人教版九年級(jí)秋季數(shù)學(xué)教案

九年級(jí)秋季數(shù)學(xué)教案

《動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》教案

教材版本：人教版，學(xué)

校：.

年九授年月日

師級(jí)年級(jí)課時(shí)間

謁2課時(shí)課第一講一元二次方程（一）

時(shí)題

本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容為一元二次方程定義應(yīng)用，一元二次方程根

教材分析的求解方法一直接開平方法、配方法、求根公式法，以及△

=b2-4ac的應(yīng)用.

例題的講解上，教師可通過降次-直接開平方法以及開方

的變形為主線進(jìn)行講解（教案中會(huì)有體現(xiàn)）.

其中例2、例5可作為分組生生互動(dòng)題目.

拓展延伸題目，在教材中不予體現(xiàn)，作為教師在課堂選講

內(nèi)容（建議教師例1可與拓展1結(jié)合講解，例5可與拓展2結(jié)

合講解，例4可與拓展3、4結(jié)合講解）.

1.了解一元二次方程定義及應(yīng)用；

知識(shí)2.理解一元二次方程的根的概念并會(huì)判斷根的情況；

3.理解并掌握一元二次方程根的求法.

技能

學(xué)

讓學(xué)生通過動(dòng)眼觀察，動(dòng)口表達(dá)，動(dòng)腦思考等方式使學(xué)生

目數(shù)學(xué)理解一元二次方程的定義、以及定理的推導(dǎo)與應(yīng)用.

標(biāo)思考

經(jīng)歷配方法、求根公式法的探究求證與發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)

問

生對(duì)公式、定理的推導(dǎo)能力與自主學(xué)習(xí)的能力.

題解決

讓學(xué)生初步建立一元二次方程知識(shí)框架.享受學(xué)習(xí)、互助

情的快樂，分享成功、協(xié)作的喜悅.

感態(tài)度

教學(xué)重點(diǎn)：

教學(xué)重1.了解一元二次方程定義及應(yīng)用；

2理.解一元二次方程的根的概念并會(huì)判斷根的情況；

點(diǎn)、難點(diǎn)3理.解并掌握一元二次方程根的求法；

4使.學(xué)生初步建立一元二次方程知識(shí)框架.

教學(xué)難點(diǎn)：

1.適當(dāng)選取直接開平方法、配方法、公式法解數(shù)字系數(shù)的

一元二次方程；

2.根的判別式A=b2-4ac的應(yīng)用.

教學(xué)準(zhǔn)備動(dòng)畫多媒體語言課件

第一課時(shí)

復(fù)備內(nèi)容教學(xué)過程

及討論記錄

師：前面我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程，以及方程組，那

同學(xué)們了解“方程”的來源嗎？接下來同學(xué)們和老師一起了解

一下它的歷史.

課件語音導(dǎo)入了解方程的歷史及一元二次方程的定義.

師：相信同學(xué)們已經(jīng)猜到了，今天我們要學(xué)習(xí)的新知識(shí)就

是一元二次方程，接下來呢，我想請(qǐng)一位同學(xué)為大家讀一下這

個(gè)問題.（指定學(xué)生讀題）

生：”《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣

六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？……”

師：題目已經(jīng)讀完了，大家都聽清楚了嗎？（學(xué)生：聽清

了）這位同學(xué)你先不要著急坐下，接下來你是想自己回答下面

的問題呢？還是需要尋求一位小伙伴替你回答呢？

生:（自己回答）、或他指定其他同學(xué)幫助.

生：高為羽那么這個(gè)門的寬是“廠6.8”，根據(jù)勾股定理

就可以列方程

"（x-6.8）2+f=102”.

師：大家有不同意見嗎？

生：沒有.

師：好，謝謝A同學(xué)（讀題目的）和B同學(xué)（列方程的）,

那下面請(qǐng)大家快速的將這個(gè)方程化簡整理一下.

師：同學(xué)們都整理好了嗎？（學(xué)生：好了）誰說下最后的

結(jié)果？

生：2%-170尸672=0.

師：大家計(jì)算的也是這個(gè)結(jié)果嗎？（學(xué)生：是或不是），

若不是請(qǐng)同學(xué)說出其他結(jié)果，并指正.

師：好，大家一同觀察下這個(gè)方程，是不是剛才我們說的

一元二次方程？

生：是.

師：好，那老師請(qǐng)一位同學(xué)在來復(fù)述一下一元二次方程的

定義，舉手示意一下老師，誰可以給大家復(fù)述一下？

生：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）.

師：他說的好不好？

生：好.

師：下面同學(xué)們跟隨老師一起學(xué)習(xí)下一元二次方程的相關(guān)

知識(shí).

出示課件“拋磚引玉”中知識(shí)點(diǎn).可請(qǐng)同學(xué)讀，也可自己讀，

根據(jù)學(xué)生程度或可作簡單講解.

師：接下來我們應(yīng)用上面所學(xué)知識(shí)來解決一些一元二次方

程的題目.請(qǐng)同學(xué)們看下例1.

例1已知卜-1|=2,解關(guān)于x的一元二次方程（〃-9）

x2-4or+l=5x-2ax-2.

師：請(qǐng)一位同學(xué)說說他的想法吧，誰主動(dòng)說一下，舉下手.

