人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第8講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算基礎(chǔ)、提高、滿分練習(xí)試題（含解析）

第8講與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

‘點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系

與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

切線的判定與性質(zhì)

弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系共有三種：圓內(nèi)，圓上，圓外。

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,半徑為r,

當(dāng)dVr時(shí),點(diǎn)在圓內(nèi)；

當(dāng)d=i?時(shí)，點(diǎn)在圓上；

當(dāng)d>i■時(shí)，點(diǎn)在圓外。

【典例】

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(3,4)在。0內(nèi)，則。O的半徑r的取值范圍是

【答案】r>5

【解析】解：???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),

***OP=d32+42=5>

丁點(diǎn)P(3,4)在。0內(nèi)，

Z.OP<r,即r>5.

，如圖，王大伯家屋后有一塊長(zhǎng)12m、寬8m的長(zhǎng)方形空地，他在以較長(zhǎng)邊BC為直徑的半

圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時(shí)拴在A處的一棵樹(shù)上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長(zhǎng)最

長(zhǎng)不超過(guò)

【答案】4m

【解析】解：連接OA,交。0于E點(diǎn),

在RsOAB中，0B=6m,BA=8m,

所以O(shè)A=dBC)2+AB2=10m；

又因?yàn)镺E=OB=6m,

所以AE=OA-OE=4m.

因此拴羊的繩長(zhǎng)最長(zhǎng)不超過(guò)4m.

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE_LBE,則線段

【答案】2V10-2

VAE1BE,???點(diǎn)E在以AB為直徑的半。O上，

連接CO交。O于點(diǎn)E,

???當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)日位置時(shí)，線段CE取得最小值,

???AB=4,???OA=OB=OE，=2,

,**BC=6?/.OC=qBC2+0B2=462+22=2VT^,

則CE'=OC-OE^VlO-2

【方法總結(jié)】

在判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，先要確定兩在要素:

1、點(diǎn)與圓心的距離

2、圓的半徑

然后，通過(guò)兩者的大小關(guān)系來(lái)判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

【隨堂練習(xí)】

1.（2019春?海曙區(qū)期末）已知四邊形A8CD,用反證法證明"四邊形中至少有一個(gè)角

是直角或鈍角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（）

A.四個(gè)內(nèi)角都是銳角

B.四個(gè)內(nèi)角都是直角或鈍角

C.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是鈍角

D.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角

【解答】解：用反證法證明"匹邊形ABC。中至少有一個(gè)角是直角或鈍角”時(shí)第一步應(yīng)假

設(shè)：四個(gè)內(nèi)角都是銳角.

故選：A.

2.（2019春?萍鄉(xiāng)期末）用反證法證明“在取8。中,人8=4。,則/8是銳角”,應(yīng)先假設(shè)（）

A.在AABC中，NB一定是直角

B.在△ABC中，NB是直角或鈍角

C.在AABC中，NB是鈍角

D.在△ABC中，NB可能是銳角

【解答】解：用反證法證明命題：“AASC中，若則N5是銳角”，

首先應(yīng)假設(shè)是直角或鈍角，

故選:B.

3.（2019?新田縣一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.菱形的對(duì)角線垂直且相等

B.到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上

C.點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段

D.過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)圓

【解答】解：A、菱形的對(duì)角線垂直但不一定相等，故錯(cuò)誤；

B、到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上，正確；

C、點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，故錯(cuò)誤；

。、過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，

故選：B.

4.（2019?渦陽(yáng)縣二模）如圖，AABC內(nèi)接于。。，若NOAB=35。，則/C的度數(shù)是（)

A

A.35°B.45°C.6f；°D.55°

【解答】解：連接08,如圖，

?；0A=0B,

???NOAB=NO8A=35。，

/.NAOB=180°-35°-35°=110°,

AZC=—ZAOB=55°.

2

故選：D.

A

5.（2019??？谝荒＃┤鐖D，4。是AABC外接圓的直徑.若N8=64。，則ND4C等于（）

e

D

A.26°B.28°C.3（）°D.32°

【解答】解：???4。為直徑，

/.ZACD=90°,

■:/AQC=N8=64。，

AZDAC=90o-64o=26°.

故選：A.

6.（2019?濟(jì)寧二模）已知△ABC的三邊a,b,c,滿足d+/+lc-6|+50=10a+叫則”BC

的外接圓半徑為（）

A.2^/3B.—C.4D.—

v82

【解答】解：VaW+k-6|+50=10a+10/?,

???/-10。+25+■-10/?+25+|c-6|=0,

???（a-5）2+（。-5）2+|C-6）=0,

??a-5=0,b-5=0,c-6=0,

；?a=b=5,c=6,

^.AC=BC=5,AB=6,

作CDLAB于點(diǎn)D,

則40=3,

ACD=^AC2_AD2=4,

設(shè)"8C的外接圓的半徑為r,

則OC=r,OD=4-r,OA=r

32+（4-r）2=r2

C

解得，「=孕，

8

故選：B.

