《電路分析基礎(chǔ)》課件3第7章

7.1二階電路微分方程的建立7.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)7.3RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)7.4RLC并聯(lián)電路的全響應(yīng)*7.5微分方程的計(jì)算機(jī)解本章小結(jié)思考題習(xí)題7

用二階微分方程來(lái)描述的動(dòng)態(tài)電路稱為二階電路。

二階電路一般帶有兩個(gè)貯能元件的電阻電路，即同時(shí)帶有L和C，或帶有兩個(gè)L，或或帶有兩個(gè)L。本章只討論RLC串聯(lián)電路和RLC并聯(lián)電路。至于更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)電路將在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中去研究。7.1二階電路微分方程的建立7.1.1無(wú)源RLC串聯(lián)電路

在圖7-1所示的RLC串聯(lián)電路中，設(shè)電容的初始值為uC(0+)=uC(0-)=U0，電感的初始值為iL(0+)=iL(0-)=I0。現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)以電容電壓uC或以電感電流iL為電路變量的微分方程，以及求解微分方程所必須的初始條件。圖7-1

RLC串聯(lián)電路根據(jù)KVL，列電壓方程

uC+uR+uL=0

(7-1)

1.選電感電流iL作為電路變量

電容電壓為

(7-2)

電感電壓為

(7-3)電阻電壓uR=RiL，并將式(7-2)、式(7-3)代入式(7-1)，得

(7-4)

兩邊求導(dǎo)一次，有

(7-5)這是二階齊次線性常系數(shù)微分方程。

關(guān)于變量iL的初始值。二階微分方程必須要有兩個(gè)初始條件，即iL(0+)和，才能求解微分方程(7-5)。

已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，這需要將電容電壓的初始值轉(zhuǎn)化為電感電流導(dǎo)數(shù)的初始值。令式(7-4)中t=0，得

(7-6)可得

(7-7)

因此，選電感電流iL為變量時(shí)的微分方程和初始條件為

(7-8)

2.選電容電壓uC作為電路變量

由于是串聯(lián)電路，因此通過(guò)三個(gè)元件的電流相同，即

(7-9)

電感電壓為

(7-10(a))

將式(7-9)代入式(7-10(a))得

(7-10(b))電阻電壓，并將式(7-10(b))代入式(7-1)，得

(7-11)這也是二階齊次線性常系數(shù)微分方程。

關(guān)于變量uC的初始值。已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，這需要將電感電流的初始值轉(zhuǎn)化為電容電壓導(dǎo)數(shù)的初始值。令式(7-9)中t=0，得

(7-12)因此，選電容電壓uC為變量時(shí)的微分方程和初始條件為

(7-13)7.1.2無(wú)源RLC并聯(lián)電路

在如圖7-2所示的RLC并聯(lián)電路中，設(shè)電容的初始值為uC(0+)=uC(0-)=U0，電感的初始值為iL(0+)=iL(0-)=I0。現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)以電容電壓uC或以電感電流iL為電路變量的微分方程，以及求解微分方程所必須的初始條件。圖7-2

RLC并聯(lián)電路根據(jù)KCL，列電流方程

iC+iR+iL=0

(7-14)

1.選電容電壓uC作為電路變量

電容電流為

(7-15)

電感電流為

(7-16)

電阻電流iR=GuC，并將式(7-15)、式(7-16)代入式(7-14)，得

(7-17)

兩邊求導(dǎo)一次，有

(7-18)

這是二階齊次線性常系數(shù)微分方程。

關(guān)于變量uC的初始值，二階微分方程必須要有兩個(gè)初始條件。已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，這需要將電感電流的初始值轉(zhuǎn)化為電容電壓導(dǎo)數(shù)的初始值。令式(7-17)中t=0，得

(7-19)可得

(7-20)

因此，選電感電流iL為變量時(shí)的微分方程和初始條件為

(7-21)

