2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（5分）若，則＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．（5分）已知半徑為2的圓O上有兩點C，D，，設向量，，若，則實數(shù)m的值為（）A．6 B．3 C．1 D．﹣13．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n B．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β4．（5分）若函數(shù)f（x）＝ln（ex+1）﹣ax是偶函數(shù)，則曲線y＝f（x）在x＝0處的切線斜率為（）A． B．0 C． D．5．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，C1D1的中點，則異面直線EF與B1C所成角的余弦值是（）A． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x+acos2x的圖象關于點對稱，若f（x1）f（x2）＝﹣2，則a|x1﹣x2|的最小值為（）A． B．π C． D．7．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，，若成立，則n的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．108．（5分）在體積為的三棱錐A﹣BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD＝，∠BCD＝，若點A，B，C，D都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．12π B．16π C．32π D．48π二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求）（多選）9．（6分）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的命題是（）A．在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B B．若，b＝2，，則△ABC有兩個解 C．若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形或直角三角形 D．若，則角（多選）10．（6分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，，設bn＝a2n，記數(shù)列{an}的前2n項和為S2n，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則下列結論正確的是（）A．a3＝4 B． C． D．（多選）11．（6分）如圖，棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，F(xiàn)為正方形CDD1C1內一個動點（包括邊界），且B1F∥平面A1BE，則下列說法正確的有（）A．動點F軌跡的長度為 B．平面A1BE截正方體所得的截面圖形的面積為9 C．存在F點，使得B1F⊥A1B D．若P為CD的中點，以點P為球心，為半徑的球面與四邊形ACC1A1的交線長為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。將答案寫在答題卡上相應的位置）12．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，側面積為2π，則此圓錐的體積是．13．（5分）已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1a5＝4，則log2a1+log2a2+?+log2a5＝．14．（5分）已知正四面體ABCD中，AB＝1，P1，P2，…，Pn在線段AB上，且|AP1|＝|P1P2|＝?＝|Pn﹣1Pn|＝|PnB|，過點P1作平行于直線AC和BD的平面，該平面截正四面體ABCD的截面面積為an，則an＝；若，則數(shù)列{anbn}的最大項為．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD，點M是PC的中點．（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；（2）求平面MBD與平面PBD夾角的余弦值．16．（15分）已知函數(shù)，在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域；（2）求角C；（3）若，求△ABC的面積．17．（15分）已知函數(shù)，a∈R．（1）當a＝1時，求f（x）的單調區(qū)間和極值；（2）若?x∈R，f（x）≤ex﹣1，求a的取值范圍．18．（17分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是CD的中點，如圖所示，沿BE將△BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE⊥平面ABCD．（1）證明：BF⊥AE；（2）已知在線段BD上存在點P（點P與點B，D均不重合），使得PF與平面DEF所成的角的正弦值是．①求的值；②求點P到平面DEF的距離．19．（17分）我們知道，在平面內取定單位正交基底建立坐標系后，任意一個平面向量，都可以用二元有序實數(shù)對（a1，a2）表示．平面向量又稱為二維向量，一般地，n元有序實數(shù)組（a1，a2，?an）稱為n維向量，它是二維向量的推廣，類似于二維向量，對于n維向量，可定義兩個向量的數(shù)量積，向量的長度（模）等：設，則．已知向量滿足an＝n，向量滿足．（1）求的值；（2）若，其中．（i）求證：；（ii）當n?2且n∈N*時，證明：．