7.（2019?社旗縣一模）如圖，在已知的AABC中，按以下步驟：（1）分別以8、。為圓心,

大于工8c的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交M、N；（2）作直線MM交AB于D,連結(jié)8,

2

若CO=4O,ZB=20°,則下列結(jié)論：①NAOC=40。②NAC￡>=70。③點(diǎn)。為△力8C的

外心④NAC￡>=90。，正確的有（）

【解答】解：由題意可知，直線MN是線段的垂直平分線,

:?BD=CD,NB=NBCD=2。。，

AZADC=ZBC￡>+ZCBD=40o,故4選項(xiàng)正確；

又?：CD=AD,

ZA=ZACD,

又：ZA+ZACD+ZADC=180°,

???NACO=70。，故B選項(xiàng)正確，。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

'：AD=CD,BD=CD,

：.AD=BD,即。是48的中點(diǎn)，故。選項(xiàng)正確；

8.（2019?江北區(qū)一模）如圖，AASC'是。。的內(nèi)接二角形，/A=3。。，BC=2,則。。的直

徑長(zhǎng)為（）

A.2B.2火C.4D.8

【解答】解：連接03、OC,如圖，

N8OC=2/4=2x30°=60°,

而OB=OC,

...△OCB為等邊三角形,

:.BC=OB=2.

???圓的直徑為4.

9.（2019?杭州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,若NA=a度，則。的度數(shù)為（）

6

A.aB.90-aC.90+aD.90+2a

???NA=a度，NBOC=2NA

???NBOC=2a度

?：OB=OC

：.NOBS1802a=（90-a）度

2

故選：B.

10.（2018秋?宜興市期末）已知。。的半徑為3,OA=4,點(diǎn)P是線段OA的中點(diǎn)，則點(diǎn)P

與。O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在內(nèi)B.點(diǎn)P在?O上

C.點(diǎn)P在。。外D.以上都有可能

【解答】解：因?yàn)?A=4,P是線段0A的中點(diǎn)，所以0P=2,小于圓的半徑,

因此點(diǎn)P在。。內(nèi).

故選:A.

11.（2019?金山區(qū)一模）如圖,在RQABC中,ZC=90°,BC=2,/B=60。，OA的半徑

為3,那么下列說(shuō)法正確的是（）

B.點(diǎn)C在。A內(nèi)，點(diǎn)B在。A外

C.點(diǎn)B在。A內(nèi)，點(diǎn)C在04外D.點(diǎn)B、點(diǎn)C都在。4外

【解答】解：???在RSA8C中，ZC=90°,BC=2,ZB=60°,

:.NA=30。，

???AB=28C=4,AC=V^C=2的,

???0A的半徑為3,4>3,2M>3,

???點(diǎn)8、點(diǎn)C都在04外.

故選：D.

12.（2018秋?瑞安市期末）已知。O的半徑為5,點(diǎn)尸在0O外，則OP的長(zhǎng)可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：TO的半徑為5,點(diǎn)P在。。外，

???0P>5,

故選：D.

13.（2018秋?盧龍縣期末）。。的半徑為4,點(diǎn)尸到圓心O的距離為4,如果點(diǎn)P在圓內(nèi),

則d（）

A.d<4B.d=4C.d>4D.0<J<4

【解答】解：???點(diǎn)P在圓內(nèi)，且。。的半徑為4,

A0<J<4,

故選：O.

知識(shí)點(diǎn)2直線和圓位置關(guān)系

直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交.

(2)相切：當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切.這條直線叫做圓的切線，公共

點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相離：當(dāng)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離.

【典例】

1.已知圓的半徑為4,一直線上有一點(diǎn)與此圓的圓心距離為5,則直線與圓的位置關(guān)系為

【答案】相離、相切、相交均有可能

【解析】解：直線上有一點(diǎn)與此圓的圓心距離為5,

則圓心到直線的距離可能大于4或等于4或小于4,

所以直線與圓可能相離，可能相切，也可能相交.