2.選電感電流iL作為電路變量

由于是并聯(lián)電路，因此三個(gè)元件上的電壓相同，電壓為

(7-22)

電容電流為

(7-23)將式(7-22)代入式(7-23)，得

(7-24)

電阻電壓

(7-25)并將式(7-24)、式(7-25)代入式(7-14)，得

(7-26)

這也是二階齊次線性常系數(shù)微分方程。關(guān)于變量iL的初始值，已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，這需要將電容電壓的初始值轉(zhuǎn)化為電感電流導(dǎo)數(shù)的初始值。令式(7-22)中t=0，得

(7-27)因此，選電感電流iL為變量時(shí)的微分方程和初始條件為

(7-28)

以上推導(dǎo)了無(wú)源RLC串聯(lián)電路和RLC并聯(lián)電路的微分方程和初始條件。

由于兩個(gè)電路是完全對(duì)偶的，因此，所導(dǎo)出的微分方程和初始條件也是完全對(duì)偶的。即式(7-8)與式(7-21)是對(duì)偶關(guān)系式，式(7-13)與式(7-28)是對(duì)偶關(guān)系式。7.1.3固有頻率

對(duì)于RLC串聯(lián)電路，以iL為變量的微分方程為

根據(jù)對(duì)一階微分方程求解經(jīng)驗(yàn)，可假設(shè)電流為

iL=Kest

(7-29)的形式。將其代入微分方程得由此可得

兩邊均除以Kest，乘以C，得

LCs2+RCs+1=0

(7-30)上式稱為特征方程?？梢?jiàn)，只要將微分方程的導(dǎo)數(shù)d/dt換成s，兩邊除以變量，就是特征方程了。

再來(lái)看以u(píng)C為變量的微分方程為

其特征方程為

LCs2+RCs+1=0在RLC串聯(lián)電路中，無(wú)論是選用什么變量列寫電路的微分方程，其特征方程都是相同的。

若令，，則特征方程可寫為

(7-31)

這一方程有兩個(gè)根，稱為特征根，它們是

(7-32)特征根又稱固有頻率或自然頻率。

對(duì)于RLC并聯(lián)電路，可以用同樣的方法得到電路的特征方程。無(wú)論是以u(píng)C為變量，還是以iL為變量，特征方程均為

LCs2+GLs+1=0

若令，，則特征方程可寫為

這一方程有兩個(gè)根，稱為特征根，它們是這就是RLC并聯(lián)電路的固有頻率。在以后的分析中會(huì)看到，固有頻率確定了電路響應(yīng)的形式，也反映了電路本身的固有特性。以無(wú)源RLC串聯(lián)電路為例，選用iL為變量，由上節(jié)可知二階電路的特征根有兩個(gè)，即

在式(7-29)中，以s1替換s，得到

7.2

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)類似地，有

前者滿足以下微分方程

后者滿足

把兩個(gè)方程加起來(lái)，合并同類項(xiàng)，得到

這表明，兩個(gè)解的和也是方程的解，即滿足線性原理。于是，得到零輸入響應(yīng)的一般形式為

(7-33)其中，s1和s2為特征根；K1和K2是任意兩個(gè)常數(shù)，可以用初始條件iL(0+)和diL(0+)/dt確定。

由于R、L、C數(shù)值不同，特征根s1和s2可能出現(xiàn)四種不同的情況：

(1)當(dāng)α>ω0時(shí)，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)根，稱為過(guò)阻尼情況。

(2)當(dāng)α=ω0時(shí)，s1和s2是相等的負(fù)實(shí)根，稱為臨界阻尼情況。

(3)當(dāng)α<ω0時(shí)，s1和s2是共軛復(fù)根，稱為欠阻尼情況。(4)當(dāng)α=0時(shí)，s1和s2是共軛虛根，稱為無(wú)阻尼情況。7.2.1過(guò)阻尼的零輸入響應(yīng)