答案與試題解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（5分）若，則＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【正確答案】A【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．解：由，得z＝（z﹣1）（1+i）＝（1+i）z﹣1﹣i，則iz＝1+i，即z＝．則．故選：A．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎題．2．（5分）已知半徑為2的圓O上有兩點C，D，，設向量，，若，則實數(shù)m的值為（）A．6 B．3 C．1 D．﹣1【正確答案】C【分析】由平面向量的數(shù)量積運算計算即可求得．解：由題可得，，因為，，且，所以＝＝4﹣2（m+2）+8m＝6m＝6，解得m＝1．故選：C．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題．3．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n B．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β【正確答案】D【分析】根據(jù)空間中各要素的位置關系，逐一判斷即可．解：若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m與n異面，∴A選項錯誤；若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n可以成任意角，∴B選項錯誤；若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β，∴C選項錯誤；若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β，∴D選項正確．故選：D．【點評】本題考查空間中各要素的位置關系，屬基礎題．4．（5分）若函數(shù)f（x）＝ln（ex+1）﹣ax是偶函數(shù)，則曲線y＝f（x）在x＝0處的切線斜率為（）A． B．0 C． D．【正確答案】B【分析】由偶函數(shù)的定義可得f（﹣x）＝f（x），求導可得：f′（﹣x）＝﹣f′（x），利用特殊值可得f′（0）＝0，則答案可求．解：由f（x）＝ln（ex+1）﹣ax是偶函數(shù)，得f（﹣x）＝f（x），求導可得f′（﹣x）＝﹣f′（x），令x＝0，可得：f′（﹣0）＝﹣f′（0），則有f′（0）＝0，即曲線y＝f（x）在x＝0處的切線斜率為0．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義，涉及函數(shù)奇偶性的性質，是中檔題．5．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，C1D1的中點，則異面直線EF與B1C所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】法一：利用坐標法可得異面直線夾角余弦值；法二：根據(jù)異面直線夾角的定義可得角．解法一：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，C1D1的中點，以D為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝2，則E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），從而，，故cos＜＞＝＝﹣，即異面直線EF與B1C所成角的余弦值是；解法二：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，C1D1的中點，取AA1中點G，連接EG，F(xiàn)G，D1G，D1E，如圖，由正方體可知EG//B1C，則異面直線EF與B1C所成角即為直線EF與EG所成角，設AB＝2，則，，由正方體可知，D1F⊥平面AA1D1D，即D1F⊥D1G，D1F⊥D1E，則，在△EFG中，由余弦定理，則直線EF與EG所成角的余弦值為，即異面直線EF與B1C所成角的余弦值為，故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．6．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x+acos2x的圖象關于點對稱，若f（x1）f（x2）＝﹣2，則a|x1﹣x2|的最小值為（）A． B．π C． D．【正確答案】D【分析】利用輔助角公式化簡f（x）＝sin2x+acos2x，結合其圖象關于點對稱，可推出輔助角φ的表達式，結合其意義求得a的值，再利用f（x1）?f（x2）＝﹣2結合函數(shù)最值以及周期，即可求得答案．解：由題意得，（），由于函數(shù)f（x）＝sin2x+acos2x的圖象關于點對稱，故，可得，由于tanφ＝a，故，故，可得最小正周期為，由于f（x1）f（x2）＝﹣2，故f（x1），f（x2）中的一個為函數(shù)最大值，另一個為最小值，即a|x1﹣x2|＝|x2﹣x1|的最小值為．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的關系式的求法，正弦型函數(shù)的性質的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．7．