2.已知NBAC=45。，一動(dòng)點(diǎn)0在射線AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)0與點(diǎn)A不重合)，設(shè)OA=x,如果半

徑為1的。O與射線AC有公共點(diǎn)，那么x的取值范圍是

【答案】0<x<V2

【解析】解：

當(dāng)。0與直線AC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D,如圖，

VZA=45°,ZODA=90°,OD=L

AAD=OD=1,

由勾股定理得：AO=V2>即此時(shí)x=加，

所以當(dāng)半徑為1的。O與射線AC有公共點(diǎn)，x的取值范圍是OVx4亞

3.如圖，點(diǎn)A,B,C均在坐標(biāo)軸上，AO=BO=CO=1,過(guò)A,O,C作。D,E是。D上任意

一點(diǎn)，連結(jié)CE,BE,則CE2+BE：的最大值是

【答案】6

【解析】解：連接AC,DE,如圖,

VZAOC=90°,AAC為。D的直徑，

???點(diǎn)D在AC上，

VAO=BO=CO=I,

AA(0,1),B(-1,0),C(1,0),AC=V2*D(工，工)，

22

設(shè)E(m,n),

,:EB2+EC2=(m-1)2+n2+(m+1)2+n2

=2(m2+n2)+2,

而rrP+M表示E點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，

???當(dāng)OE為直徑時(shí)，E點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，

VOD為平分NAOC,

m=n,

???DE」AC二返，

22

???(m-l)2+(n-l)2=(返)2,

222

即m2+n2=m+n

/.m=n=1,

???此時(shí)EB?+EC2=2(m2+n2)+2=2(1+1)+2=6,

即CE2+BE2的最大值是6.

【方法總結(jié)】

直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?樣通過(guò)?些條件來(lái)進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化

為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系.下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑：圖(2)中直線與圓心

的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑.

(1)(2)

(3)

一般地，直線與圓的位置關(guān)系有以下定理：

如果。0的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,那么，

(1)d<rO直線/與。0相交；

(2)d=rO直線/與。O相切；

(3)d>r=直線/與。0相離.

【隨堂練習(xí)】

1.(2019?日照一模)如圖，已知直線與x軸、)，軸分別交于力、8兩點(diǎn)，P是

4

以C(0,l)為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)RA、PB,則面積的最小值是()

￥

A.6B.5.5C.5D.4.5

【解答】解：過(guò)C作于連接AC，的延長(zhǎng)線交OC于N,

則由三角形面積公式得，-xABxCM=-xOAxBC,

22

.\5xCM=16,

C“M=—16，

5

???圓。上點(diǎn)到直線y=3x-3的最小距離是3-1=U,

455

面積的最小值是、5xU=U,

252

故選：B.

2.（2019?松江區(qū)二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)”（4,3）,以M為圓心，r為半徑的圓與

x軸相交，與y軸相離，那么r的取值范圍為（）

A.0<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<4

【解答】解：???點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4,3）,

.?.點(diǎn)”到x軸的距離是3,到），軸的距離是4,

?.?點(diǎn)M（4,3）,以M為圓心，「為半徑的圓與“軸相交，與y軸相離，

的取值范圍是3vrv4,

故選：D.

3.（2019?資中縣一模）已知G）O的半徑為4,直線/上有一點(diǎn)與的圓心的距離為4,則

直線，與O。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切

C.相交D.相切、相交均有可能

【解答】解：?.?若直線L與。O只有一個(gè)交點(diǎn)，即為點(diǎn)?，則直線L與8的位置關(guān)系為:

相切；

若直線L與。O有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為點(diǎn)P,則直線L與OO的位置關(guān)系為：相交；

二.直線L與。O的位置關(guān)系為：相交或相切.

故選：D.

4.（2018秋?江陰市期末）OO的直徑為4,圓心O到直線/上的距離為3,則直線/與?0（

）

A,相離B.相切C.相交D.相切或相交

【解答】解：?.?0O的直徑是4，

.?.OO的半徑r=2,

?.?圓心O到直線/的距離為3,3>2,

.,?直線/與GX?相離.

故選：A.

5.（2019?武昌區(qū)模擬）RtAABC中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm,以點(diǎn)C

為圓心5c機(jī)為半徑的圓與直線A8的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

【解答】解：過(guò)C點(diǎn)作CDLA3,垂足為。，

vZC=90°,BC=6,AC=8,

由勾股定理，得43=癡彳港=10,

根據(jù)三角形計(jì)算面積的方法可知，BCxAC=ABxCD,

=4.8<5,

與直線相交.

6.（2019?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在RtAABC中，NC=90。，NB=30。，AB=4cm,若以

點(diǎn)。為圓心，以2。力為半徑作℃,則AB與8的位置關(guān)系是（)

D.相切或相交

過(guò)C作CD_LAB于。，則NADC=NBDC=90。,

?.RtAABC中，ZC=90°,NB=30°,AB=4cm,

..AC=-AB=2cm,NA=60。，

2

/.ZACD=30°,

/.AD=—AC=\cm,

2

在RtAADC中，由勾股定理得：A￡>2+CZ）2=AC2,

12+CD2=22,

解得：CD=6，

???以點(diǎn)。為圓心，以2的為半徑俏oc,

此時(shí)與OC的位置關(guān)系是相交，

故選：C.