當(dāng)α>ω0，即時(shí)，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)根，零輸入響應(yīng)的形式為

圖7-3例7-1的電路隨著時(shí)間t的增加，零輸入響應(yīng)iL將會(huì)趨于零。電流曲線是非振蕩的。

【例7-1】如圖7-3所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)，開(kāi)關(guān)S在t=0時(shí)打開(kāi)。求S打開(kāi)后的響應(yīng)uC和iL，并畫出它們的波形圖。

解先確定uC和iL的初始值：

以u(píng)C為變量，微分方程為

即

特征方程為

s2+6s+8=0特征根為

s1=-2，s2=-4

uC的表達(dá)式為

uC=K1e-2t+K2e-4t

用初始值uC(0+)=3V，代入上式，得代入上式，得

K1+K2=3

-2K1-4K2=-4

聯(lián)立解得K1=4，K2=-1，于是有

uC和iL的波形圖如圖7-4所示。圖7-4

uC和iL的波形7.2.2臨界阻尼的零輸入響應(yīng)

當(dāng)α=ω0，即時(shí)，s1=s2=-α=是相等的負(fù)實(shí)根，零輸入響應(yīng)的形式為

(7-34)

電流曲線是非振蕩的。

【例7-2】

在RLC串聯(lián)電路中，電路參數(shù)變?yōu)镽=1Ω，L=1/4H，C=1F，iL(0)=0，uC(0)=-1V，uC和iL采用關(guān)聯(lián)參考方向，求uC和iL的零輸入響應(yīng)。

解電路的初始值為

由于，電路為臨界阻尼，特征根為重根：

uC的表達(dá)式為

代入初始值，有

K1=-1

-2K1+K2=0

可解得

K1=-1,K2=-2

uC和iL的零輸入響應(yīng)為

uC和iL的波形圖如圖7-5所示。圖7-5

uC和iL的波形

【例7-3】

某RLC串聯(lián)電路的R=1Ω時(shí)，固有頻率為-3±j5。電路中的L、C保持不變，試計(jì)算：

(1)為獲得臨界阻尼響應(yīng)所需的R值；

(2)為獲得過(guò)阻尼響應(yīng)，且固有頻率之一為s1=-10時(shí)所需的R值。

解

(1)由于,α=3,所以，有

又因?yàn)?，因?/p>

若L、C不變，不變，臨界阻尼時(shí)，

所以

(2)過(guò)阻尼響應(yīng)，α>ω0,即，有R>2Lω0。由于

即

(10-α)2=α2-34

解得α=6.7。所以

R=2L

=

=2.23

7.2.3欠阻尼的零輸入響應(yīng)

當(dāng)α<ω0，即時(shí)，s1、s2是一對(duì)共軛復(fù)根，令ωd=，即

s1,2=-α±jωd

零輸入響應(yīng)的形式為

(7-35)

電流曲線是振蕩的。其中，α為衰減系數(shù)；

ωd為振蕩頻率。

【例7-4】在RLC串聯(lián)電路中，電路參數(shù)改變?yōu)镽=1Ω，

L=1H，C=1F，

iL(0)=1A，uC(0)=1V，uC和iL采用關(guān)聯(lián)參考方向，求uC和iL的零輸入響應(yīng)。

解電路的初始值為

由于，電路為欠阻尼，，

，因此

特征根為重根：

uC的表達(dá)式為

代入初始值，有

可解得：K2=1，

。

uC和iL的零輸入響應(yīng)為

uC和iL的波形圖如圖7-6所示。圖7-6

uC和iL的波形7.2.4無(wú)阻尼的零輸入響應(yīng)

當(dāng)α=0，即R=0時(shí)，s1、s2是一對(duì)共軛虛根，ωd=ω0，即

s1,2=±jωd

零輸入響應(yīng)的形式為

(7-36)

