人教版九年級秋季數(shù)學教案

九年級秋季數(shù)學教案

《動態(tài)數(shù)學思維》教案

教材版本：人教版，學

校：.

年九授年月日

師級年級課時間

謁2課時課第一講一元二次方程（一）

時題

本節(jié)重點內容為一元二次方程定義應用，一元二次方程根

教材分析的求解方法一直接開平方法、配方法、求根公式法，以及△

=b2-4ac的應用.

例題的講解上，教師可通過降次-直接開平方法以及開方

的變形為主線進行講解（教案中會有體現(xiàn)）.

其中例2、例5可作為分組生生互動題目.

拓展延伸題目，在教材中不予體現(xiàn)，作為教師在課堂選講

內容（建議教師例1可與拓展1結合講解，例5可與拓展2結

合講解，例4可與拓展3、4結合講解）.

1.了解一元二次方程定義及應用；

知識2.理解一元二次方程的根的概念并會判斷根的情況；

3.理解并掌握一元二次方程根的求法.

技能

學

讓學生通過動眼觀察，動口表達，動腦思考等方式使學生

目數(shù)學理解一元二次方程的定義、以及定理的推導與應用.

標思考

經(jīng)歷配方法、求根公式法的探究求證與發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學

問

生對公式、定理的推導能力與自主學習的能力.

題解決

讓學生初步建立一元二次方程知識框架.享受學習、互助

情的快樂，分享成功、協(xié)作的喜悅.

感態(tài)度

教學重點：

教學重1.了解一元二次方程定義及應用；

2理.解一元二次方程的根的概念并會判斷根的情況；

點、難點3理.解并掌握一元二次方程根的求法；

4使.學生初步建立一元二次方程知識框架.

教學難點：

1.適當選取直接開平方法、配方法、公式法解數(shù)字系數(shù)的

一元二次方程；

2.根的判別式A=b2-4ac的應用.

教學準備動畫多媒體語言課件

第一課時

復備內容教學過程

及討論記錄

師：前面我們己經(jīng)學習了一元一次方程，以及方程組，那

同學們了解“方程”的來源嗎？接下來同學們和老師一起了解

一下它的歷史.

課件語音導入了解方程的歷史及一元二次方程的定義.

師：相信同學們已經(jīng)猜到了，今天我們要學習的新知識就

是一元二次方程，接下來呢，我想請一位同學為大家讀一下這

個問題.（指定學生讀題）

生：”《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣

六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？……”

師：題目已經(jīng)讀完了，大家都聽清楚了嗎？（學生：聽清

了）這位同學你先不要著急坐下，接下來你是想自己回答下面

的問題呢？還是需要尋求一位小伙伴替你回答呢？

生:（自己回答）、或他指定其他同學幫助.

生：高為羽那么這個門的寬是“廠6.8”，根據(jù)勾股定理

就可以列方程

"（x-6.8）2+f=102”.

師：大家有不同意見嗎？

生：沒有.

師：好，謝謝A同學（讀題目的）和B同學（列方程的）,

那下面請大家快速的將這個方程化簡整理一下.

師：同學們都整理好了嗎？（學生：好了）誰說下最后的

結果？

生：2%-170尸672=0.

師：大家計算的也是這個結果嗎？（學生：是或不是），

若不是請同學說出其他結果，并指正.

師：好，大家一同觀察下這個方程，是不是剛才我們說的

一元二次方程？

生：是.

師：好，那老師請一位同學在來復述一下一元二次方程的

定義，舉手示意一下老師，誰可以給大家復述一下？

生：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）.

師：他說的好不好？

生：好.

師：下面同學們跟隨老師一起學習下一元二次方程的相關

知識.

出示課件“拋磚引玉”中知識點.可請同學讀，也可自己讀，

根據(jù)學生程度或可作簡單講解.

師：接下來我們應用上面所學知識來解決一些一元二次方

程的題目.請同學們看下例1.

例1已知卜-1|=2,解關于x的一元二次方程（〃-9）

x2-4or+l=5x-2ax-2.

師：請一位同學說說他的想法吧，誰主動說一下，舉下手.

老師可請一位愛馬虎不認真的學生

生：回答大致有兩種情況：1.由可知,-1|=2求出。=3或

T.代入方程求X.

2.先由〃-1|=2,求出。二3或T.但是這兩個值要滿足：

（。-9）x-4ax+1=5x-2ar2-2.

說明：本題重點考察一元二次方程定義中二次項系數(shù)不為

0的情況，所以教師在講解時要先說明將一元二次方程化為的

一般形式，讓后讓二次項系數(shù)不為0.