7.（2019?武昌區(qū)模擬）RtAABC中，ZC=90°?AC=3,BC=4,以點(diǎn)C為圓心，「為半

徑作0C,則正確的是（）

A.當(dāng)r=2時(shí)，直線與0c相交B.當(dāng)/*=3時(shí)，直線與0c相離

C.當(dāng)r=2.4時(shí)，直線與GC相切D.當(dāng)廠=4時(shí)，直線與0c相切

K

［解答］--------?

解：過(guò)。作于。，

在RtAACB中，由勾股定理得：AB=\/32+42=5,

由三角形面積公式得，—x3x4=—x5xCD,

22

6=2.4,

即C到AB的距離等于0c的半徑長(zhǎng)，

OC和AB的位置關(guān)系是相切，

故選：C.

8.（2019?東蘭縣三模）如圖，已知G）O圓心是數(shù)軸原點(diǎn)，半徑為1,ZAOB=45°,點(diǎn)P在

數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)。且與平行的直線與0O有公共點(diǎn)，設(shè)"=%，則x的取值范圍

是（）

A.-1MIB.x/2C.0叫&D.X>y[l

【解答】解：?.?半徑為1的圓，N4QB=45。，過(guò)點(diǎn)P且與04平行的直線與00有公共點(diǎn),

當(dāng)尸。與圓相切時(shí)，切點(diǎn)為C,

s.OCLPC,

CO=\,ZFOC=45°,OP=&,

過(guò)點(diǎn)尸且與04平行的直線與GO有公共點(diǎn)，即砥k夜，

同理點(diǎn)戶(hù)在點(diǎn)。左側(cè)時(shí)，?&

.?.網(wǎng)后.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)3切線的性質(zhì)及判定定理

1.切線：當(dāng)直線與圓自唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)

叫做切點(diǎn)。

2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

切線的性質(zhì)定理中要注意：圓的切線是與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，不是與任意半徑都垂直。

3.切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。

注意：切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂

直，缺一不可。

4.切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。

5.切線長(zhǎng)定理推論:

1、圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等;

如圖，ABCD為圓0的外切四邊形，VAL=AP,BL=BM,CM=CN,DN=DP,故：

AB+CD=AD+BC,即有以上結(jié)論，

2、外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線立分兩條切線的夾角。

【典例】

1.如圖，NABO80。，O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，上0B長(zhǎng)為半徑作。O,要使

2

射線BA與。0相切，應(yīng)將射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

【解析】解：如圖;

①當(dāng)BA，與00相切，且BA位于BC上方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P,連接0P，則/OPB=90。；

R30PB中，0B=20P,

:.ZArBO=30°；

???/ABA，=50。；

②當(dāng)BA，與。O相切，且BA，位于BC下方時(shí)；

同①.可求得/ABOCO。：

此時(shí)NAB人'=80。+30。=110°；

故旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為50?；?10°,

2.如圖，。01的半徑為I,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)02為正方形ABCD的中心，O1O2

_LCD于點(diǎn)P,0102=5.現(xiàn)將。Oi繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，。01

與正方形ABCD的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)次？

【解析】解：的半徑為1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)02為正方形ABCD的中心,

OQ2垂直CD于P點(diǎn),

圓01與以P為圓心，以2為半徑的圓相外切,

???根據(jù)圖形得出有3次.

3.如圖，。0的半徑OC=5cm,直線1_LOC,垂足為H,且1交。O于A、B兩點(diǎn)，AB=8cm,

則1沿OC所在直線平移后與OO相切，則平移的距離是:

【答案】2cm或8cm

【解析】解：如圖，連接0B,

VAB1OC,AAH=BH,

/.BH=^-AB=—x8=4,

22

在RlABOH中，OB=OC=5,

AOH=7OB2-BH2=3,

又??,將直線1通過(guò)平移使直線1與。O相切，

???直線1垂直過(guò)C點(diǎn)的直徑，垂足為直徑的兩端點(diǎn)，

???當(dāng)向下平移時(shí)，直線1平移的距離=5-3=2(cm)；

當(dāng)向上平移時(shí)，直線1平移的距離=5+3=8(cm).

綜上：平移的距離是2cm或8cm。

【方法總結(jié)】

1、在遇有圓的切線問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑作為輔助線。

2、遇有圓的直徑時(shí)，通常在圓周上另找一點(diǎn)，從這一點(diǎn)分別向直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連結(jié)線段，

來(lái)構(gòu)造一個(gè)直角三角形。

4.如圖，在4ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分NABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過(guò)B、

M兩點(diǎn)的。。交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為。0的直徑.