電流曲線是等幅振蕩的。其中，ωd為振蕩頻率。

【例7-5】

電路如圖7-7所示，由t=0至t=1s期間開(kāi)關(guān)與a接通。在t=1s時(shí)，開(kāi)關(guān)接至b。

已知uC(0+)=10V以及t≤1時(shí)，iL=0，試計(jì)算t≥1時(shí)的uC(t)，并繪波形圖。圖7-7例7-5的電路

解在0≤t≤1s時(shí)，如圖7-7所示為RC放電電路，時(shí)間常數(shù)τ=RC=1s，故有

uC(t)=10e-tV

當(dāng)t≤1s時(shí)，初始值為

開(kāi)關(guān)接通b后，R=0，無(wú)阻尼情況。

特征根為

s1，2=±j1

零輸入響應(yīng)為

uC(t)=Kcos［(t-1)+θ］

代入初值：

10e-1=Kcosθ

0=-Ksinθ

解得

θ=0，K=10e-1

所以

波形如圖7-8所示。uC(t)=10e-1cos(t-1)V,t

1s

iL(t)=-10e-1sin(t-1)A,t

1s

圖7-8uC和iL的波形

自測(cè)題7-1電路如圖7-9所示，它的固有響應(yīng)的性質(zhì)是

。

(Ａ)過(guò)阻尼(Ｂ)欠阻尼

(Ｃ)臨界阻尼(Ｄ)無(wú)阻尼

自測(cè)題7-2

電路如圖7-10所示原是處于臨界阻尼狀態(tài)，現(xiàn)增添一個(gè)如虛線所示的電容C，其結(jié)果將使電路成為

。

(A)過(guò)阻尼(B)欠阻尼(C)臨界阻尼(D)無(wú)阻尼圖7-9自測(cè)題7-1圖7-10自測(cè)題7-2

自測(cè)題7-3圖7-11所示電路中的二極管是理想的，電容上的初始電壓為U0。其中，圖

電路中二極管有時(shí)能導(dǎo)通；圖

電路中的二極管不會(huì)導(dǎo)通。

圖7-11自測(cè)題7-3

自測(cè)題7-4二階電路電容電壓uC的微分方程為

此電路屬

情況。

(Ａ)過(guò)阻尼(Ｂ)欠阻尼(Ｃ)臨界阻尼(Ｄ)無(wú)阻尼上節(jié)討論了RLC串聯(lián)電路在換路后是沒(méi)有輸入電源的，其響應(yīng)是由初始狀態(tài)引起的，故稱零輸入響應(yīng)。由于所列的微分方程是齊次的，即方程右邊為零。因此，也稱為電路的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)。本節(jié)將討論直流電源作用于RLC串聯(lián)電路，如圖7-12所示。7.3

RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)圖7-12電壓源接通RLC串聯(lián)電路應(yīng)用KVL，若選用iL為變量，電路的微分方程為

(7-37)若選用uC為變量，則微分方程為

(7-38)這是二階非齊次線性常系數(shù)微分方程。

根據(jù)求解非齊次線性常系數(shù)微分方程的理論，式(7-38)的解由兩部分組成，即

uC=uCf+uCn

其中，uCn為微分方程的齊次解，也稱電路的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)，它的求解方法在上節(jié)已經(jīng)介紹了。根據(jù)電路特征根的不同，uCn有不同的形式。uCf為微分方程的特解，也稱為電路的強(qiáng)迫響應(yīng)。由于t→∞后，自由響應(yīng)趨于零，因此電路穩(wěn)定后只剩下強(qiáng)迫響應(yīng)，故也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。微分方程的特解就是電路變量的終值，即

uCf=uC(∞)=US

因此，RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)按特征根的不同，分為以下四種情況。

(1)過(guò)阻尼：;

(2)臨界阻尼：;

(3)欠阻尼：;