師：大家同意他的結果嗎？

生：同意（不同意）

師：對于1的情況教師從新強調二次項系數(shù)不為0的重要

性.對于2的情況請不同意的同學說明.我們在解這樣的題目需

要注意什么呢？

生：一元二次方程定義，其中二次項系數(shù)不為0.

師：說的非常好，也就是說，如果我們在解這樣的題目時,

首先說明

3a-9W0,是不是就不會出現(xiàn)4=3時x的結果了.對于這樣

3〃一9w0

的題目，其實我們是列出的是一個方程組,c，這樣相

信就不會出現(xiàn)二次項系數(shù)等于0的情況了.

師：在應用降次法解一元二次方程時，直接開平方法是其

中最直接有效的方式，接下來左邊的同學作為第一組，右邊的

同學作為第二組，第一組的同學作例2的①③，第二組的同學

作例2的②④，看看哪組同學對直接開平方法掌握的最好.

例2

①5f-40=0；②（x+l）2-9=0；③9幺-24x+16=121；④

（3%+2）（3尸2）=4.

好，你們兩組都有答案了嗎？各組請一個代表站起來公布

下你們的答案.

生：第組①,X2=~2V2>（3）X1—5,X2=——.

3

生：第二組②x尸2,a二-4,④工尸名旦，即二-馬旦.

33

師：大家作的都非常好.對于ar?+c=0（。=0旦acWO）

或（〃比+〃）2=p形式的，我們都可以應用直接開平方法解其根.

如果一元二次方程不是上面的兩種形式，而是一般式

—+bx+c=O,比如2f-4x-2=0,我們該如何求解根呢？

生：轉化為上面的兩種類型.

師：如何轉化呢？

生：配方.

師：嗯，回答的非常好，我們可以應用前面所學的配方法

將其轉化為

，**/**iI?、?=4、z

A2X2-4X-2=O〃形式，下面同

JI移常數(shù)項

0x2-4x=Q.

學們一向形式.

n二次項系數(shù)為1

場（方程兩邊同除以2）

x2-2x=l

ik口兩邊加1（即（爸尸）.配方法，重點說明“二

己使左邊配成J+26+〃的形式

次項奇/苛二:工工口一次項系數(shù)一半的平

u左邊寫成完全平方形式

（X-1）2=2

方，，Q降次（開平方）

x-1=/2"或工一1=—J2-

。解一次方程

Xi=1+J2",X2=1—J2"

師：在配方的時候一般我們要重點注意以下兩點：一是“二

次項系數(shù)化為1"，二是“方程兩邊同時添加一次項系數(shù)一半的

平方”，下面請兩位同學到前面黑板上應用剛才我們說的配方

法求解例3中的第②小題3犬-4尸2=0.其他同學在下面獨自求

解一下.

例3用配方法解下列方程

①2f-4廠2=0②

3X2-4X~2=0

答案…二"羋…二一膽

3333

師：他們兩個求解的過程對不對？

生：對（不對）

師請觀察答案，不對的地方給予糾正.

師：上面我學習了一元二次方程的定義，以及應用直接開

平方法、配方法解方程，接下來，同學們快速的將練習題中的

1、2、3完成.

教師利用這段時間巡視學生上面的題目完成情況，練習題

完成可直接對答案

1.下列方程中不一定是一元二次方程的是（）

A.(。-3)xJ8(aW3)B.ax+bx^c=O

C.Cv+3)(x-2)-x+5D.+-x-2=0

57

2一.元二次方程2X2-3X+1=0化為(x+〃)2二人的形式,正確的

是()

A(3丫(3?1(3丫1

12)14；1614；16

D.以上都不對

3關.于x的一元二次方程(。-1)￡+田〃2一1二0的一個根是0,

則。值為()

A.1B.-1C.1或TD.-

2

答案：l.B；2.C；3.B.

師：同學們休息10分鐘，10分鐘后我們繼續(xù)下面的內容，

有問題的同學可以舉手示意一下.

第二課時

復備內容及討論教學過程

記錄

師：剛才我們學習三個內容，第一個：一元二次方程的定義；第二彳

應用直接開平方法解一元二次方程；第三個是應用配方法解一元二次方米

也就是說我們在求解一元二次方程時利用降次的方法求解方程時首

對于

ax2+c=0(a工0且ac<0)或(/nx+〃)2=〃形式，我們直接開方即可

若對于給定各系數(shù)的一元二次方程一般式，我們選擇應用配方將其轉化大

直接開方的形式，那在這里，有一個問題，如果對于一元二次方程的一般

,2小隹同學用配方法推導一元二次方程加+c=O（aW。）的求根公式時，?*

ax2+bx樣一道

對于用一4。。>0的情況,她是這樣做的：什」

產(chǎn)+皋=_泉，……第一步

目，一"+'+點尸=一泉+（務"……第二步

口+務?=嚙弊5……第三步

“X+曷=晦亞（戶一4/00）,……第四步

x=一一+J-2-44C........第五步

1a

小佳的解法從第____步開始出現(xiàn)錯誤；

事實上，當力2_4ac>0時，方程ar2+hx+c=0（a0）的求根公式

師：大家都看完了吧？

生：看完了.

