

聯(lián)立上面三個(gè)式子解得

im1=－1A,im2=3A,ux=12V所以

i=im2=3A

當(dāng)電路中含有受控電流源時(shí)，處理方法與前面處理電流源的方法類似，同時(shí)把控制量用網(wǎng)孔電流表示。

網(wǎng)孔電流法的步驟可以歸納如下：

(1)對(duì)平面電路的各網(wǎng)孔指定網(wǎng)孔電流的參考方向。

(2)按照式(3.4-7)網(wǎng)孔方程的一般形式直接寫出方程。注意自電阻、互電阻及電壓源電壓前面的“＋”、“－”號(hào)。

(3)當(dāng)電路中有電流源或受控源時(shí)需加以處理。

3.5割集法與節(jié)點(diǎn)法

割集法和節(jié)點(diǎn)法是另一類改進(jìn)的方法。

3.5.1割集法

在3.1節(jié)中我們知道：一個(gè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G其基本割集個(gè)數(shù)為它的樹支個(gè)數(shù)，即n－1個(gè)。n－1個(gè)樹支電壓是一組完備的獨(dú)立電壓變量。根據(jù)樹的定義，樹不包含回路，因此，各樹支電壓不能通過KVL相互聯(lián)系起來。就KVL而論，各樹支電壓線性無關(guān),所以,樹支電壓是相互獨(dú)立的電壓變量。也就是說，一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖，如果知道它的n－1個(gè)樹支電壓中的任何n－2個(gè)，則求不出第n－1個(gè)樹支電壓。圖3.5-1樹支電壓的表示根據(jù)樹的定義，樹連通所有的節(jié)點(diǎn)，因此從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，一定有一條只由樹支構(gòu)成的唯一路徑，那么任何兩節(jié)點(diǎn)間的電壓可以用沿這一路徑的各樹支電壓的代數(shù)和表示。如圖3.5-1所示的連通圖，若選樹支為{1,2,4}，則相應(yīng)連支為{3,5,6}。各支路上的箭頭為支路電流的參考方向，支路電壓參考方向與電流參考方向關(guān)聯(lián)，省略未標(biāo)出。如果已知各樹支電壓為u1、u2、u4，那么各連支電壓可表示為

u3=－u1－u2

u5=－u1－u2－u4

u6=u2+u4這就是說，一旦樹支電壓確定，則所有支路電壓即可確定。因此，樹支電壓是完備的電壓變量。

以n－1個(gè)樹支電壓為求解變量，列寫n－1個(gè)基本割集的KCL方程，解方程先求得樹支電壓進(jìn)而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為割集電壓法，簡稱割集法。用割集法列寫電路方程的一般步驟如下：

(1)選樹，確定基本割集，設(shè)定各支路電流的參考方向(支路電壓的參考方向與支路電流的參考方向關(guān)聯(lián)，省略不標(biāo))。以樹支電流的方向作為基本割集的方向。

(2)列寫基本割集的KCL方程。列寫方程時(shí)，將割集中的各支路電流表示為該支路的電導(dǎo)值與支路電壓相乘積的形式。

(3)將第(2)步寫出的KCL方程中的各支路電壓用樹支電壓表示。

(4)解方程組，得樹支電壓。

(5)由解得的樹支電壓，根據(jù)任何兩節(jié)點(diǎn)間的電壓等于連接這兩點(diǎn)的樹支的電壓的代數(shù)和，求得各支路電壓。

【例3.5-1】如圖3.5-2(a)所示的電路，試選擇一組基本割集，并列出割集方程。圖3.5-2例3.5-1圖

【解】[HT]本題電路的圖如圖3.5-2(b)所示，選支路2、3、6為樹支，則基本割集為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各支路電流及割集的方向如圖所示，支路電壓參考方向與支路電流參考方向關(guān)聯(lián)。列寫基本割集的KCL方程，有

(3.5-1)將各支路電流表示為該支路的電導(dǎo)值與支路電壓相乘積的形式，并用樹支電壓表示連支電壓，有

(3.5-2)支路電流i4就等于獨(dú)立電流源的電流is4，即

i4=is4

(3.5-3)