(4)無(wú)阻尼：。

【例7-6】

電路如圖7-13所示，開(kāi)關(guān)打開(kāi)前已處于穩(wěn)態(tài)，t=0開(kāi)關(guān)S打開(kāi)。求當(dāng)R=5Ω，4Ω，1Ω時(shí)，uC和iL。圖7-13例7-6的電路

解情況1：

R=5Ω。

初始值為

特征根為

顯然是過(guò)阻尼，自由響應(yīng)的形式為

uCn=K1e-t+K2e-4t

特解，即強(qiáng)迫響應(yīng)為

uCf=uC(∞)=24V

因此，全響應(yīng)的形式為

uC=K1e-t+K2e-4t+24代入初始值得

K1+K2+24=4

-K1-4K2=16

聯(lián)立解得，于是有

情況2：R=4Ω。初始值為

特征根為

顯然是臨界阻尼，自由響應(yīng)的形式為

uCn=(K1+K2t)e-2t

特解，即強(qiáng)迫響應(yīng)為

uCf=uC(∞)=24V

因此，全響應(yīng)的形式為

uC=(K1+K2t)e-2t+24用初始值，得

K1+24=4.8

-2K1+K2=19.2

聯(lián)立解得K1=-19.2，K2=-19.2，于是有

情況3：R=1Ω。初始值為

特征根為

顯然是欠阻尼，自由響應(yīng)的形式為

特解，即強(qiáng)迫響應(yīng)為

因此，全響應(yīng)的形式為

用初始值，得

K1+24=12

-0.5K1+1.936K2=48

聯(lián)立解得K1=-12，K2=21.694，于是有

三種情況下uC和iL的波形圖如圖7-14所示。圖7-14

uC和iL的波形在7.1節(jié)中，我們就研究了RLC串聯(lián)電路和RLC并聯(lián)電路的微分方程、固有頻率、初始條件，得出了它們之間是完全對(duì)偶的。在詳細(xì)討論了RLC串聯(lián)電路后，RLC并聯(lián)電路的計(jì)算就不必再討論了，只要用對(duì)偶的方法對(duì)照RLC串聯(lián)電路的分析方法進(jìn)行就可以了。下面舉例說(shuō)明。

【例7-7】

電路如圖7-15所示，開(kāi)關(guān)t=0時(shí)閉合，求電流iL和iR。7.4

RLC并聯(lián)電路的全響應(yīng)圖7-15例7-7的電路

解圖中電壓源的電壓為30ε(-t)，表示當(dāng)t<0時(shí)電壓為30V，t>0時(shí)電壓為0。所以開(kāi)關(guān)閉合后，電路是帶有輸入的RLC并聯(lián)電路。其中，并聯(lián)電阻有兩個(gè)20Ω，可合并為10Ω。先求初始值：

特征根為

或

s1=-11.978,s2=-0.5218顯然是過(guò)阻尼情況，特解就是電感電流的終值，iLf=iL(∞)=4A，全響應(yīng)為

iL=4+K1e-11.978t+K2e-0.5218t

將初始值代入上式，得

4+K1+K2=4

-11.978K1-0.5218K2=0.75聯(lián)立解得K1=-0.0655，K2=0.0655，于是有

自測(cè)題7-5

電路如圖7-16所示，二階電路的固有頻率是

。

(A)-3，-1(B)-2，-2(C)3，-1(D)-2±j1

自測(cè)題7-6電路如圖7-17所示，二階電路的固有頻率是

。

(A)-1±j1

(B)-1±j2

(C)