老師可請(qǐng)一位愛馬虎不認(rèn)真的學(xué)生

生：回答大致有兩種情況：1.由可知,-1|=2求出。=3或

T.代入方程求X.

2.先由〃-1|=2,求出。二3或T.但是這兩個(gè)值要滿足：

（。-9）x-4ax+1=5x-2ar2-2.

說明：本題重點(diǎn)考察一元二次方程定義中二次項(xiàng)系數(shù)不為

0的情況，所以教師在講解時(shí)要先說明將一元二次方程化為的

一般形式，讓后讓二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

師：大家同意他的結(jié)果嗎？

生：同意（不同意）

師：對(duì)于1的情況教師從新強(qiáng)調(diào)二次項(xiàng)系數(shù)不為0的重要

性.對(duì)于2的情況請(qǐng)不同意的同學(xué)說明.我們?cè)诮膺@樣的題目需

要注意什么呢？

生：一元二次方程定義，其中二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

師：說的非常好，也就是說，如果我們?cè)诮膺@樣的題目時(shí),

首先說明

3a-9W0,是不是就不會(huì)出現(xiàn)4=3時(shí)x的結(jié)果了.對(duì)于這樣

3〃一9w0

的題目，其實(shí)我們是列出的是一個(gè)方程組,c，這樣相

信就不會(huì)出現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)等于0的情況了.

師：在應(yīng)用降次法解一元二次方程時(shí)，直接開平方法是其

中最直接有效的方式，接下來左邊的同學(xué)作為第一組，右邊的

同學(xué)作為第二組，第一組的同學(xué)作例2的①③，第二組的同學(xué)

作例2的②④，看看哪組同學(xué)對(duì)直接開平方法掌握的最好.

例2

①5f-40=0；②（x+l）2-9=0；③9幺-24x+16=121；④

（3%+2）（3尸2）=4.

好，你們兩組都有答案了嗎？各組請(qǐng)一個(gè)代表站起來公布

下你們的答案.

生：第組①,X2=~2V2>（3）X1—5,X2=——.

3

生：第二組②x尸2,a二-4,④工尸名旦，即二-馬旦.

33

師：大家作的都非常好.對(duì)于ar?+c=0（。=0旦acWO）

或（〃比+〃）2=p形式的，我們都可以應(yīng)用直接開平方法解其根.

如果一元二次方程不是上面的兩種形式，而是一般式

—+bx+c=O,比如2f-4x-2=0,我們?cè)撊绾吻蠼飧兀?/p>

生：轉(zhuǎn)化為上面的兩種類型.

師：如何轉(zhuǎn)化呢？

生：配方.

師：嗯，回答的非常好，我們可以應(yīng)用前面所學(xué)的配方法

將其轉(zhuǎn)化為

，**/**iI?、?=4、z

A2X2-4X-2=O〃形式，下面同

JI移常數(shù)項(xiàng)

0x2-4x=Q.

學(xué)們一向形式.

n二次項(xiàng)系數(shù)為1

場(chǎng)（方程兩邊同除以2）

x2-2x=l

ik口兩邊加1（即（爸尸）.配方法，重點(diǎn)說明“二

己使左邊配成J+26+〃的形式

次項(xiàng)奇/苛二:工工口一次項(xiàng)系數(shù)一半的平

u左邊寫成完全平方形式

（X-1）2=2

方，，Q降次（開平方）

x-1=/2"或工一1=—J2-

。解一次方程

Xi=1+J2",X2=1—J2"

師：在配方的時(shí)候一般我們要重點(diǎn)注意以下兩點(diǎn)：一是“二

次項(xiàng)系數(shù)化為1"，二是“方程兩邊同時(shí)添加一次項(xiàng)系數(shù)一半的

平方”，下面請(qǐng)兩位同學(xué)到前面黑板上應(yīng)用剛才我們說的配方

法求解例3中的第②小題3犬-4尸2=0.其他同學(xué)在下面獨(dú)自求

解一下.

例3用配方法解下列方程

①2f-4廠2=0②

3X2-4X~2=0

答案…二"羋…二一膽

3333

師：他們兩個(gè)求解的過程對(duì)不對(duì)？

生：對(duì)（不對(duì)）

師請(qǐng)觀察答案，不對(duì)的地方給予糾正.

師：上面我學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義，以及應(yīng)用直接開

平方法、配方法解方程，接下來，同學(xué)們快速的將練習(xí)題中的

1、2、3完成.

教師利用這段時(shí)間巡視學(xué)生上面的題目完成情況，練習(xí)題

完成可直接對(duì)答案

1.下列方程中不一定是一元二次方程的是（）

A.(。-3)xJ8(aW3)B.ax+bx^c=O

C.Cv+3)(x-2)-x+5D.+-x-2=0

57

2一.元二次方程2X2-3X+1=0化為(x+〃)2二人的形式,正確的

是()

A(3丫(3?1(3丫1

12)14；1614；16

D.以上都不對(duì)

3關(guān).于x的一元二次方程(。-1)￡+田〃2一1二0的一個(gè)根是0,

則。值為()

A.1B.-1C.1或TD.-

2

答案：l.B；2.C；3.B.

師：同學(xué)們休息10分鐘，10分鐘后我們繼續(xù)下面的內(nèi)容，

有問題的同學(xué)可以舉手示意一下.