師：現(xiàn)在請一位同學來回答老師的一些問題.好，某某同學回答.

師：小佳的解法從第幾步開始出現(xiàn)錯誤呢？

生：第四步.

師：能說說錯誤原因嗎？

生：一個正數(shù)開方時應該有兩個，一個正的一個負的.

師：同學們他說的正確嗎?

生：正確.

師：看來同學們對開平方都是比較了解的.好，請坐.老師還有在請一

同學回答問題，好，就某某某同學.題目中的第一步到第三步，都分別在

什么？

生：第一步是把常數(shù)項移項并將二次項系數(shù)化1.第二步是配方，要在

程兩邊同時添加一次項系數(shù)一半的平方.第三步是應用完全平方公式.

師：他回答的好不好？

生：好.

師：這是不是我們上節(jié)課應用配方法是所學習的？

生：是的.

師：所以同學們可以看到，對于一元二次方程的一般式加+版%=0,

們也是可以應用配方法求解根的.同學們在思考一個問題，如果題目中，

有給出4呢＞0,在第四步可以開方嗎？

生：不能，要對〃-4訛進行討論.

師：哪位同學給大家詳細的說下？

生：當序-4〃cV0時，不能開平方，所以一元二次方程沒有實數(shù)根；

當"-4〃c=()時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

當〃-4雙＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

師：他回答的非常全面，老師相信咱們班的大多數(shù)同學都能夠做到他

答的這樣.

這里我們把〃-4這表示為“△”，并稱之為根的判別式，說明對任意

一元二次方程加+2?0,我們可以通過的符號問題來得到方

根的情況.這里老師可以隨著學生回答板書下面

「兩個不相等的實數(shù)根1△>0、

一元二次方程根的情耳兩個相等的實數(shù)根（—△=（）L△%2-

、沒有實數(shù)根1△<0J（根的判別￥

像剛才某某某說的一樣當△>（）時方程有兩個不相等的實數(shù)根；△二

時方程有兩個相等的實數(shù)根；A<0方程沒有實數(shù)根.對于上面的題目，

家在這個空應該填寫什么？

生犬_6±yjb2-4ac

2a

師：這個公式，我們叫做一元二次方程求根公式.下面我們應用上面

學，看看例5.請兩位同學到前面板書，其他同學獨自解答.

例5用公式法解下列方程

7

①3d+4=7x②2f+'x=l

3

_4__1_3

即--，沏-1X\--，X2~—.

332

教師巡視指正

師：在應用公式法求解一元二次方程時，需要注意，應先驗證△司2-

的符號，得到一元二次方程是否有實數(shù)根，之后在用公式求解.對于這道

目就不做過多說明了，接下來，一起看看例4

教師讀題

例4己知關于x的一元二次方程f-2x+Q0

（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，求&的取值范圍；

（2）在（1）中當&取最大整數(shù)時，求所得方程的實數(shù)根.

師:第（1）問,我們可利用什么求解呢？

生：A=Z?2-4tzc大于零.

師：大家都知道為什么嗎？

生：知道.

師：那快速求解一下.....結果是多少？

生：k<l.

師：那在這個范圍內，最大的整數(shù)是多少呢？

生：0.

師：也就是說，右0時求解方程9-2田七0的解是不是？

生：是的.

師：同學們獨自求解一下吧.

師：本題中，首先我們可以看到該方程為一元二次方程，并且二次項

數(shù)為已知，根據(jù)一元二次方程根的判別式可得到△斗2_44大于零.進而求

k的取值范圍.如果一元二次方程二次項系數(shù)不確定時，我們又該如何處

呢？

同學們看看練習第7題.讀題

7.已知關于x的方程正+gx~2=0有兩個不相等的實數(shù)根，求女的

值范圍.

師：誰上來在黑板上寫一下你的求解過程？請一個同學

其他同學在下面快速求解一下.