(D)圖7-16自測(cè)題7-5圖7-17自測(cè)題7-6

自測(cè)題7-7

若RLC電路的特征根是-2和-3，則二階電路的固有響應(yīng)是

。

(A)(K1cos2t+K2sin2t)e-3t

(B)(K1+2K2t)e-3t

(C)K1e-2t+K2te-3t

(D)K1e-2t+K2e-3t

常微分方程有時(shí)很難求解，MATLAB提供了功能強(qiáng)大的工具，可以幫助求解微分方程。函數(shù)dsolve計(jì)算常微分方程的符號(hào)解。因?yàn)槲覀円蠼馕⒎址匠?，就需要用一種方法將微分包含在表達(dá)式中。所以，dsolve句法與大多數(shù)其他函數(shù)有一些不同，用字母D來(lái)表示求微分，D2、D3等表示重復(fù)求微分，并以此來(lái)設(shè)定方程。任何D后所跟的字母為因變量。方程d2y/dx2=0用符號(hào)表達(dá)式D2y=0來(lái)表示。*7.5微分方程的計(jì)算機(jī)解如在例7-1中，微分方程和初始條件為

用MATLAB求解就十分容易，在命令窗口輸入如下：

>>u=dsolve(′0.125*D2u+0.75*Du+u=0′，′u(0)=3′，′Du(0)=-4′)

u=

-exp(-4*t)+4*exp(-2*t)即微分方程的解為uC=4e-2t-e-4t，與理論計(jì)算完全一致。

由于本章主要是研究RLC串聯(lián)和RLC并聯(lián)電路，筆者用MATLAB編寫了兩個(gè)通用函數(shù)。一個(gè)是用于求解RLC串聯(lián)電路的函數(shù)：RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，ts)，R、L、C是這三個(gè)元件的參數(shù)值，I0、U0是初始值iL(0)和uC(0)，Us是輸入電源電壓，ts是繪圖的終止時(shí)間。另一個(gè)是用于求解RLC并聯(lián)電路的函數(shù)：RLCPAN(R，L，C，I0，U0，Is，ts)，參數(shù)的意義同上。關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的詳細(xì)程序見(jiàn)附錄?，F(xiàn)用RLCSAN來(lái)計(jì)算例7-6，所編程序如下：

%例7-6：RLC串聯(lián)電路的計(jì)算與繪圖

R=5；L=1；C=0.25；

I0=4；U0=4；Us=24；

figure(1)

disp(′過(guò)阻尼情況′)

RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，10)

R=4；L=1；C=0.25；

I0=4.8；U0=4.8；Us=24；figure(2)

disp(′臨界阻尼情況′)

RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，10)

R=1；L=1；C=0.25；

I0=12；U0=12；Us=24；

figure(3)

disp(′欠阻尼情況′)

RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，10)[ZK)][HT][HJ]程序運(yùn)行后，在命令窗口顯示結(jié)果如下：

>>過(guò)阻尼情況

電容電壓

u=24+4/3*exp(-4*t)-64/3*exp(-t)

電感電流

i=-4/3*exp(-4*t)+16/3*exp(-t)

臨界阻尼情況

電容電壓

u=24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*t

電感電流i=24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*t

欠阻尼情況

電容電壓

u=24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15∧(1/2)*t)+28/5*15∧(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15∧(1/2)*t)

電感電流

i=12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15∧(1/2)*t)+4/5*15∧(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15∧(1/2)*t)用RLCSAN函數(shù)繪出的三種情況的波形圖如圖7-18、圖7-19、圖7-20所示。采用的是雙坐標(biāo)，左邊坐標(biāo)為電容電壓，右邊坐標(biāo)為電感電流。

可以用RLCSAN和RLCPAN來(lái)計(jì)算本章的大部分問(wèn)題，也可以用它來(lái)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性。圖7-18過(guò)阻尼情況曲線圖7-19臨界阻尼情況曲線圖7-20欠阻尼情況曲線串聯(lián)RLC電路和并聯(lián)RLC電路具有相同形式的特征方程，即

其中，RLC串聯(lián)電路；

RLC并聯(lián)電路;而

兩個(gè)電路相同。本章小結(jié)電路的特征根，即固有頻率，有若干特性：

·同一電路選用不同的變量，但固有頻率是相同的。

·

特征根僅與電路參數(shù)有關(guān)，根據(jù)R、L、C的不同，特征根有四種形式，即兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根；二重根；一對(duì)共軛復(fù)根；一對(duì)共軛虛根。