判斷AE與。0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

【解析】證：AE與。O相切.

理由如下：

連接0M,則OM=OB,AZOMB=ZOBM.

?IBM平分/ABC,AZOBM=ZEBM.

AZOMB=ZEBM.，OM〃BC.

AZAMO=ZAEB.

在AABC中，AB=AC,AE是角平分線，

AAE±BC.AZAEB=90°.

AZAMO=90°.AOM±AE.

???AE與€)0相切;

5.如圖，在。0中，AB為直徑，AC為弦.過(guò)BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G,作GD_LAO于點(diǎn)D,

交AC于點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)F,M是GE的中點(diǎn)，連接CF,CM,判斷CM與(DO的位置關(guān)系,

【解析】解：CM與。0相切.理由如下:

連接0C,如圖,

,?，GD_LAO于點(diǎn)D,.,.ZG+ZGBD=90°,

YAB為直徑，AZACB=90°,

???M點(diǎn)為GE的中點(diǎn)，

Z.MC=MG=ME,/.ZG=Z1,

VOB=OC,AZB=Z2,

/.Z1+Z2=90°.AZOCM=90°,

AOC±CM,，CM為。O的切線；

6.如圖所示，AB為。O的直徑，AD平分NCAB,AC±CD,垂足為C.

（1）判斷CD與00的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【解析】證明：（1）CD是0O的切線,

VOA=OD,JZODA=ZOAD,

TAD平分NCAB,AZOAD=ZCAD,

ZODA=ZCAD,

VAC1CD,EPZCAD+ZCDA=90°,ZODA+ZCDA=90°,

/.OD±CD,即CD是。O的切線：

(2)連接BD,

TAB為直徑，ZADB=90°,

AZB+ZBAD=90°,ZB=ZAED,

AZAED+ZBAD=90°,

VZCDA+ZCAD=90°,NCAD=/BAD,

:.ZCDA=ZAED.

【方法總結(jié)】

在證明圓的切線問(wèn)題中，主要有兩種題型：

1、知半徑，證垂直

2、知垂直，證半徑

解決切線相關(guān)問(wèn)題的技巧

①注意利用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行線段轉(zhuǎn)換。

②注意利用切線長(zhǎng)定理的推論進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換。

③見(jiàn)切線連半徑是處理切線問(wèn)題的“通法

【隨堂練習(xí)】

1.(2019?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)已知等邊MBC內(nèi)接于QO，D為弧BC的中點(diǎn)，連接DB、DC,

過(guò)C作/$的平行線，交友)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石.

(1)求證：CE與OO相切；

(2)若A3長(zhǎng)為6,求CE1長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接OC,OB,

AABC是等邊三角形,

.-.ZA=ZABC=60°,

;ABIICE,

...NBCE=NA8C=60°,

?;OB=OC,

:.NOBC=NOCB=3g

NOCE=NOC6+4CE=30。+60°=90°,

二.CE與0O相切；

（2）?.?四邊形曲C是圓的內(nèi)接四邊形，

.?.ZA+ZBDC=180°，

.?.N5DC=120。，

?.?D為弧BC的中點(diǎn)，

:.ZDBC=ZBCD=30°,

ZBEC=180°-ZEBC-ZBCE=90°,

?;AB=BC=6,

..CE=-BC=3.

2

2.（2019?長(zhǎng)春模擬）如圖，在半圓中，點(diǎn)O是圓心，4?是直徑，點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

C作a）的垂線，交比＞的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石.

（1）求證：CE是半圓的切線.

2

（2）若NABC=30。，AB=4,則AC的長(zhǎng)為_(kāi)一乃_.

【解答】證明：（1）如圖，連接X(jué)，

E

D

A0B

'：點(diǎn)。是4）中點(diǎn)

/.AC=CD

:.ZABC=NCBD

,OB=OC

NOCB=NOBC,

，/OCB=/CBD

OC//RD.且CEIBE

.\CE1OC,且OC是半徑，

.?.CE是半圓O的切線.

（2）?.ZABC=30°,RZOCB=ZABC,

ZOCB=ZABC=30°

ZAOC=60°

vAB=4

:.OA=2

.AC的長(zhǎng)=理"注=2萬(wàn)

18003

故答案為：-zr

3

3.（2019?金水區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，AABC內(nèi)接于OO,AC是直徑，。在楨上，且AC

平分NBCD,AE//BC,交CD于E,尸在C。的延長(zhǎng)線上，KAE=EF.連接AF.

（1）求證：AF是0。的切線；

（2）連接班'交他于G,若43=12,AE=13,求AG的長(zhǎng).