答案：

解：??,原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

r,n附工。

???有J，即。7—\2

△X)[(Vb-I)+8&X)

解得：1

且人工0

7

或2>-工，教師對女>-」情況說明

77

師：哪位同學和他的結果不同？強調一元二次方程二次項系數(shù)不為0

于錯誤的學生

不一樣的同學是不是直接應用△大于零而沒有說明ZWO,這里，希望

起同學們的重視，所以為了避免錯誤的產(chǎn)生，同學們應該按著規(guī)范書寫，

某某同學寫的就非常規(guī)范.如果板書錯誤教師要指出并更正

師：下面，同學們把剩余的練習題求解一下.就是4、5、6、8.

救師巡視，看學生作的情況

4.如果2x2+l與4x~~2x~5互為相反數(shù),則x的值為________.

5.若關于y的一元二次方程ky2-4y-3=3yH有實根，則k的取值

圍.

6.關于x的一元二次方程幺+g+〃二0有兩個相等實根，則符合條件的

組”、〃的實數(shù)值可以是m二,n=.

8.一個小球豎直上拋的過程中，它離上拋點的距離〃（m）與拋出后小

運動的時間Ns）有如下關系：力二24廣5人經(jīng)過多少時間后，小球離上拋點

距離是16m?

答案

2

4.1或一一

3

7

5.k>——

4

6.0,0,答案不唯一

4

8.f=一財

5

拓展問題教師根據(jù)學生情況選做

總結：

師：這堂課，我們主要學習了一元二次方程的定義以及二次項系數(shù)不

零的易錯點，還有解一元二次方程的三種方法，直接開平方法、配方法、

式法.

其中在推導公式法中，我們得到了根的判別式△二/-4妝的符號可判

一元二次方程根的情況.

相應出示課件中總結內容.

不過同學們認為這三種解方程的方法簡便嗎？

生：簡便（不簡便）

師：下節(jié)課中老師與大家分享一種更為簡便的求解一元二次方程的

法，這節(jié)課就到這里.

【類似性問題】

1.B

2.C

3.B

4.1或-2

3

7

5.k>--且2W0

4

6.0,0,答案不唯一

7.%>-■!■且

7

4

8.r=-?￡4.

5

拓展延伸答案

1.A

2.四：

la

3.解：???關于x的方程W+S+2）x+64=0有兩個相等的實數(shù)根,

???△=（什2）2-4（6力尸0.

則"二T0（舍），岳=2.

???△ABC是等腰三角形，

工三邊分別為。=5、b=2、c=5,△A8C周長為12.

4.

(1)證明：???攵工0,

0是關于x的一元二次方程.

k

VA=(-1)2-4JI(--)=9>0.

k

???方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：由求根公式，得

1±>/9

X=--------

???方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且左是整數(shù)，

*,?左=-1或2=1.

手冊答案

1.B

2.C

3.D

4.3或-1

5.-3,2

6「.-，1<6F<-1

2

7.-

3

8.配方法：(1)芭=-2+6,%2=-2-石；(2)%=9=一6.

9.(1)/w=l,2；(2)當機=1時，x=0；m二2時，X)=0,x2=-5.

10.斜邊長為5夜.

《動態(tài)數(shù)學思維》教案

教材版本：人教版.學

校：,

年九授年月日

師級年級課時間

摒2課時課第二講一元二次方程(二)

時題

本節(jié)重點內容為因式分解法解一元二次方程及一元二次

教材分析方程根與系數(shù)關系的應用.

課程可設計為：第一節(jié)，因式分解法解一元二次方程；第

二節(jié)，一元二次方程根與系數(shù)關系.

其中例1(1)、(2)給出較詳細的十字相乘法解一元二次

方程，教師可應用其講解十字相乘法，(3)、(4)小題可作為

師生互動題目；例3為換元法解高次方程，若時間允許教師可

結合拓展2進行師生互動、生生討論的方式加深對換元法及根

的判別式應用的理解；例5為一元二次方程根與系數(shù)關系的應

用，可進行分組解答.

拓展延伸題目，在教材中不予體現(xiàn)，作為教師在課堂選講

內容.

1.理解并應用因式分解法解一元二次方程；

知識2.理解并應用一元二次方程根與系數(shù)關系求解相應代數(shù)

式的值.

技能

學

學生通過課件導入及教師講解，觀察、思考發(fā)現(xiàn)因式分解

目數(shù)學法解一元二次方程與一元二次方程根與系數(shù)的關系，培養(yǎng)學生

觀察、分析問題的能力以及演繹推理的能力.

標思考

通過利用因式分解法將一元二次方程變形的過程，體會“轉化”“降

問次”的數(shù)學思想方法；通過課件了解數(shù)學家韋達對一元二次方程根與

系數(shù)關系的推導過程.