第二課時(shí)

復(fù)備內(nèi)容及討論教學(xué)過程

記錄

師：剛才我們學(xué)習(xí)三個(gè)內(nèi)容，第一個(gè)：一元二次方程的定義；第二彳

應(yīng)用直接開平方法解一元二次方程；第三個(gè)是應(yīng)用配方法解一元二次方米

也就是說我們?cè)谇蠼庖辉畏匠虝r(shí)利用降次的方法求解方程時(shí)首

對(duì)于

ax2+c=0(a工0且ac<0)或(/nx+〃)2=〃形式，我們直接開方即可

若對(duì)于給定各系數(shù)的一元二次方程一般式，我們選擇應(yīng)用配方將其轉(zhuǎn)化大

直接開方的形式，那在這里，有一個(gè)問題，如果對(duì)于一元二次方程的一般

,2小隹同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程加+c=O（aW。）的求根公式時(shí)，?*

ax2+bx樣一道

對(duì)于用一4。。>0的情況,她是這樣做的：什」

產(chǎn)+皋=_泉，……第一步

目，一"+'+點(diǎn)尸=一泉+（務(wù)"……第二步

口+務(wù)?=嚙弊5……第三步

“X+曷=晦亞（戶一4/00）,……第四步

x=一一+J-2-44C........第五步

1a

小佳的解法從第____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

事實(shí)上，當(dāng)力2_4ac>0時(shí)，方程ar2+hx+c=0（a0）的求根公式

師：大家都看完了吧？

生：看完了.

師：現(xiàn)在請(qǐng)一位同學(xué)來回答老師的一些問題.好，某某同學(xué)回答.

師：小佳的解法從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？

生：第四步.

師：能說說錯(cuò)誤原因嗎？

生：一個(gè)正數(shù)開方時(shí)應(yīng)該有兩個(gè)，一個(gè)正的一個(gè)負(fù)的.

師：同學(xué)們他說的正確嗎?

生：正確.

師：看來同學(xué)們對(duì)開平方都是比較了解的.好，請(qǐng)坐.老師還有在請(qǐng)一

同學(xué)回答問題，好，就某某某同學(xué).題目中的第一步到第三步，都分別在

什么？

生：第一步是把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)并將二次項(xiàng)系數(shù)化1.第二步是配方，要在

程兩邊同時(shí)添加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.第三步是應(yīng)用完全平方公式.

師：他回答的好不好？

生：好.

師：這是不是我們上節(jié)課應(yīng)用配方法是所學(xué)習(xí)的？

生：是的.

師：所以同學(xué)們可以看到，對(duì)于一元二次方程的一般式加+版%=0,

們也是可以應(yīng)用配方法求解根的.同學(xué)們?cè)谒伎家粋€(gè)問題，如果題目中，

有給出4呢＞0,在第四步可以開方嗎？

生：不能，要對(duì)〃-4訛進(jìn)行討論.

師：哪位同學(xué)給大家詳細(xì)的說下？

生：當(dāng)序-4〃cV0時(shí)，不能開平方，所以一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)"-4〃c=()時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)〃-4雙＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

師：他回答的非常全面，老師相信咱們班的大多數(shù)同學(xué)都能夠做到他

答的這樣.

這里我們把〃-4這表示為“△”，并稱之為根的判別式，說明對(duì)任意

一元二次方程加+2?0,我們可以通過的符號(hào)問題來得到方

根的情況.這里老師可以隨著學(xué)生回答板書下面

「兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根1△>0、

一元二次方程根的情耳兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（—△=（）L△%2-

、沒有實(shí)數(shù)根1△<0J（根的判別￥

像剛才某某某說的一樣當(dāng)△>（）時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△二

時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；A<0方程沒有實(shí)數(shù)根.對(duì)于上面的題目，

家在這個(gè)空應(yīng)該填寫什么？

生犬_6±yjb2-4ac

2a

師：這個(gè)公式，我們叫做一元二次方程求根公式.下面我們應(yīng)用上面

學(xué)，看看例5.請(qǐng)兩位同學(xué)到前面板書，其他同學(xué)獨(dú)自解答.

例5用公式法解下列方程

7

①3d+4=7x②2f+'x=l

3

_4__1_3

即--，沏-1X\--，X2~—.

332

教師巡視指正

師：在應(yīng)用公式法求解一元二次方程時(shí)，需要注意，應(yīng)先驗(yàn)證△司2-

的符號(hào)，得到一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，之后在用公式求解.對(duì)于這道

目就不做過多說明了，接下來，一起看看例4

教師讀題

例4己知關(guān)于x的一元二次方程f-2x+Q0

（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求&的取值范圍；

（2）在（1）中當(dāng)&取最大整數(shù)時(shí)，求所得方程的實(shí)數(shù)根.

師:第（1）問,我們可利用什么求解呢？

生：A=Z?2-4tzc大于零.

師：大家都知道為什么嗎？

生：知道.

師：那快速求解一下.....結(jié)果是多少？

生：k<l.

師：那在這個(gè)范圍內(nèi)，最大的整數(shù)是多少呢？

生：0.

師：也就是說，右0時(shí)求解方程9-2田七0的解是不是？

生：是的.

師：同學(xué)們獨(dú)自求解一下吧.

師：本題中，首先我們可以看到該方程為一元二次方程，并且二次項(xiàng)

數(shù)為已知，根據(jù)一元二次方程根的判別式可得到△斗2_44大于零.進(jìn)而求

k的取值范圍.如果一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí)，我們又該如何處

呢？

同學(xué)們看看練習(xí)第7題.讀題

7.已知關(guān)于x的方程正+gx~2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求女的

值范圍.