將式(3.5-2)和式(3.5-3)代入式(3.5-1)，整理后可得

(3.5-4)解式(3.5-4)割集方程即可得到各樹支電壓u2、u3、u6，則各連支電壓為

u1=u3+u6

u4=u2－u3－u6

u5=－u2+u33.5.2節(jié)點(diǎn)法

在電路中任選一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，其余各節(jié)點(diǎn)到參考節(jié)點(diǎn)的電壓稱為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓。如圖3.5-3(a)所示的電路，這里把電導(dǎo)與獨(dú)立電流源的并聯(lián)看做一條支路，電路的圖如圖3.5-3(b)所示，電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)為4，支路數(shù)為6。各節(jié)點(diǎn)的編號(hào)和各支路電流的方向如圖所示。若選擇節(jié)點(diǎn)4作為參考節(jié)點(diǎn)，則節(jié)點(diǎn)1、2、3與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓即節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2、un3。節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向是以參考節(jié)點(diǎn)為低電位端，以其余節(jié)點(diǎn)為高電位端。顯然，一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路有n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓。這n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓是一組完備的獨(dú)立電壓變量。圖3.5-3節(jié)點(diǎn)法對(duì)電路中的任一個(gè)回路，節(jié)點(diǎn)電壓自動(dòng)滿足KVL。例如,圖3.5-3(a)中由G4、G5、G6所在支路構(gòu)成的回路，有KVL方程：

u12+u23+u31=0

將式中的各支路電壓用節(jié)點(diǎn)電壓表示，則有

un1－un2+un2－un3+un3－un1=0(3.5-5)

式(3.5-5)中各節(jié)點(diǎn)電壓自身相互抵消，un1、un2、un3無論為何種數(shù)值該式都恒等于零。因此，不能通過KVL方程將各節(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系聯(lián)系起來，若已知n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓中的任意n－2個(gè)，求不出第n－1個(gè)。也就是說，就KVL而論，各節(jié)點(diǎn)電壓線性無關(guān)。所以節(jié)點(diǎn)電壓是一組相互獨(dú)立的電壓變量。由圖3.5-3(b)可以看出，電路中的所有支路電壓都可以用節(jié)點(diǎn)電壓表示，若已知節(jié)點(diǎn)電壓un1、un2、un3，則各支路電壓為

u14=un1

u24=un2

u34=un3

u12=un1－un2

u23=un2－un3

u13=un1－un3

所以若節(jié)點(diǎn)電壓確定，則所有的支路電壓就可確定。因此，節(jié)點(diǎn)電壓是完備的電壓變量。以節(jié)點(diǎn)電壓為求解變量，根據(jù)KCL對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列寫方程，解方程求得節(jié)點(diǎn)電壓進(jìn)而求得所需要求的電流、電壓、功率等量，這種分析方法稱為節(jié)點(diǎn)電壓法，簡稱節(jié)點(diǎn)法。

如圖3.5-3所示的電路，對(duì)節(jié)點(diǎn)1、2、3應(yīng)用KCL，設(shè)流出節(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)，有

(3.5-6)將各支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示為

(3.5-7)將式(3.5-7)代入式(3.5-6)，并進(jìn)行整理，得

(3.5-8)

觀察電路及式(3.5-8)，以節(jié)點(diǎn)1的方程為例，我們可以發(fā)現(xiàn)：un1前的系數(shù)恰好是與節(jié)點(diǎn)1相連的各支路電導(dǎo)之和，令G11=G1+G4+G6，G11稱為節(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo)；un2前的系數(shù)是連接節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2的支路電導(dǎo)的負(fù)值，令G12=－G4，G12稱為節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2間的互電導(dǎo)；un3前的系數(shù)是連接節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)3的支路電導(dǎo)的負(fù)值，令G13=－G6，G13稱為節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)3間的互電導(dǎo)；等式右端是流入節(jié)點(diǎn)1的電流源的代數(shù)和，流入節(jié)點(diǎn)取“+”號(hào)，流出節(jié)點(diǎn)取“－”號(hào)，令is11=is1－is6，is11稱為節(jié)點(diǎn)1的等效電流源。同樣，對(duì)節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3的方程，我們可以找到節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源為 G21=－G4,G22=G2+G4+G5,G23=－G5,is22=0

G31=－G6,G32=－G5,G33=G3+G5+G6,is33=is6+is3

因此我們可以將式(3.5-8)表示為如下形式：

(3.5-9)根據(jù)以上的分析我們可以知道，用節(jié)點(diǎn)法列寫的電路方程在形式上是有一定規(guī)律的。式(3.5-9)是具有三個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電路的節(jié)點(diǎn)方程的一般形式，對(duì)于具體的電路，僅是其中的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)和等效電流源的具體值不同。如果是具有m個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電路，則節(jié)點(diǎn)方程的一般形式為