題解決

情了解由二次向一次的“轉化”思想在解方程中的應用，培養(yǎng)學生

感態(tài)度的學習興趣，據(jù)髀習效率

教學重點：

教學重1.因式分解法解一元二次方程；

2.一元二次方程根與系數(shù)關系.

點、難點教學難點：

1.十字相乘法解一元二次方程；

2.一元二次方程根的判別式與韋達定理的應用.

教學準備動畫多媒體語言課件

第一課時

復備內教學過程

容及討論記

錄

課堂導入

師：上節(jié)課我們已經(jīng)學習了什么是一元二次方程，以及解

一元二次方程的幾種方法，還有如何判斷一元二次方程根的情

況，哪位同學能分別回答下這三個問題呢？

（教師板書相應知識：

1：ax2+bx+c=O（a^O）；

2：直接開平方法、配方法、公式法；

3：△=b>~^ac.

生1：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程，叫做一元二次方程，其一般形式為辦2+打+。=0（存0）.

生2：解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、

公式法.

生3：△大于零時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

△等于零時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，△小于零時,

一元二次方程沒有實數(shù)根.

師：這三位同學回答的都非常好，掌聲鼓勵一下.

生：（鼓掌）

師：通過上節(jié)課的學習，同學們也都了解了，在解一元二

次方程時無論是直接開平方法還是配方法，我們都遵循一個

方式，那就是將二次降為一次，那除了這兩個方式外，我們還

有其他更簡便的方式可以實現(xiàn)降次的目的嗎？下面請同學們看

一下導入中的題目.

知識導引讀題

如圖，在△A5C中，NB=90°,點尸從點A開始，沿

邊向點8以lcm/s的速度移動，點。從點3開始，沿8C邊向

點C以2cm/s的速度移動，如果4B=6cm,BC=12cm,P、Q分

別從A、B點同時出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

r

解：設，秒后△PB。的面積等于8cm2,則8片6-r,BQ=2t,

SNBQ=LBP?BQ=LX(6-r)X2尸8,

22

整理得尸-6什8=0,

解得片2,后4,

答：2秒或4秒后△尸8Q的面積等于8cm2.

師：如果我們設，秒后△P8Q的面積等于8cm2,那如何建

立相應的方程呢？

生：此時3P=6-z,BQ=2f,△P5Q的面積等于;BQ,

也就是

-X(6-r)X2r=8.

2

師：大家同意這個方程嗎？

生：同意.

師：這個方程用什么方法解呢？

生：配方（公式法、因式分解）

若有回答因式分解的可聽取其解答過程

師：看來同學們心中都有自己認同的方式求解了，那誰可

以最迅速的求解其根呢？（聽取不同方式求解，導出因式分解

法）

師：將上面的方程整理為3-6什8=0后，能不能轉化為

（Z-2）（r-4）=0.

生：可以.

師：是的，這樣將產(chǎn)-6什8=0轉化為（卜2）（，-4尸0,在求解該

一元二次方程要比我們應用配方法或公式法簡便的多，那老師

是通過什么方法將Z2-6什8=0轉化為“-2）（，-4）=0的呢？有的同學

已經(jīng)回答出來了，就是因式分解法，我們可通過提公因式、平

方差、完全平方公式以及十字相乘法將一元二次方程達到降次

的目的，這就是我們本節(jié)所要學習的--因式分解法解一元二次

方程，用因式分解法解一元二次方程中最為常見、最為重要的

非十字相乘法莫屬.

十字相乘云解一元二次方程的過程：

孫一元二次方程ax3+bx+c=O（a00）

1

ayx'x.a^x-ivcc\xc9=c

<—?。貳乂。=0,^=2,/2=4）

,t（aixxca）+（a?rxci）=/>x

注1

一元二次方理aia+fer+cuOta#。）可因式分解為（“iK+ciJ（ajx+c2）=0

BP“ix+ci=O或。4+。2=。，

解得-=-￡L.X2=-d.

Oi

教師講授十字相乘法：

對于一元二次方程"2+公+-0來說，如果二次項能夠

寫成a\xXa2X=ax2

常數(shù)項可表示為ClXC2=C,且（41XXC2）+（a2XXC|）二bx

時，那么這個一元二次方程可分解為(4[X+Cl)(a2X+C2)=0，我

們把這種因式分解的方法叫做十字相乘法，下面我們通過

兩個題目來具體學習這種因式分解的方法.