師：誰上來在黑板上寫一下你的求解過程？請(qǐng)一個(gè)同學(xué)

其他同學(xué)在下面快速求解一下.

答案：

解：??,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

r,n附工。

???有J，即。7—\2

△X)[(Vb-I)+8&X)

解得：1

且人工0

7

或2>-工，教師對(duì)女>-」情況說明

77

師：哪位同學(xué)和他的結(jié)果不同？強(qiáng)調(diào)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0

于錯(cuò)誤的學(xué)生

不一樣的同學(xué)是不是直接應(yīng)用△大于零而沒有說明ZWO,這里，希望

起同學(xué)們的重視，所以為了避免錯(cuò)誤的產(chǎn)生，同學(xué)們應(yīng)該按著規(guī)范書寫，

某某同學(xué)寫的就非常規(guī)范.如果板書錯(cuò)誤教師要指出并更正

師：下面，同學(xué)們把剩余的練習(xí)題求解一下.就是4、5、6、8.

救師巡視，看學(xué)生作的情況

4.如果2x2+l與4x~~2x~5互為相反數(shù),則x的值為________.

5.若關(guān)于y的一元二次方程ky2-4y-3=3yH有實(shí)根，則k的取值

圍.

6.關(guān)于x的一元二次方程幺+g+〃二0有兩個(gè)相等實(shí)根，則符合條件的

組”、〃的實(shí)數(shù)值可以是m二,n=.

8.一個(gè)小球豎直上拋的過程中，它離上拋點(diǎn)的距離〃（m）與拋出后小

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間Ns）有如下關(guān)系：力二24廣5人經(jīng)過多少時(shí)間后，小球離上拋點(diǎn)

距離是16m?

答案

2

4.1或一一

3

7

5.k>——

4

6.0,0,答案不唯一

4

8.f=一財(cái)

5

拓展問題教師根據(jù)學(xué)生情況選做

總結(jié)：

師：這堂課，我們主要學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義以及二次項(xiàng)系數(shù)不

零的易錯(cuò)點(diǎn)，還有解一元二次方程的三種方法，直接開平方法、配方法、

式法.

其中在推導(dǎo)公式法中，我們得到了根的判別式△二/-4妝的符號(hào)可判

一元二次方程根的情況.

相應(yīng)出示課件中總結(jié)內(nèi)容.

不過同學(xué)們認(rèn)為這三種解方程的方法簡便嗎？

生：簡便（不簡便）

師：下節(jié)課中老師與大家分享一種更為簡便的求解一元二次方程的

法，這節(jié)課就到這里.

【類似性問題】

1.B

2.C

3.B

4.1或-2

3

7

5.k>--且2W0

4

6.0,0,答案不唯一

7.%>-■!■且

7

4

8.r=-?￡4.

5

拓展延伸答案

1.A

2.四：

la

3.解：???關(guān)于x的方程W+S+2）x+64=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

???△=（什2）2-4（6力尸0.

則"二T0（舍），岳=2.

???△ABC是等腰三角形，

工三邊分別為。=5、b=2、c=5,△A8C周長為12.

4.

(1)證明：???攵工0,

0是關(guān)于x的一元二次方程.

k

VA=(-1)2-4JI(--)=9>0.

k

???方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)解：由求根公式，得

1±>/9

X=--------

???方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且左是整數(shù)，

*,?左=-1或2=1.

手冊(cè)答案

1.B

2.C

3.D

4.3或-1

5.-3,2

6「.-，1<6F<-1

2

7.-

3

8.配方法：(1)芭=-2+6,%2=-2-石；(2)%=9=一6.

9.(1)/w=l,2；(2)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，x=0；m二2時(shí)，X)=0,x2=-5.

10.斜邊長為5夜.

《動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》教案

教材版本：人教版.學(xué)

校：,

年九授年月日

師級(jí)年級(jí)課時(shí)間

摒2課時(shí)課第二講一元二次方程(二)

時(shí)題

本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容為因式分解法解一元二次方程及一元二次

教材分析方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.

課程可設(shè)計(jì)為：第一節(jié)，因式分解法解一元二次方程；第

二節(jié)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系.

其中例1(1)、(2)給出較詳細(xì)的十字相乘法解一元二次

方程，教師可應(yīng)用其講解十字相乘法，(3)、(4)小題可作為

師生互動(dòng)題目；例3為換元法解高次方程，若時(shí)間允許教師可

結(jié)合拓展2進(jìn)行師生互動(dòng)、生生討論的方式加深對(duì)換元法及根

的判別式應(yīng)用的理解；例5為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)

用，可進(jìn)行分組解答.

拓展延伸題目，在教材中不予體現(xiàn)，作為教師在課堂選講

內(nèi)容.

1.理解并應(yīng)用因式分解法解一元二次方程；

知識(shí)2.理解并應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解相應(yīng)代數(shù)

式的值.

技能

學(xué)

學(xué)生通過課件導(dǎo)入及教師講解，觀察、思考發(fā)現(xiàn)因式分解

目數(shù)學(xué)法解一元二次方程與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生

觀察、分析問題的能力以及演繹推理的能力.