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，，若成立，則n的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【正確答案】B【分析】對數(shù)列的遞推式兩邊取倒數(shù)，由等差數(shù)列的定義和通項公式，求得an，再由數(shù)列的裂項相消求和，結合不等式的解法，可得所求最大值．解：數(shù)列{an}滿足，，可得＝+1，可得數(shù)列{}是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，即有＝3+n﹣1＝n+2，即an＝，a1a2a3...ana＝××......??＝＝2（﹣），可得a1+a1a2+a1a2a3+...+a1a2a3...an＝2（﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝2（﹣）＝1﹣，由，可得≥，解得n≤6，即所求n的最大值為6．故選：B．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義、通項公式，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．8．（5分）在體積為的三棱錐A﹣BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD＝，∠BCD＝，若點A，B，C，D都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．12π B．16π C．32π D．48π【正確答案】A【分析】根據(jù)題意易知三棱錐A﹣BCD的外接球的球心O為DC中點，設球O的半徑為R，再根據(jù)三棱錐的體積建立方程求出R，最后根據(jù)球的表面積公式，即可求解．解：如圖：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴三棱錐A﹣BCD的外接球的球心O為DC中點，設球O的半徑為R，則DC＝2R，又∠ACD＝，∠BCD＝，∴DB＝CB＝R，AD＝R，AC＝R，過A作AH⊥DC于H，∴AH＝＝＝，又平面ACD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD，∴三棱錐A﹣BCD的體積為＝＝，解得R＝，∴球O的表面積為4πR2＝12π．故選：A．【點評】本題考查三棱錐的外接球問題，屬中檔題．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求）（多選）9．（6分）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的命題是（）A．在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B B．若，b＝2，，則△ABC有兩個解 C．若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形或直角三角形 D．若，則角【正確答案】AC【分析】由正弦定理和大邊對大角即可判斷A；由正弦定理結合大角對大邊即可判斷B；由正弦定理計算即可判斷C；由余弦定理化簡即可判斷D．解：對于A，在△ABC中，由正弦定理知，sinA＞sinB?a＞b，結合大邊對大角可得A＞B，故A正確；對于B，因為，b＝2，，所以由正弦定理，得，由b＞c知，C只有一解，所以△ABC有一個解，故B錯誤；對于C，因為acosA＝bcosB，所以由正弦定理得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因為A，B∈（0，π），所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C正確；對于D，因為，所以由余弦定理得：，即，因為B∈（0，π），所以或，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查利用正、余弦定理解三角形，屬于中檔題．（多選）10．（6分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，，設bn＝a2n，記數(shù)列{an}的前2n項和為S2n，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則下列結論正確的是（）A．a3＝4 B． C． D．【正確答案】ABD【分析】計算數(shù)列的前三項，可判斷A；由數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項公式，可判斷B；由數(shù)列的分組求和與錯位相減法求和，可判斷CD．解：由a1＝0，，可得a2＝a1+2＝2，a3＝2a2＝4，故A正確；由a2n＝a2n﹣1+2n＝2a2n﹣2+2n，即為bn＝2bn﹣1+2n，可得＝+1，即有＝b1+n﹣1＝+n﹣1＝n，可得bn＝n?2n，故B正確；由Tn＝1×2+2×4+3×8+...+n?2n，可得2Tn＝1×4+2×8+3×16+...+n?2n+1，上面兩式相減可得﹣Tn＝2+4+8+...+2n﹣n?2n+1＝﹣n?2n+1＝（1﹣n）?2n+1﹣2，可得Tn＝（n﹣1）?2n+1+2，故C錯誤；由a2n＝n?2n，a2n＝a2n﹣1+2n，可得a2n﹣1＝（n﹣1）?2n，S2n＝（a1+a3+a5+...+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+...+a2n）＝（1×2﹣2+2×4﹣4+3×8﹣8+...+n?2n﹣2n）+（1×2+2×4+3×8+...+n?2n）＝2（1×2+2×4+3×8+...+n?2n）﹣（2+4+8+...+2n）＝2Tn﹣＝（n﹣1）?2n+2+4﹣（2n+1﹣2）＝（2n﹣3）?2n+1+6，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．（多選）11．