B

A

【解答】證明：(1)?「AC平分48

ZACB=ZACD,

\AE//BC

/.ZACB=Z.CAE=ZACD

:.AE=CE,RAE=EF

..AE=CE=EF

.?.△C4戶(hù)是直角三角形

/.ZC4F=90°

??.AF是。。的切線

(2)連接AD,

?.?AC是直徑

：.ZABC=9(r=ZADC

\ZACB=ZACD,AC=AC,ZABC=ZADC=9(T

.?.AABC^AADC(AAS)

:.AB=AD=\2,BC=CD

在RtAAED中，DE=jAE2-AD1=5

\AE=CE=EF=13

;.CF=2EF,CD=BC=CE+DE=\8,

\AE//BC

.EGEFT

~BC~~CF~2

:.EG=9

.\AG=AE-EG=13-9=4

4.(2019?蘭州模擬)如圖，AB是0O的直徑，AC平分NE4￡),交OO于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C分

別作CE_LAO,BJLA8,垂足分別為E,F.

(1)求證：直線CE是G)O的切線；

【解答】證明：(1)?二反是OO的直徑，。在OO匕

\OA=OC,

:.ZCAO=ZACO,

?「AC平分

:.ZEAC=ZOAC

ZOCA=ZEAC,

\CE±AD,

...ZE4C+Z￡C4=90。，

.?.ZACO+Z￡C4=90°,

/.ZOCE=90°,

即CE_LOC,

:?CE是OO的切線;

知識(shí)點(diǎn)4弧長(zhǎng)和扇形面積

1.相關(guān)名詞

弧長(zhǎng)：在圓上過(guò)兩點(diǎn)的?段弧的長(zhǎng)度叫做弧長(zhǎng)。

扇形：一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形(半圓與直徑的組合也是扇

形)。

圓錐：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的

幾何體叫做圓錐。

圓錐的高：圓錐的頂點(diǎn)到圓錐的底面圓心之間的距離叫做圓錐的高；

圓錐母線：圓錐的側(cè)面展開(kāi)形成的扇形的半徑、底面圓周上任意一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。

圓錐的側(cè)面積：將圓錐的側(cè)面沿母線展開(kāi)，是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周

長(zhǎng)，而扇形的半徑等于圓錐的母線的長(zhǎng).圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面的周長(zhǎng)x母線:2；

沒(méi)展開(kāi)時(shí)是一個(gè)曲面。

圓錐有一個(gè)底面、一個(gè)側(cè)面、一個(gè)頂點(diǎn)、一條高、無(wú)數(shù)條母線，且底面展開(kāi)圖為一圓形，側(cè)

面展開(kāi)圖是扇形。

2.圓中有關(guān)計(jì)算：

(1)圓的面積公式：S=UR2，周長(zhǎng)C=2TTR.

(2)弧長(zhǎng)：圓心角為n。、半徑為R,

(3)扇形的面積：圓心角為n。，半徑為R,弧長(zhǎng)為1,S^F^—1

(4)弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

(5)圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為1的圓柱的體積為二，側(cè)面積

為2兀R1,全面積為.二

(6)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為1,高為h的圓錐的側(cè)面積為兀R1,

全面積為????二士，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有?有一.

【典例】

1.如圖，從?塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形，則此扇形的面積為

B

【解析】解：如圖，連接AC,

:從一塊直徑為2m的圓形鐵皮」?剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形,即/ARC=90。.

,AC為直徑，即AC=2m,AB=BC,

VAB2+BC2=22,

/.AB=BC=A/^ITI,

，陰影部分的面積是？°兀：兀(n?)

3602

【題干】如圖是一個(gè)餐盤(pán)，它的外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半

徑的三段等弧組成，己知正三角形的邊長(zhǎng)為10,則該餐盤(pán)的面積是

【答案】50n-5073

【解析】由扇形面積減去三角形面積求出弓形面積，三個(gè)弓形與一個(gè)等邊三角形面積之和即

為餐盤(pán)面積.

解：該餐盤(pán)的面積為3(6QKX1°2-^-xlO2)+返x102=50兀-50加

36044

2.如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面圓面積為257cm2,

圓柱高為3m,圓錐而為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是

【答案】（3O7c+5，^c）m2

【解析】解：設(shè)底面圓的半徑為R,

貝ij7iR2=25m解得R=5,

圓錐的母線長(zhǎng)二亞用二揚(yáng)，

所以圓錐的側(cè)面積=工?2兀?5?；

2

圓柱的側(cè)面積=2幾?5?3=30兀，

所以需要毛氈的面積二（3現(xiàn)+5年0m?