出示例1

教師利用(1)(2)鞏固加深對十字相乘法的學習，(3)

(4)可作為師生互動題目，請學生板書，教師巡視其他

學生解答情況.聽取學生匯報分解情況及答案

例1

(1)2X2+15X+7=0(2)6戶11廠10=0

(3)5x+7x-6=0(4)5y+23y-10=0

答案：

(1)(x+7)(2x+l)=0(2)(2y-5)(3y+2)=0

(3)(x+2)(5廠3)=0(4)(y+5)(5y-2)=0

師總結：對于需要求解根的一元二次方程來說，我們應

用的方法應該是由簡單到復雜，也就是先思考是否能夠通過因

式分解的方法求解，如果不可以，我們在考慮配方法或公式法.

對于數(shù)字系數(shù)的一元二次方程我們可應用十字相乘這種

方法，那對于含有參數(shù)系數(shù)的二次方程，是不是也可以應用十

字相乘這種因式分解的方法呢？

出示例2

例2已知f+3孫-4y=0(yW0),試求。的值.

x+y

學生思考，教師提問其因式分解結果，并點評

師：對于一些高次的方程來說，我們該如何求解呢？

出示例3

例3為解方程(￥—1)2—5(￥—1)+4=0,我們可以將￥—1視

為一個整體，然后設1=)，,

則＞2=("—1產(chǎn)，原方程化為產(chǎn)―5丫+4=0,解此方程，得y=l,

V=4.

2

當y=l時，X—1=1,X2=2,.*.x=±V2.

當y=4時，x2—1=4,X2=5,.*.X=±V5.

；?原方程的解為w=-42,X2=V2>X3——后,X\=V5.

以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉化的思想.

(1)運用上述方法解方程：X-3X2-4=0.

(2)既然可以將f-i看作一個整體，你能直接運用因式分

解法解這個方程嗎？

請學生解釋例3題目中的方法請一名同學為大家講解一下

題目中的方法.

生：將V—1看成一個整體，設l=y,原方程化為y2

—5y+4=0,因式分解為(y-l)(y-4)=0,也就是9—1=1或/

-1=4,這樣就可以解得

Xi=—>/2,X2=V2,X3=-V5,XA=.

師：(表揚)這就是對于高次方程的求解方法一換元法，通

過換元的方式達到了降次的目的.下面同學們思考(1)(2)問題,

一會請兩名同學到前面板書.(請學生黑板演練)

教師點評總結：1.了解換元的目的：一,簡化方程形式，二.

降次

2.對于類似上面題目中的兩種形式的高次方程來說，我們都

可應用換元法達到降次的目的，進而求解方程的根.

鞏固練習1、2、4、7.

1.下列方程底一3彳-1=0,5f—7x+2=0,13f—15x+2=0

中，有一個公共解是()

A.x=-2B.x=2C.x=lD.x=~l

2,方程5x(x+3)=3(x+3)解為()

A.x\=-1明=3B.x=—

55

C.X\———>X2=-3D.Xi——?X2=-3

55

4.方程(2y+l)2+3(2)，+l)+2=0的解為.

7.解下列方程：

⑴立一1=0(2)x-4x-21=0；

(3)(x-1)(x+3)=12；(4)(x-l)2-4(x-l)-21=

0.

答案：I.C.2.D.4.y-l,y=--

1=22

7.(1)；(2)%)=-3,x2=7：

(3)%=-5,x2=3；(4)%=-2,x2=8.

練習題目處理方式

1.學生獨自處理，教師巡視檢查前面例題處理情況；

2.板書演練(第7題).

課堂休息

(教師利用課間休息時間對一些知識掌握不好的學生要有

一些必要的關注)

第二課時

復備內容及討論教學過程

記錄

直接出示例4,學生獨自完成，匯報答案

例4

(1)利用配方法證明：無論x為何值，二次三項式-。-況2恒為負;

(2)根據(jù)(1)中配方結果，二次三項式-V—2尸2有最大值還是最小值

最值是多少？

(3)求代數(shù)式/+10尸3的最值.

教師總結：利用配方法和平方數(shù)的非負性求最值問題.

師：上節(jié)課我們學習了應用因式分解法解一元二次方程，其中最為重

的一種因式分解法一十字相乘.對于一元二次方程了來說，我們不得不提到

位偉大的數(shù)學家，下面各位同學和老師一起認識一下這位偉大的數(shù)學家.

出示課件導入動畫

師：同學們知道是哪位數(shù)學家了嗎？

生：韋達.

師：那對于這位代數(shù)學之父發(fā)現(xiàn)的為+電=-2,我們稱之為“

aa

元二次方程根與系數(shù)的關系”也可稱為“韋達定理”，他是如何證明的呢

哪位同學可以重新為大家解釋一下呢？

生：通過公式法得到的兩個實數(shù)根，之后兩根進行和與積.