（6分）如圖，棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，F(xiàn)為正方形CDD1C1內一個動點（包括邊界），且B1F∥平面A1BE，則下列說法正確的有（）A．動點F軌跡的長度為 B．平面A1BE截正方體所得的截面圖形的面積為9 C．存在F點，使得B1F⊥A1B D．若P為CD的中點，以點P為球心，為半徑的球面與四邊形ACC1A1的交線長為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)正方體的性質，針對各個選項即可分別求解．解：如圖，分別取CC1，C1D1的中點M，N，連接MN，ME，B1M，B1N，則易知MN∥CD1，CD1∥A1B，∴MN∥A1B，又MN?平面A1BE，A1B?平面A1BE，∴MN∥平面A1BE，又易得ME∥A1B1，ME＝A1B1，∴四邊形A1B1ME是平行四邊形，∴B1M∥A1E，又B1M?平面A1BE，A1E?平面A1BE，∴B1M∥平面A1BE，又B1M∩MN＝M，B1M，MN?平面A1MN，∴平面B1MN∥平面A1BE，∴當F∈MN時，B1F∥平面A1BE，即線段MN為點F的軌跡，顯然，∴A選項正確；如圖，取CD中點F，連接EF，BF，CD1，則由A1B∥D1C∥EF，可得平面A1BE截正方體所得的截面為梯形A1BFE，又A1E＝BF＝，EF＝，A1B＝，∴等腰梯形A1BFE的面積為＝18，B選項錯誤；連接C1D，AB，易知A1B⊥AB1，AD⊥平面ABB1A1，又A1B?平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，又AD∩AB1＝A，AD，AB1?平面ADC1B1，∴A1B⊥平面ADC1B1，設MN∩平面ADC1B1＝F（即C1D與MN的交點為F），此時B1F?平面DAB1C1，∴A1B⊥B1F，∴C選項正確；如圖，設AC∩BD＝G，取CG中點H，連接HP，則易知P到平面ACC1A1的距離為PH＝＝，又球的半徑為，∴以點P為球心，為半徑的球面被平面ACC1A1截得的小圓的半徑為＝2，又矩形ACC1A1中，AC＝，CC1＝4，∴所求交線長為：矩形ACC1A1中，以H為圓心，2為半徑的圓弧，易知該圓弧對應的圓心角為，∴該圓弧長為＝，∴D選項正確．故選：ACD．【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，屬中檔題．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。將答案寫在答題卡上相應的位置）12．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，側面積為2π，則此圓錐的體積是．【正確答案】．【分析】由圓錐的側面積公式可求出母線長，再求出圓錐的高，由圓錐的體積公式即可得出答案．解：設圓錐的高為h＝SO，母線長為l，半徑r＝1，因為圓錐的底面半徑為1，側面積為2π，所以，所以l＝2，所以，所以圓錐的體積是．故．【點評】本題主要考查圓錐的側面積及體積的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．13．（5分）已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1a5＝4，則log2a1+log2a2+?+log2a5＝5．【正確答案】5．【分析】根據(jù)已知條件，結合等比數(shù)列的性質，求出a3＝2，再結合對數(shù)的運算性質，即可求解．解：數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1a5＝4，則a3＝2，log2a1+log2a2+?+log2a5＝log2（a1a2a3a4a5）＝．故5．【點評】本題主要考查等比中項及其性質，屬于基礎題．14．（5分）已知正四面體ABCD中，AB＝1，P1，P2，…，Pn在線段AB上，且|AP1|＝|P1P2|＝?＝|Pn﹣1Pn|＝|PnB|，過點P1作平行于直線AC和BD的平面，該平面截正四面體ABCD的截面面積為an，則an＝；若，則數(shù)列{anbn}的最大項為7．【正確答案】；7．【分析】第一空：作出截面，然后根據(jù)已知條件判斷出截面為矩形，并求出截面邊長，從而求得面積；第二空：利用函數(shù)的知識可判斷當n≥3時，數(shù)列{anbn}單調遞減，然后結合n＝1，和n＝2時的值即可得解．解：第一空：由題意得，如圖，取BD中點O，連接AO，CO，在正四面體ABCD中，△ABD，△BCD均為等邊三角形，所以AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，AO，CO?平面AOC，所以BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，所以BD⊥AC，如圖，過點P1作P1E∥AC交BC于點E，過點P1作P1F∥BD交AD于點F，連接FG，則P1F⊥P1E，故四邊形P1FGE為截面，且四邊形P1FGE為矩形，由相似知識可知，，故；第二空：因為an＝，，所以anbn＝＝，令f（x）＝（x≥1），則＝，而，所以當x≥3時，6﹣（6x﹣5）ln2＜0，所以f（x）＝在[3，+∞）上單調遞減，即當n≥3時，數(shù)列{anbn}單調遞減，所以，當n≥3時，anbn≤a3b3＝6.5，又a1b1＝2，a2b2＝7，所以數(shù)列{anbn}的最大項為7．故；7．【點評】本題考查了數(shù)列的通項公式，數(shù)列的單調性，數(shù)列的最大項等問題，屬于中檔題．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD，點M是PC的中點．