【方法總結(jié)】

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

需根據(jù)不同的情況作出不同的處理：

①當(dāng)弓形所含弧為劣弧時(shí)，S尸S/SA

②當(dāng)弓形所含弧為優(yōu)弧時(shí)，SAS咐+SA

③當(dāng)弓形所含弧為半圓時(shí)，S.尸-Sm

2

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?萊蕪區(qū)）如圖，點(diǎn)A、B,C,。在OO上，AB=AC,Z4=4O°,BD//AC,

若OO的半徑為2.則圖中陰影部分的面積是（）

A

Di

44D.箓石

T-T

【解答】解：如圖所示，連接BC、OD、OB,

vZA=40o,AB=AC,

...ZACB=70°,

,.BD3AC,

/.ZABD=ZA=40°,

ZACD=ZABD=4(r,

."8=30°，

貝|JZBOD=2ZBCD=a)°,

又8=08,

:.MOD是等邊三角形,

則圖中陰影部分的面積是S場(chǎng)形88-Sgg

60?乃?22百二》

360rx

=2%一百?

3

故選：B.

2.（2019春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，每個(gè)圓的半徑都是kv〃,則圖中的三個(gè)扇形（即陰

影部分）的面積之和為（）

B

A.—7CB.—7CC.乃D.7T

42

【解答】解：?.?NA+N8+NC=180°,

.?.陰影部分的面積=網(wǎng)叱=-^.

3602

故選：13.

3.（2019?鞍山二模）如果圓錐的母線長(zhǎng)為6c切，底面半徑為2cm,那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積

為（）

A.i2cnrB.\2jrcnrC.24cm2D.24^C/T?2

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=2;rx2x6+2=12;r.

故選：B.

4.（2019?覃塘區(qū)三模）如圖，在0。的內(nèi)接四邊形A38中，ZB=135°,。0的半徑為4,

則弧ABC的長(zhǎng)為（）

【解答】解：連接。4、OC,

?.?四邊形ABC￡＞是的內(nèi)接四邊形，

.\ZD=180o-Zfi=45°,

由圓周角定理得，ZAOC=2ZD=90°,

/.弧ABC的長(zhǎng)=型1=24，

180

故選：B.

A

B

5.（2019?鉛山縣二模）如圖，菱形ABC。中，4=60°,AB=4,以4）為直徑的交CO

4乃ITT

D.

33T~6

【解答】解：連接OE,如圖所示:

???四邊形4BC力是菱形，

.?.ZD=N8=60°,AD=AB=4,

..OA=OD=2,

?.?OD=OE,

.-.ZOED=ZD=60°,

.?.ZDO￡=180°-2x60°=60°,

/.OE的長(zhǎng)=也0=生；

1803

故選：B.

6.（2019?云南模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形OA8C的頂點(diǎn)8在0。上，頂點(diǎn)A、C在0。

內(nèi)，的延長(zhǎng)線交0。于點(diǎn)O,則圖中陰影部分的面積為（）

【解答】解：連接08,

?.?四邊形ABCO是正方形，

;.ZDOB=45。,

:.OB=42AB=42,

???圖中陰影部分的面積=S原形回-竺奴」xlxl=￥」，

WJT^ODU?jyic//360242

7.（2019?山西）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=20BC=2,以AB的中點(diǎn)O

為圓心，。4的長(zhǎng)為半徑作半圓交AC于點(diǎn)則圖中陰影部分的面積為（）

0.5G7t_575n

A.-----------B.-----+—C.2百-乃D.4>/3--

42422

【解答】解：???在RtAABC中，NABC=90。，AB=2。BC=2,

BC2也

tanA==—=-=—，

AB2733

/.ZA=30°,

/.NDOB=60。,

OD=>AB=6

2

p:3

.??陰影部分的面積是：也必X260x^,x(V3)25757t

―2360

8.（2019?豐潤(rùn)區(qū)二模）如圖，將半徑為2,圓心角為90。的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

點(diǎn)、B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,則陰影部分的面積為（)

A.&+%B.&々7D.兀一也

【解答】解：連接80,

由題意得，AB=AD,440=60。,

.?.AABD為等邊三角形,

/.ZABD=60°,

，陰影部分的面積二曙-（等-8⑶

=—7T+\f3,

3

9.（2019?南充模擬）如圖，矩形ABCZ）中，AB=丘,BC=2,以B為圓心，8C為半徑

畫(huà)弧，交AD于E,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是（）

A.2+-B.V2+-C.2十萬(wàn)D.\+7T

22

【解答】解：?.?矩形ABC。中，AB=?,BC=2,

..AD=BC=2,CO=AB=0ZA=9O0,

?.?BE=BC=2,

在RtAABE中，:AB=xli,BE=2,

ZAEB=ZABE=45°,AE=AB=42,

:.DE=AD-AE=2-42,

?/ZABC=90°,

/.ZCBE=45°,

45?4x2

CE的長(zhǎng)度

1802

???圖中陰影部分的周長(zhǎng)=&+2-及+44=2+'萬(wàn),

22

故選：A.