(3.5-10)在按一般形式列寫節(jié)點(diǎn)方程時(shí)要注意：自電導(dǎo)總是正的；互電導(dǎo)總是負(fù)的，出現(xiàn)負(fù)號(hào)是因?yàn)樗泄?jié)點(diǎn)電壓都一律假定為電壓降；方程右邊的等效電流源is11、is22、…為與相應(yīng)節(jié)點(diǎn)相連的各電源(電壓源、電流源、受控源)引起的電流的代數(shù)和，流入節(jié)點(diǎn)取“+”號(hào)，流出節(jié)點(diǎn)取“－”號(hào)。

節(jié)點(diǎn)法是割集法的一種特殊情況。割集法方程也可按式(3.5-10)的一般形式列寫，只不過式中的求解變量為樹支電壓。和割集法相比，節(jié)點(diǎn)法無需選樹確定基本割集，只需選定參考節(jié)點(diǎn)設(shè)出各節(jié)點(diǎn)電壓，通過觀察電路求出各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)及等效電流源，按照節(jié)點(diǎn)方程的一般形式即可直接寫出方程。和網(wǎng)孔法相比，如果電路的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)少于網(wǎng)孔數(shù)，則節(jié)點(diǎn)法聯(lián)立的方程數(shù)就少一些，較易求解；網(wǎng)孔法只適用于平面電路，節(jié)點(diǎn)法則對(duì)平面和非平面電路都適用。因此，節(jié)點(diǎn)法更具有普遍意義。

【例3.5-2】如圖3.5-4(a)所示的電路，試列寫該電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3.5-4例3.5-2圖

【解】本題電路中含有有伴電壓源。這種情況可應(yīng)用電源互換等效將電壓源形式變換為電流源形式，如圖3.5-4(b)所示。選取節(jié)點(diǎn)5作為參考節(jié)點(diǎn)，其他4個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2、un3、un4。觀察電路，按節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式列寫方程為

解式(3.5-11)的節(jié)點(diǎn)電壓方程組即可得到各節(jié)點(diǎn)電壓。(3.5-11)在本題中要注意，節(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo)是G2+G3，而不是G1+G2+G3。這是因?yàn)楣?jié)點(diǎn)法的實(shí)質(zhì)是按KCL列寫方程，在KCL方程中電流源所在支路的電流已作為電流源電流寫到了方程的右邊，而與串聯(lián)電阻無關(guān)，所以在列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，要把與理想電流源串聯(lián)的元件(包括電阻、電導(dǎo)、電壓源)看成短路。另外，由于節(jié)點(diǎn)1和3、2和4之間沒有直接的公共支路，所以G13=G31=G24=G42=0。

【例3.5-3】如圖3.5-5所示的電路，試用節(jié)點(diǎn)電壓法求獨(dú)立電流源產(chǎn)生的功率。圖3.5-5例3.5-3圖

【解】本題電路中含有無伴電壓源，無法將其等效變換為電流源形式，因?yàn)楠?dú)立電壓源的輸出電流是不知道的，也就無法列寫與電壓源相關(guān)的節(jié)點(diǎn)的KCL方程。在應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法時(shí)若遇到無伴電壓源，一種方法是選擇無伴電壓源支路所連的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之一作為參考節(jié)點(diǎn)，這樣另一節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓就為已知量了，就可少列寫一個(gè)方程；另一種方法是假設(shè)獨(dú)立電壓源的輸出電流為ix，按一般形式列寫方程時(shí)把ix當(dāng)作電流源寫入方程。由于引入了ix這個(gè)未知量，所以還需要增加一個(gè)輔助方程。這個(gè)輔助方程可用節(jié)點(diǎn)電壓來表示電壓源電壓。在可能的條件下一般優(yōu)先采用第一種處理方法。由于本題電路中含有兩個(gè)無伴電壓源支路，所以需結(jié)合上述兩種方法來處理。選取節(jié)點(diǎn)4作為參考節(jié)點(diǎn)，其他3個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2、un3。顯然，有

un1=10V(3.5-12)設(shè)5V電壓源所在支路電流為ix，參考方向如圖3.5-5中所示。對(duì)節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3列寫方程，有

(3.5-13)用節(jié)點(diǎn)電壓表示電壓源電壓，增加一個(gè)輔助方程為

un2－un3=5V(3.5-14)

聯(lián)立式(3.5-12)、式(3.5-13)、式(3.5-14)，整理后可得

(3.5-15)解式(3.5-15)，可得

un2=10V,