（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；（2）求平面MBD與平面PBD夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解答；（2）．【分析】（1）先證AC⊥平面PBD，再利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系O﹣xyz，分別求出平面BDM和平面PBD的法向量，利用向量法求解即可．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又OP⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴OP⊥AC，又∵BD∩OP＝O，BD，OP?平面PBD，∴AC⊥平面PBD，又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD；（2）由（1）易知OA，OB，OP兩兩垂直，以直線OA為x軸，直線OB為y軸，直線OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，根據(jù)題可知OA＝4，OB＝3，OP＝4，且M為PC中點，∴A（4，0，0），B（0，3，0），D（0，﹣3，0），P（0，0，4），C（﹣4，0，0），M（﹣2，0，2），，，設平面BDM的法向量為，則，∴，∴y＝0，令x＝1，則z＝1，∴＝（1，0，1），易知平面PBD的法向量為，設平面MBD與平面PBD夾角為θ，則＝＝．【點評】本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應用，屬于中檔題．16．（15分）已知函數(shù)，在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域；（2）求角C；（3）若，求△ABC的面積．【正確答案】（1）[0，]；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式化簡得f（x）＝sin（2x+）+，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質，求出f（x）在區(qū)間上的值域；（2）根據(jù)f（）＝，算出sin（C+）＝，結合C為三角形的內角，求出角C的大?。唬?）根據(jù)余弦定理與三角恒等變換公式化簡，可得c2sinAsinB＝3，結合正弦定理推導出absin2C＝3，可得ab＝4，進而利用三角形的面積公式求出△ABC的面積．解：（1）根據(jù)題意，可得f（x）＝sin2x+（1+cos2x）＝sin（2x+）+，當x∈時，2x+∈[，]，可得f（x）的最小值為f（）＝sin+＝0，最大值f（）＝sin+＝1+，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域為[0，]；（2）由（1）得f（）＝sin（C+）+＝，即sin（C+）＝．因為C∈（0，π），C+∈，所以C+＝，可得C＝；（3）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，若，則＝cosC+cosAcosB，因為cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB，所以cosC+cosAcosB＝sinAsinB，可得＝sinAsinB，即c2sinAsinB＝3．由正弦定理，得csinA＝asinC，csinB＝bsinC，所以c2sinAsinB＝absin2C＝3，結合sinC＝，可得ab＝4．所以△ABC的面積S＝absinC＝＝．【點評】本題主要考查三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質、正弦定理與余弦定理等知識，屬于中檔題．17．（15分）已知函數(shù)，a∈R．（1）當a＝1時，求f（x）的單調區(qū)間和極值；（2）若?x∈R，f（x）≤ex﹣1，求a的取值范圍．【正確答案】（1）單調遞增區(qū)間為（﹣∞，0），遞減區(qū)間為（0，+∞）；極大值為﹣1，無極小值；（2）．【分析】（1）將a＝1代入，利用導數(shù)的正負與原函數(shù)的增減關系，確定函數(shù)的單調區(qū)間，即可得答案；（2）由題意可得即恒成立，設，利用導數(shù)求出m（x）的最大值即可．解：（1）當a＝1時，f（x）＝xe﹣x﹣ex，，令g（x）＝1﹣x﹣e2x，則g'（x）＝﹣1﹣2e2x＜0，故g（x）在R上單調遞減，而g（0）＝0，因此0是g（x）在R上的唯一零點，即0是f′（x）在R上的唯一零點，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣f（x）單調遞增極大值單調遞減所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，0），遞減區(qū)間為（0，+∞），所以f（x）的極大值為f（0）＝﹣1，無極小值；（2）由題意知xe﹣x﹣aex≤ex﹣1，即，即，設，則，令m′（x）＝0，解得，當，m′（x）＞0，m（x）單調遞增，當，m′（x）＜0，m（x）單調遞減，所以，所以，所以a的取值范圍為．【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．（17分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是CD的中點，如圖所示，沿BE將△BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE⊥平面ABCD．（1）證明：BF⊥AE；（2）已知在線段BD上存在點P（點P與點B，D均不重合），使得PF與平面DEF所成的角的正弦值是．①求的值；②求點P到平面DEF的距離．【正確答案】（1）證明見解答；（2）①；②．【分析】（1）根據(jù)A