·

RLC串聯(lián)電路和RLC并聯(lián)電路以及兩個(gè)電路的微分方程、特征方程都是對(duì)偶的。二階電路響應(yīng)特性有四種：

·過(guò)阻尼，電壓或電流在趨于穩(wěn)態(tài)值的過(guò)程中，沒(méi)有振蕩。

·臨界阻尼，電壓或電流在趨于穩(wěn)態(tài)值的過(guò)程中，處于振蕩的臨界狀態(tài)。

·欠阻尼，電壓或電流在趨于穩(wěn)態(tài)值的過(guò)程中有衰減振蕩。

·無(wú)阻尼，電壓或電流為等幅振蕩。·判別二階電路響應(yīng)性質(zhì)的判別式如下：

·

RLC串聯(lián)或并聯(lián)電路的求解步驟：

·選定電路變量，一般RLC串聯(lián)電路選取uC，RLC并聯(lián)電路選取iL。

·計(jì)算初始值：uC(0)和duC(0)/dt；

iL(0)和diL(0)/dt。

·

計(jì)算特征根：。

·根據(jù)不同的響應(yīng)性質(zhì)選取不同的固有響應(yīng)形式。

·求特解，即穩(wěn)態(tài)解uC(∞)或iL(∞)。

·用初始值確定常數(shù)K1和K2。

1.RLC串聯(lián)電路與RLC并聯(lián)電路的分析中有哪些是對(duì)偶的？

2.二階電路的零輸入響應(yīng)有幾種形式？如何判別？

3.切斷直流電動(dòng)機(jī)(可以認(rèn)為是一個(gè)RL串聯(lián)電路)的電源時(shí)，在開(kāi)關(guān)兩端產(chǎn)生火花，是什么原因？為什么在開(kāi)關(guān)兩端并聯(lián)一個(gè)電容或在RL串聯(lián)電路兩端并聯(lián)二極管就可以消除火花？

思考題

4.RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)原屬于臨界情況。增大或減小R的值，電路的響應(yīng)將分別改變?yōu)檫^(guò)阻尼還是欠阻尼情況？說(shuō)明原因？

5.具有兩個(gè)同類性質(zhì)的獨(dú)立儲(chǔ)能元件的線性電路，其過(guò)渡過(guò)程會(huì)出現(xiàn)振蕩情況嗎？

6.在RLC串聯(lián)電路中，在R可調(diào)范圍內(nèi)，零輸入響應(yīng)均屬于欠阻尼情況。試說(shuō)明增大或減小R的數(shù)值，對(duì)衰減系數(shù)α和振蕩角頻率ωd各有什么影響?

7.試說(shuō)明RLC并聯(lián)電路在響應(yīng)為過(guò)阻尼、臨界阻尼和欠阻尼情況時(shí)所經(jīng)歷的物理過(guò)程。

8.在RLC并聯(lián)電路中，若原參數(shù)之間滿足關(guān)系式α>ω0，現(xiàn)增大R的值，對(duì)電路的響應(yīng)將產(chǎn)生何種影響？基本練習(xí)題

7-1電路如題7-1圖所示，開(kāi)關(guān)閉合前電路已穩(wěn)定，在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，求電路的u和i。

7-2電路如題7-2圖所示，開(kāi)關(guān)在t=0時(shí)打開(kāi)，打開(kāi)前電路已處于穩(wěn)態(tài)。選擇R使兩固有頻率之和為-1，求iL(t)。習(xí)題7題7-1圖題7-2圖

7-3某RLC并聯(lián)電路的R=10Ω，固有頻率為-5±j4。電路中的L、

C保持不變，試計(jì)算：

(1)為獲得臨界阻尼響