師：總結的很好，同學們自己在重新推導下.(下面巡視推導情況:

每位同學推導的都非常好，那對于韋達定理都有什么樣的應用呢？

同學們一起看看例5

出示例5

2

例5若即，彳2是一元二次方程ax+bx+c=0的兩根，則有x1+x2=--

?明二￡.這是一元二次方程根與系數(shù)的關系，我們可以利用它來解題.

a

例如，已知即，也是方程/+6%-3=0的兩根，求修2+才的值.

解法如下：

?即+用=一6,X1X2——3,

2222

XI+X2=Ui+x2)-2xtX2=(-6)-2X(-3)=42.

若有，“2是方程丁+2廠2007二0的兩個根，試求下列各式的值：

-

(1)；(2)—I—；(3)(Xi5)(5)；(4)|x1~x21.

X”

分兩組解答前3個問題

師：應用題目中的方法，分左右兩組解答第(1)、(2)、(3)小問，先解

完成的組舉手示意老師.

教師巡視各組情況，并聽取答案匯報

教師總結：通過題目中對加2+用2變形，我們可以看出，在利用韋達定

求解相應的代數(shù)式的值時，要分兩步進行，首先要確定該一元二次

程有兩個實數(shù)根，比如例題中的兩個方程，我們都可通過根的判別式驗證

方程有兩個實數(shù)根.之后將所求代數(shù)式轉化為只含有為+明與X出的代

式，比如我們將轉化為化|+電)2-2工即那對于第(4)小問中

|%-4|如何轉化為只含有為+電與的代數(shù)式呢？

生：可以先將|%-%?平方在開方，也就是-/)2=+占)2-4尤/

師：按著A同學的方法，大家快速的求解出|%-91的值.

生：匯報答案

答案：(1)4018(2)二一(3)-1972(4)4>/502

2007

師：應用韋達定理，可以不用求出一元二次方程根的具體值，就可以得到

與系數(shù)之間的關系.同樣，也可以通過兩根和、積直接求得一元二次方程

的系數(shù).

鞏固練習3、5、6、8

3.若西是方程2--6#3二0的兩個根，則的值為()

須x?

19

A.2B.-2C.-D.-

22

5.已知關于x的方程d-4x+hl=0的兩根之差等于6,那么右_

6.已知方程9+〃7工+12=0的兩實根是4和x29方程丁-加戶〃=0的

實根是修+7和々+7,則m=,片.

8.在解方程/+〃/夕=0時，小張看錯了p,解得方程的根為1與-3

小王看錯了4，解得方程的根為4與-2。這個方程的根應該是什么？

答案:3.A；5.-4；6.7,12；8.xj=-l,X2=3.

課堂總結：

本節(jié)課，主要學習了兩個知識點，一是因式分解法求一元二次方程樸

其中十字相乘是因式分解法中重要的應用手段.二是韋達定理的應用，在

用韋達定理時，要特別注意其前提條件為該一元二次方程必須要有實數(shù)粒

答案：

【類似性問題】

1.C

2.D

3.A

/13

4.y=_1,%=一耳

5.~4

6.7,12

7.(1)；%=—(2)x,=—3,X2=7；(3)Xj=—5,x2=3；(4)

x[=-2,x2=8.

8.p=—2,q=—3.

拓展延伸答案

1.解：原方程化為f作一力）=0,

因式分解，得氏-（二+Q]二0,

U）u）

拓展：f+二+」=0化為+fx--l+2=o,

x~xX)vX)

令(x」卜y,原式化為y2+y+2=O.

△=l-8=-7<0,

??.方程>2+)，+2=0無實數(shù)根，

人-’的值不存在.

x

3.C.

手冊答案

1.B

2.A

3.B

4.=-7,X2=4

5.玉=-2,Xj=--

6.X]=m,々=n

7.37

,3

8.(1)x}=-l,x2=3；(2)Zj=--,/2(3)j]=0,y2=3；(4)

%=2>/2—3?x,=0.

9.m=-l,片17(舍).

10.(l)av-21；(2)不會，因為兩根之和是10>0,而如果兩根都為負根,

則兩根之和為負數(shù)，矛盾.

《動態(tài)數(shù)學思維》教案

教材版本：人教版.學

校：.

年九授年月日

師級年級課時間

偶2課時課第三講一元二次方程的應用

時題

本節(jié)重點內容為建立數(shù)學模型，找相等關系，列一元二次

教材分析方程.