標(biāo)思考

通過利用因式分解法將一元二次方程變形的過程，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”“降

問次”的數(shù)學(xué)思想方法；通過課件了解數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)一元二次方程根與

系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過程.

題解決

情了解由二次向一次的“轉(zhuǎn)化”思想在解方程中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生

感態(tài)度的學(xué)習(xí)興趣，據(jù)髀習(xí)效率

教學(xué)重點(diǎn)：

教學(xué)重1.因式分解法解一元二次方程；

2.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系.

點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：

1.十字相乘法解一元二次方程；

2.一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理的應(yīng)用.

教學(xué)準(zhǔn)備動(dòng)畫多媒體語言課件

第一課時(shí)

復(fù)備內(nèi)教學(xué)過程

容及討論記

錄

課堂導(dǎo)入

師：上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么是一元二次方程，以及解

一元二次方程的幾種方法，還有如何判斷一元二次方程根的情

況，哪位同學(xué)能分別回答下這三個(gè)問題呢？

（教師板書相應(yīng)知識(shí)：

1：ax2+bx+c=O（a^O）；

2：直接開平方法、配方法、公式法；

3：△=b>~^ac.

生1：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程，叫做一元二次方程，其一般形式為辦2+打+。=0（存0）.

生2：解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、

公式法.

生3：△大于零時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

△等于零時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△小于零時(shí),

一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

師：這三位同學(xué)回答的都非常好，掌聲鼓勵(lì)一下.

生：（鼓掌）

師：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們也都了解了，在解一元二

次方程時(shí)無論是直接開平方法還是配方法，我們都遵循一個(gè)

方式，那就是將二次降為一次，那除了這兩個(gè)方式外，我們還

有其他更簡便的方式可以實(shí)現(xiàn)降次的目的嗎？下面請(qǐng)同學(xué)們看

一下導(dǎo)入中的題目.

知識(shí)導(dǎo)引讀題

如圖，在△A5C中，NB=90°,點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始，沿

邊向點(diǎn)8以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)3開始，沿8C邊向

點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果4B=6cm,BC=12cm,P、Q分

別從A、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

r

解：設(shè)，秒后△PB。的面積等于8cm2,則8片6-r,BQ=2t,

SNBQ=LBP?BQ=LX(6-r)X2尸8,

22

整理得尸-6什8=0,

解得片2,后4,

答：2秒或4秒后△尸8Q的面積等于8cm2.

師：如果我們?cè)O(shè)，秒后△P8Q的面積等于8cm2,那如何建

立相應(yīng)的方程呢？

生：此時(shí)3P=6-z,BQ=2f,△P5Q的面積等于;BQ,

也就是

-X(6-r)X2r=8.

2

師：大家同意這個(gè)方程嗎？

生：同意.

師：這個(gè)方程用什么方法解呢？

生：配方（公式法、因式分解）

若有回答因式分解的可聽取其解答過程

師：看來同學(xué)們心中都有自己認(rèn)同的方式求解了，那誰可

以最迅速的求解其根呢？（聽取不同方式求解，導(dǎo)出因式分解

法）

師：將上面的方程整理為3-6什8=0后，能不能轉(zhuǎn)化為

（Z-2）（r-4）=0.

生：可以.

師：是的，這樣將產(chǎn)-6什8=0轉(zhuǎn)化為（卜2）（，-4尸0,在求解該

一元二次方程要比我們應(yīng)用配方法或公式法簡便的多，那老師

是通過什么方法將Z2-6什8=0轉(zhuǎn)化為“-2）（，-4）=0的呢？有的同學(xué)

已經(jīng)回答出來了，就是因式分解法，我們可通過提公因式、平

方差、完全平方公式以及十字相乘法將一元二次方程達(dá)到降次

的目的，這就是我們本節(jié)所要學(xué)習(xí)的--因式分解法解一元二次

方程，用因式分解法解一元二次方程中最為常見、最為重要的

非十字相乘法莫屬.

十字相乘云解一元二次方程的過程：

孫一元二次方程ax3+bx+c=O（a00）

1

ayx'x.a^x-ivcc\xc9=c

<—?。貳乂。=0,^=2,/2=4）

,t（aixxca）+（a?rxci）=/>x

注1

一元二次方理aia+fer+cuOta#。）可因式分解為（“iK+ciJ（ajx+c2）=0

BP“ix+ci=O或。4+。2=。，

解得-=-￡L.X2=-d.

Oi

教師講授十字相乘法：

對(duì)于一元二次方程"2+公+-0來說，如果二次項(xiàng)能夠

寫成a\xXa2X=ax2

常數(shù)項(xiàng)可表示為ClXC2=C,且（41XXC2）+（a2XXC|）二bx

時(shí)，那么這個(gè)一元二次方程可分解為(4[X+Cl)(a2X+C2)=0，我

們把這種因式分解的方法叫做十字相乘法，下面我們通過

兩個(gè)題目來具體學(xué)習(xí)這種因式分解的方法.

