2024-2025學(xué)年海南省海口市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題1（附解析）

2024-2025學(xué)年海南省海口市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．若是方程的解，則（

）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．5．某人參加抽獎(jiǎng)游戲，現(xiàn)有三疊外形、大小、圖案均相同的卡片，分別有10張、15張、20張，若每疊中有2張中獎(jiǎng)卡片，則隨機(jī)選擇一疊卡片抽取，中獎(jiǎng)的概率是（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）.A． B．C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊作角和角，，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)，，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，且?duì)于任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，若方程有且只有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．最大值為2 D．其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱10．若函數(shù)在處取得極大值，則（

）A．，或B．的解集為C．當(dāng)時(shí)，D．11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為C．關(guān)于方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知f(x)是定義在上的奇函數(shù)，且．若，則；．13．已知，，，則.14．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則；若無(wú)極值點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，分別求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的值；(2)設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)應(yīng)邊分別是，，，且，，，求的面積．16．如圖，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面與平面交于.(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.17．某試點(diǎn)高校?？歼^(guò)程中筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)近似服從正態(tài)分布.其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體.(1)假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少?(2)若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望.(3)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為、、、設(shè)這4名學(xué)生中通過(guò)面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則：；；.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若，求k的值；(3)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.19．定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設(shè)橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標(biāo)系原點(diǎn))，試解決下列問(wèn)題：（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；（2）設(shè)直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于兩點(diǎn)，求的值；（3）設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)總在某個(gè)定圓上，并寫出該定圓的方程.

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意可得：，，所以.故選：D.2．【正確答案】C【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性原理即可求出解的區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是，即．故選：C.3．【正確答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，利用單調(diào)性得時(shí)，時(shí)，即有時(shí)最小，進(jìn)而求最小值.【詳解】由題設(shè)，令，可得，又，故時(shí)，時(shí)，所以時(shí)最小，即最小為.故選：C4．【正確答案】C【詳解】解：由題可知，的定義域?yàn)椋?，∴fx又，排除D，故選：C．5．【正確答案】C【詳解】記事件在第疊卡片中抽獎(jiǎng)，，事件中獎(jiǎng)，則，．由全概率公式可得．故選:C.6．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以解得，所以，所以可得，解得.故選:B.7．【正確答案】B【詳解】由題意可得，，則，由可得，即，解得，即，又，則時(shí)，.故選：B8．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又是偶函數(shù)，所以，所以是以為周期的周期函數(shù).令，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，作出與的圖象，由圖可知，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，作出與的圖象，因?yàn)榉匠逃星抑挥?個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程在0,+∞上有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即與的圖象在0,+∞上有且只有3個(gè)交點(diǎn)，由圖可得，，解得.綜上，.故選：C.9．【正確答案】AD【分析】首先根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后根據(jù)選項(xiàng)，依次判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的最大值是，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選：AD10．【正確答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，由題，則，因在處取得極大值，則或.當(dāng)時(shí)，，令；.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令；.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，滿足題意；則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A可知，，則.故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)，則，則，由A分析，在0,1上單調(diào)遞增，則，故C正確；D選項(xiàng)，令，由A可知，.則，又，則，故D正確.故選：BCD11．【正確答案】ABD【分析】對(duì)A：利用對(duì)稱性直接求得；對(duì)B：根據(jù)對(duì)稱中心與對(duì)稱軸可得周期表達(dá)式，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)求出函數(shù)的最小正周期，即可判斷；對(duì)C：先判斷出周期，結(jié)合周期越大，的根的個(gè)數(shù)越少，解出在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可判斷；對(duì)D：由題意分析，建立關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)滿足.對(duì)A：因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以函?shù)的一條對(duì)稱軸方程為.又為一個(gè)對(duì)稱中心，由正弦圖像和性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期滿足，即.又在區(qū)間上單調(diào)，故，即，故，故B正確；對(duì)C：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，可得，所以周期，又周期越大，的根的個(gè)數(shù)越少.當(dāng)時(shí)，，又，，得.所以在區(qū)間上有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，或，或，故至多3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，解得，且滿足，即，即，所以，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】由，得函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)是周期的函數(shù)，所以，故，.13．【正確答案】【詳解】因，，，故，，故，，則.故14．【正確答案】0或；.【詳解】,所以切線為,即,又因?yàn)榕c相切，所以只有一個(gè)解，當(dāng),,只有一個(gè)解符合題意，當(dāng)a不為零時(shí)，符合題意，所以或；無(wú)極值點(diǎn)，則無(wú)零點(diǎn)，無(wú)根，或,解得或,所以.故答案為或；.15．【正確答案】(1)最大值0，此時(shí)；最小值，此時(shí)；(2)或.【詳解】（1），，因?yàn)?，有，所以，的最大?，此時(shí)，的最小值，此時(shí)；（2），所以，由為三角形內(nèi)角得，因?yàn)?，，由余弦定理得，解得或，由，得?16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫媾c平面交于，平面，所以；（2）取中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，，所以是等邊三角形，由三線合一得：，又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故三線兩兩垂直，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)榍矣桑?）知，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又平面的一個(gè)法向量可取，所以，設(shè)二面角的大小為，由題意為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)分；(2)5；(3)分布列詳見解析；【詳解】（1）由，又的近似值為76.5，的近似值為5.5，所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是（分）（2）由，可得，即從所有報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生筆試成績(jī)高于76.5的概率為所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故（3）X的可能取值為，，，，，，所以X的分布列為X01234P所以18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以切線的斜率為，又因?yàn)?，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，與不符；當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，設(shè)，則，由，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以有唯一解，且.（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)且時(shí)，，則.?。ǎ?，所以，所以，，，所以.所以所以于是對(duì)于任意正整數(shù)n，，只需，又因?yàn)椋?，則m的最小值為.19．【正確答案】（1）；（2）；（3）證明見詳解，定圓的方程為.【分析】（1）由協(xié)同圓的定義，結(jié)合橢圓方程的參數(shù)寫出協(xié)同圓圓的方程；（2）討論直線的斜率存在和不存在兩種情況：斜率不存在時(shí)，直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；斜率存在時(shí)，設(shè)聯(lián)立橢圓方程，由切線的性質(zhì)確定判別式符號(hào)，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；（3）設(shè)，則，討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在，分別求，，，由等面積法求，即可證結(jié)論，并寫出定圓方程.【詳解】（1）由橢圓，知，根據(jù)協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓；（2）設(shè)，則，直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，若，由解得此時(shí).若，同理得：；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，由得，有，又直線是圓的切線，故，可得，∴，則而，∴，即.綜上，恒有；（3）是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，設(shè)，則，直線：有