10.（2019?涼山州）如圖，在AAOC中，OA=3cnt,OC=\cm,將AAOC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。后得到則AC邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的圖形的面積為（）cm2.

A.-B.2%C.一4D.—TV

288

【解答】解：3MO￡>,

.?.陰影部分的面積二扇形OA3的面積-扇形08的面積="藝至-史絲式=2%,

360360

故選：B.

11.（2019?廣安）如圖，在RtAABC中，NACB=90。，ZA=30°,8c=4,以BC為直徑

的半圓O交斜邊A3于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為（）

A

D.1*6

3

【解答】解：?.?在RtAABC中，ZAC5=90°,ZA=30°,

...NB=60°,

/.ZCOD=120°,

?.BC=4,BC為半圓。的直徑，

.\ZCDB=9O°,

:.OC=OD=2,

:.CD=—BC=2y/3，

2

圖中陰影部分的面積=s向形四-隈6x1=4-G，

3oU23

故選：A.

綜合運(yùn)用：與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

1.爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm,點(diǎn)導(dǎo)火索的人員需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外

的完全區(qū)域，已知這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm,那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？

【解析】解：點(diǎn)導(dǎo)火索的人非常安全.理由如下：

導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為工-=20(s),此時(shí)人跑的路程為20x6.5=130(m),

0.9

因?yàn)?30>120,所以點(diǎn)導(dǎo)火索的人非常安全；

答：點(diǎn)導(dǎo)火索的人非常安全.

2.如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格

中進(jìn)行下列操作：

(1)在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，并寫(xiě)出點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為.

(2)連接AD、CD,求。D的半徑及弧菽的長(zhǎng).

(3)有一點(diǎn)E(6,0),判斷點(diǎn)E與。D的位置關(guān)系.

【解析】解：(1)如圖,D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

故答案為：（2,0）；

⑵AD=7AO2+OD2=2^;

作CE_Lx軸，垂足為E.

VAAOD^ADEC,

ZOAD=ZCDE,

又「ZOAD+ZADO=90°,

???ZCDE+ZADO=90°,

???扇形DAC的圓心角為90度，

???菽的長(zhǎng)為90'：『^3；

(3)點(diǎn)E到圓心D的距離為4<%后，

???點(diǎn)E在。D內(nèi)部.

3.如圖，4ABC是等腰三角形，且AC二BC,ZACB=120°,在AB上取一點(diǎn)O,使OB=OC,

以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，過(guò)C作CD〃AB交。O于點(diǎn)D,連接BD.

(1)猜想AC與。O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)已知AC=6,求扇形OBC圍成的圓錐的底面圓半徑.

【解析】解：(1)AC與。O相切,

理由：

VAC=BC,ZACB=120°,

AZABC=ZA=30o.

VOB=OC,ZCBO=ZBCO=30°,

AZOCA=120°-30°=90°,

AAC1OC,

又???OC是。o的半徑，

JAC與。O相切；

(2)如圖，在RSAOC中,

ZA=30°,AC=6,則：AO=2CO,由勾股定理，解得：CO=25，

工弧BC的弧長(zhǎng)為：⑵兀X(2⑨二業(yè),

1803

設(shè)底面圓半徑為：r,

貝ij2nr=4^K,

3

解得：廠笙.

3

4.如圖，正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE,CE交AD于點(diǎn)E連接BF,BF與AC

交于點(diǎn)P.

(1)求證：四邊形ABCF是菱形;

(2)求證：AC2+BFMAB2；

(3)若AB=2,求ACDF的周長(zhǎng).

D

【解析】解：(1)證明：正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)為：6-2)X180°=108°,

5

VDE=DC,AZDEC=36°,/.ZAEC=72°,

/.ZBAE+ZAEC=180°,，AB〃CF,同理，BC〃AF,

???四邊形ABCF是平行四邊形，

VBA=BC,J四邊形ABCF是菱形；

(2)證明：?.?四邊形ABCF是菱形，???AC_LBF,

由勾股定理得PB^PC^BC2,

AAC^B^(2PC)2+(2PB)2=4PC2+4PB2=4BC2,

Z.AC^BI^MAB2；

(3)解：:四邊形ABCF是菱形，

.\CF=AF./.ACDF的周長(zhǎng)等于CF+DF+CD.

即ACDF的周長(zhǎng)等于AD+CD,

;在正五邊形ABCDE中，

.*.CD2=