出示例1

教師利用(1)(2)鞏固加深對(duì)十字相乘法的學(xué)習(xí)，(3)

(4)可作為師生互動(dòng)題目，請(qǐng)學(xué)生板書，教師巡視其他

學(xué)生解答情況.聽取學(xué)生匯報(bào)分解情況及答案

例1

(1)2X2+15X+7=0(2)6戶11廠10=0

(3)5x+7x-6=0(4)5y+23y-10=0

答案：

(1)(x+7)(2x+l)=0(2)(2y-5)(3y+2)=0

(3)(x+2)(5廠3)=0(4)(y+5)(5y-2)=0

師總結(jié)：對(duì)于需要求解根的一元二次方程來說，我們應(yīng)

用的方法應(yīng)該是由簡單到復(fù)雜，也就是先思考是否能夠通過因

式分解的方法求解，如果不可以，我們?cè)诳紤]配方法或公式法.

對(duì)于數(shù)字系數(shù)的一元二次方程我們可應(yīng)用十字相乘這種

方法，那對(duì)于含有參數(shù)系數(shù)的二次方程，是不是也可以應(yīng)用十

字相乘這種因式分解的方法呢？

出示例2

例2已知f+3孫-4y=0(yW0),試求。的值.

x+y

學(xué)生思考，教師提問其因式分解結(jié)果，并點(diǎn)評(píng)

師：對(duì)于一些高次的方程來說，我們?cè)撊绾吻蠼饽兀?/p>

出示例3

例3為解方程(￥—1)2—5(￥—1)+4=0,我們可以將￥—1視

為一個(gè)整體，然后設(shè)1=)，,

則＞2=("—1產(chǎn)，原方程化為產(chǎn)―5丫+4=0,解此方程，得y=l,

V=4.

2

當(dāng)y=l時(shí)，X—1=1,X2=2,.*.x=±V2.

當(dāng)y=4時(shí)，x2—1=4,X2=5,.*.X=±V5.

；?原方程的解為w=-42,X2=V2>X3——后,X\=V5.

以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

(1)運(yùn)用上述方法解方程：X-3X2-4=0.

(2)既然可以將f-i看作一個(gè)整體，你能直接運(yùn)用因式分

解法解這個(gè)方程嗎？

請(qǐng)學(xué)生解釋例3題目中的方法請(qǐng)一名同學(xué)為大家講解一下

題目中的方法.

生：將V—1看成一個(gè)整體，設(shè)l=y,原方程化為y2

—5y+4=0,因式分解為(y-l)(y-4)=0,也就是9—1=1或/

-1=4,這樣就可以解得

Xi=—>/2,X2=V2,X3=-V5,XA=.

師：(表揚(yáng))這就是對(duì)于高次方程的求解方法一換元法，通

過換元的方式達(dá)到了降次的目的.下面同學(xué)們思考(1)(2)問題,

一會(huì)請(qǐng)兩名同學(xué)到前面板書.(請(qǐng)學(xué)生黑板演練)

教師點(diǎn)評(píng)總結(jié)：1.了解換元的目的：一,簡化方程形式，二.

降次

2.對(duì)于類似上面題目中的兩種形式的高次方程來說，我們都

可應(yīng)用換元法達(dá)到降次的目的，進(jìn)而求解方程的根.

鞏固練習(xí)1、2、4、7.

1.下列方程底一3彳-1=0,5f—7x+2=0,13f—15x+2=0

中，有一個(gè)公共解是()

A.x=-2B.x=2C.x=lD.x=~l

2,方程5x(x+3)=3(x+3)解為()

A.x\=-1明=3B.x=—

55

C.X\———>X2=-3D.Xi——?X2=-3

55

4.方程(2y+l)2+3(2)，+l)+2=0的解為.

7.解下列方程：

⑴立一1=0(2)x-4x-21=0；

(3)(x-1)(x+3)=12；(4)(x-l)2-4(x-l)-21=

0.

答案：I.C.2.D.4.y-l,y=--

1=22

7.(1)；(2)%)=-3,x2=7：

(3)%=-5,x2=3；(4)%=-2,x2=8.

練習(xí)題目處理方式

1.學(xué)生獨(dú)自處理，教師巡視檢查前面例題處理情況；

2.板書演練(第7題).

課堂休息

(教師利用課間休息時(shí)間對(duì)一些知識(shí)掌握不好的學(xué)生要有

一些必要的關(guān)注)

第二課時(shí)

復(fù)備內(nèi)容及討論教學(xué)過程

記錄

直接出示例4,學(xué)生獨(dú)自完成，匯報(bào)答案

例4

(1)利用配方法證明：無論x為何值，二次三項(xiàng)式-。-況2恒為負(fù);

(2)根據(jù)(1)中配方結(jié)果，二次三項(xiàng)式-V—2尸2有最大值還是最小值

最值是多少？

(3)求代數(shù)式/+10尸3的最值.

教師總結(jié)：利用配方法和平方數(shù)的非負(fù)性求最值問題.

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了應(yīng)用因式分解法解一元二次方程，其中最為重

的一種因式分解法一十字相乘.對(duì)于一元二次方程了來說，我們不得不提到

位偉大的數(shù)學(xué)家，下面各位同學(xué)和老師一起認(rèn)識(shí)一下這位偉大的數(shù)學(xué)家.

出示課件導(dǎo)入動(dòng)畫

師：同學(xué)們知道是哪位數(shù)學(xué)家了嗎？

生：韋達(dá).

師：那對(duì)于這位代數(shù)學(xué)之父發(fā)現(xiàn)的為+電=-2,我們稱之為“

aa

元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”也可稱為“韋達(dá)定理”，他是如何證明的呢

哪位同學(xué)可以重新為大家解釋一下呢？

生：通過公式法得到的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，之后兩根進(jìn)行和與積.