例題類型為增長、下降率問題，利潤問題，幾何圖形問題，

數(shù)字關系問題等.

例4以師生互動的方式與導入題目共同講解，例2需進行

多種情況討論，可分組生生互動，但在建立面積等式時難度較

大，例5也可作為分組生生互動題目.

拓展延伸題目，在教材中不予體現(xiàn)，作為教師在課堂選講

內容.

1.會根據(jù)具體問題（增長、下降率問題，利潤問題，幾何

知識圖形問題，數(shù)字關系問題等）中的數(shù)量關系列一元二次方程并

求解；

技能2.熟練應用一元二次方程解決實際問題.

學

經(jīng)歷自主探究、獨立思考、合作交流的過程，提高分析問

目數(shù)學題、解決問題的能力.

標思考

通過建立相應的數(shù)學模型，尋求相應的等量關系列一元二

問

次方程.

題解決

感受數(shù)學來源于生活，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)

情學生的學習熱情.

感態(tài)度

教學重點：

教學重建立數(shù)學模型，找相等關系，列方程.

教學難點：

點、難點審題，找相等關系列方程.

教學準備動畫多媒體語言課件

第一課時

復備內教學過程

容及討論記

錄

課堂導入

前兩節(jié)課學習了一元二次方程的相關知識，從而熟悉了一元

二次方程根的情況，也掌握了解一元二次方程根的方法，本節(jié)課，

我們將深入研究一元二次方程在實際問題中有哪些的應用，同學

們跟隨老師一起通過課件中的內容了解下.

出示課件導入題目

某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件,每件盈

利40元,為了擴大銷售,增加利潤,盡量減少庫存,商場決定采取

適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場平均

每天多售出2件,若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應降

價多少元？

解:設每件襯衫降價x元，

根據(jù)題意可列方程：(40-x)(20+2x)=1200.

方程化簡整理為：/一30戶200:0.

解得：為二20或E二10.

答:每件應降價10元或20元時，商場每天要盈利1200元.

授課過程題目分析：

1.通過題目中所列方程(40-x)(20+2x)=1200,提出問題師

生互動：

所列方程正確與否；

請學生談談自己的思路，重點分析40-A與20+2x的來源與

各代表的意義；

請學牛逃誅所得結論星否正確.并涌說白己的相法.

加降價導致所增銷量

原銷售量、

2總利解單婚潤X銷露「裱價導致所減"并將其

擴展為原利潤

yN

所漲價格所降價格

師：通過此題，相信同學們對求解利潤問題有了一定的了解，

接下來，我們一起看下例4.出示例4

例4某西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，

以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克。為了促銷，該

經(jīng)營戶決定降價銷售。經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，這種小西瓜每降價0.1元/

千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共

24元。該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，則應將每千克的小型西瓜

的售價降低多少元？

師：A同學，為大家讀一下這個題目，其他同學認真思考.

生：讀題

師：哪位同學可以應用上面的圖示，為大家解釋這個題目

呢？

生：首先設降低X元，之后原來的利潤是1元，現(xiàn)在的利潤

就是1-X元，又因為每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克,

那降低x元后，就應該是±X40+200,這是現(xiàn)在的銷售量，最

0.1

后就可以列出方程

(200+—X40)(3-2-x)-24=200.

0.1

師：他解釋的好不好？

生：好.

師：大家快速的求解一下這個方程.

生：Xi=0.3或%2=0.2.

師：是降價0.3元或0.2元，都可以嗎？

生：是(不是).

師：請不同回答的兩位學生解釋自己的答案.之后點評指正

師：回答可降價0.2元的同學，一定沒有注意到題目中“為

了促銷”四個字，是不是？

師：如果最后的問題不是“售價降低多少元”，改為“售價

多少元”，那又該如何設未知量呢？

生：設售價x元(還是設降低x元).

師：哪種設未知量的方式比較好呢？

生：設降低X元比較好.

師：為什么呢？

生：設降低X元時，對降價后的單件利澗與銷售總量表示起

來比較簡便.

師：回答的非常好，大家掌聲送給他，在解實際問題中，一

般我們設未知量有兩種方式，一種是直接設元，也就是設售價X

元，還有一種是間接設元，也就是設降低X元，對于不同的題目，

我們所選擇設元的方式也有不同，具體用哪個，要分析哪種更有

利于表示其他的量.顯然，對于這樣類型的利潤問題，設降低X

元比較簡便.再有，對于我們所求得的方程的解，需要滿足實際

問題的要求，比如題目中有特殊說明“盡量減少“為了促銷”

時，都要對方程的解進行篩選.

師：下面請同學們看下例3,稍后請同學回