師：總結(jié)的很好，同學(xué)們自己在重新推導(dǎo)下.(下面巡視推導(dǎo)情況:

每位同學(xué)推導(dǎo)的都非常好，那對(duì)于韋達(dá)定理都有什么樣的應(yīng)用呢？

同學(xué)們一起看看例5

出示例5

2

例5若即，彳2是一元二次方程ax+bx+c=0的兩根，則有x1+x2=--

?明二￡.這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以利用它來解題.

a

例如，已知即，也是方程/+6%-3=0的兩根，求修2+才的值.

解法如下：

?即+用=一6,X1X2——3,

2222

XI+X2=Ui+x2)-2xtX2=(-6)-2X(-3)=42.

若有，“2是方程丁+2廠2007二0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

-

(1)；(2)—I—；(3)(Xi5)(5)；(4)|x1~x21.

X”

分兩組解答前3個(gè)問題

師：應(yīng)用題目中的方法，分左右兩組解答第(1)、(2)、(3)小問，先解

完成的組舉手示意老師.

教師巡視各組情況，并聽取答案匯報(bào)

教師總結(jié)：通過題目中對(duì)加2+用2變形，我們可以看出，在利用韋達(dá)定

求解相應(yīng)的代數(shù)式的值時(shí)，要分兩步進(jìn)行，首先要確定該一元二次

程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，比如例題中的兩個(gè)方程，我們都可通過根的判別式驗(yàn)證

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.之后將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有為+明與X出的代

式，比如我們將轉(zhuǎn)化為化|+電)2-2工即那對(duì)于第(4)小問中

|%-4|如何轉(zhuǎn)化為只含有為+電與的代數(shù)式呢？

生：可以先將|%-%?平方在開方，也就是-/)2=+占)2-4尤/

師：按著A同學(xué)的方法，大家快速的求解出|%-91的值.

生：匯報(bào)答案

答案：(1)4018(2)二一(3)-1972(4)4>/502

2007

師：應(yīng)用韋達(dá)定理，可以不用求出一元二次方程根的具體值，就可以得到

與系數(shù)之間的關(guān)系.同樣，也可以通過兩根和、積直接求得一元二次方程

的系數(shù).

鞏固練習(xí)3、5、6、8

3.若西是方程2--6#3二0的兩個(gè)根，則的值為()

須x?

19

A.2B.-2C.-D.-

22

5.已知關(guān)于x的方程d-4x+hl=0的兩根之差等于6,那么右_

6.已知方程9+〃7工+12=0的兩實(shí)根是4和x29方程丁-加戶〃=0的

實(shí)根是修+7和々+7,則m=,片.

8.在解方程/+〃/夕=0時(shí)，小張看錯(cuò)了p,解得方程的根為1與-3

小王看錯(cuò)了4，解得方程的根為4與-2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么？

答案:3.A；5.-4；6.7,12；8.xj=-l,X2=3.

課堂總結(jié)：

本節(jié)課，主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一是因式分解法求一元二次方程樸

其中十字相乘是因式分解法中重要的應(yīng)用手段.二是韋達(dá)定理的應(yīng)用，在

用韋達(dá)定理時(shí)，要特別注意其前提條件為該一元二次方程必須要有實(shí)數(shù)粒

答案：

【類似性問題】

1.C

2.D

3.A

/13

4.y=_1,%=一耳

5.~4

6.7,12

7.(1)；%=—(2)x,=—3,X2=7；(3)Xj=—5,x2=3；(4)

x[=-2,x2=8.

8.p=—2,q=—3.

拓展延伸答案

1.解：原方程化為f作一力）=0,

因式分解，得氏-（二+Q]二0,

U）u）

拓展：f+二+」=0化為+fx--l+2=o,

x~xX)vX)

令(x」卜y,原式化為y2+y+2=O.

△=l-8=-7<0,

??.方程>2+)，+2=0無實(shí)數(shù)根，

人-’的值不存在.

x

3.C.

手冊(cè)答案

1.B

2.A

3.B

4.=-7,X2=4

5.玉=-2,Xj=--

6.X]=m,々=n

7.37

,3

8.(1)x}=-l,x2=3；(2)Zj=--,/2(3)j]=0,y2=3；(4)

%=2>/2—3?x,=0.

9.m=-l,片17(舍).

10.(l)av-21；(2)不會(huì)，因?yàn)閮筛褪?0>0,而如果兩根都為負(fù)根,

則兩根之和為負(fù)數(shù)，矛盾.

《動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》教案

教材版本：人教版.學(xué)

校：.

年九授年月日

師級(jí)年級(jí)課時(shí)間

偶2課時(shí)課第三講一元二次方程的應(yīng)用

時(shí)題

本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容為建立數(shù)學(xué)模型，找相等關(guān)系，列一元二次

教材分析方程.

例題類型為增長、下降率問題，利潤問題，幾何圖形問題，

數(shù)字關(guān)系問題等.

例4以師生互動(dòng)的方式與導(dǎo)入題目共同講解，例2需進(jìn)行

多種情況討論，可分組生生互動(dòng)，但在建立面積等式時(shí)難度較

大，例5也可作為分組生生互動(dòng)題目.

拓展延伸題目，在教材中不予體現(xiàn)，作為教師在課堂選講

內(nèi)容.

1.會(huì)根據(jù)具體問題（增長、下降率問題，利潤問題，幾何

知識(shí)圖形問題，數(shù)字關(guān)系問題等）中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并

求解；

技能2.熟練應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題.

學(xué)

經(jīng)歷自主探究、獨(dú)立思考、合作交流的過程，提高分析問

目數(shù)學(xué)題、解決問題的能力.

標(biāo)思考

通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，尋求相應(yīng)的等量關(guān)系列一元二

問

次方程.

題解決

感受數(shù)學(xué)來源于生活，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)

情學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

感態(tài)度

教學(xué)重點(diǎn)：

教學(xué)重建立數(shù)學(xué)模型，找相等關(guān)系，列方程.

教學(xué)難點(diǎn)：

點(diǎn)、難點(diǎn)審題，找相等關(guān)系列方程.

教學(xué)準(zhǔn)備動(dòng)畫多媒體語言課件

第一課時(shí)

復(fù)備內(nèi)教學(xué)過程

容及討論記

錄

課堂導(dǎo)入

前兩節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，從而熟悉了一元

二次方程根的情況，也掌握了解一元二次方程根的方法，本節(jié)課，

我們將深入研究一元二次方程在實(shí)際問題中有哪些的應(yīng)用，同學(xué)

們跟隨老師一起通過課件中的內(nèi)容了解下.

出示課件導(dǎo)入題目

某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件,每件盈

利40元,為了擴(kuò)大銷售,增加利潤,盡量減少庫存,商場(chǎng)決定采取

適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均

每天多售出2件,若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降

價(jià)多少元？

解:設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，

根據(jù)題意可列方程：(40-x)(20+2x)=1200.

方程化簡整理為：/一30戶200:0.

解得：為二20或E二10.

答:每件應(yīng)降價(jià)10元或20元時(shí)，商場(chǎng)每天要盈利1200元.

授課過程題目分析：

1.通過題目中所列方程(40-x)(20+2x)=1200,提出問題師

生互動(dòng)：

所列方程正確與否；

請(qǐng)學(xué)生談?wù)勛约旱乃悸罚攸c(diǎn)分析40-A與20+2x的來源與

各代表的意義；

請(qǐng)學(xué)牛逃誅所得結(jié)論星否正確.并涌說白己的相法.

加降價(jià)導(dǎo)致所增銷量

原銷售量、

2總利解單婚潤X銷露「裱價(jià)導(dǎo)致所減"并將其

擴(kuò)展為原利潤

yN

所漲價(jià)格所降價(jià)格

師：通過此題，相信同學(xué)們對(duì)求解利潤問題有了一定的了解，

接下來，我們一起看下例4.出示例4

例4某西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，

以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克。為了促銷，該

經(jīng)營戶決定降價(jià)銷售。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小西瓜每降價(jià)0.1元/

千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共

24元。該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，則應(yīng)將每千克的小型西瓜

的售價(jià)降低多少元？

師：A同學(xué)，為大家讀一下這個(gè)題目，其他同學(xué)認(rèn)真思考.

生：讀題

師：哪位同學(xué)可以應(yīng)用上面的圖示，為大家解釋這個(gè)題目

呢？

生：首先設(shè)降低X元，之后原來的利潤是1元，現(xiàn)在的利潤

就是1-X元，又因?yàn)槊拷祪r(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千克,

那降低x元后，就應(yīng)該是±X40+200,這是現(xiàn)在的銷售量，最

0.1

后就可以列出方程

(200+—X40)(3-2-x)-24=200.

0.1

師：他解釋的好不好？

生：好.

師：大家快速的求解一下這個(gè)方程.

生：Xi=0.3或%2=0.2.

師：是降價(jià)0.3元或0.2元，都可以嗎？

生：是(不是).

師：請(qǐng)不同回答的兩位學(xué)生解釋自己的答案.之后點(diǎn)評(píng)指正

師：回答可降價(jià)0.2元的同學(xué)，一定沒有注意到題目中“為

了促銷”四個(gè)字，是不是？

師：如果最后的問題不是“售價(jià)降低多少元”，改為“售價(jià)

多少元”，那又該如何設(shè)未知量呢？

生：設(shè)售價(jià)x元(還是設(shè)降低x元).

師：哪種設(shè)未知量的方式比較好呢？

生：設(shè)降低X元比較好.

師：為什么呢？

生：設(shè)降低X元時(shí)，對(duì)降價(jià)后的單件利澗與銷售總量表示起

來比較簡便.

師：回答的非常好，大家掌聲送給他，在解實(shí)際問題中，一

般我們?cè)O(shè)未知量有兩種方式，一種是直接設(shè)元，也就是設(shè)售價(jià)X

元，還有一種是間接設(shè)元，也就是設(shè)降低X元，對(duì)于不同的題目，

我們所選擇設(shè)元的方式也有不同，具體用哪個(gè)，要分析哪種更有

利于表示其他的量.顯然，對(duì)于這樣類型的利潤問題，設(shè)降低X

元比較簡便.再有，對(duì)于我們所求得的方程的解，需要滿足實(shí)際

問題的要求，比如題目中有特殊說明“盡量減少“為了促銷”

時(shí)，都要對(duì)方程的解進(jìn)行篩選.

師：下面請(qǐng)同學(xué)們看下例3,稍后請(qǐng)同學(xué)回