2024-2025學年山東省淄博市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年山東省淄博市高三上學期期中考試數(shù)學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的。請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，則集合B的子集個數(shù)為（）A．7 B．8 C．16 D．322．（5分）已知i是虛數(shù)單位，a∈R，則“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞|cosx|的x的取值范圍是（）A． B．（，]∪（，] C． D．4．（5分）設a＝，b＝，c＝log2（log23），則（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b5．（5分）在等比數(shù)列{an}中，若a1?a5?a12為一確定的常數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則下列各數(shù)為常數(shù)的是（）A．T6 B．T8 C．T10 D．T116．（5分）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B＝sinCsinA+1，且滿足，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．（5分）若正數(shù)x，y滿足xy﹣2x﹣y＝0，則的最小值是（）A．2 B． C．4 D．8．（5分）設函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx，若對任意實數(shù)x∈（0，+∞），f（x）?g（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．φ B．（]∪[1，+∞） C．[） D．[]二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，S1＝32，則下列說法正確的是（）A．{an}是等差數(shù)列 B．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，公差為﹣9 C．當n＝16或n＝17時，Sn取得最大值 D．Sn≥0時，n的最大值為32（多選）10．（6分）在銳角△ABC中，tanB＝3tanC，角A、B、C對邊分別為a，b、c，則下列式子不正確的是（）A．a(chǎn)＝2c?cosB B． C．tanA?tan2C≥ D．若AC上有一動點P，則最小值為（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，其導函數(shù)為f'（x），且對任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，則下列說法正確的是（）A．ef（1）＜f（0） B．ef（1）＞f（0） C．2f（ln2）＜ef（1） D．2f（ln2）＞ef（1）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知函數(shù)存在唯一的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是．13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，則a2024＝．14．（5分）對任意實數(shù)x，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，如[4.2]＝4，[﹣7.6]＝﹣8等．定義{x}＝x﹣[x]，稱它為x的小數(shù)部分，如{3.1}＝0.1，{﹣7.6}＝0.4等．若直線kx+y﹣k＝0與y＝{x}有四個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知向量＝（cosx，﹣sinx），，x∈R．設f（x）＝?．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，若f（∠BAC）＝1，AB＝2，，∠BAC的平分線交BC于點D，求AD長．16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ln（ax+1）﹣x為R上的偶函數(shù)，a＞0且a≠0．（1）求a；（2）求g（x）＝ef（x）在x＝1處的切線方程．17．（15分）已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，S4+5＝5a3．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn＝an?log3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），a∈R．（1）當a＞﹣2時，研究f（x）的單調(diào)性；（2）若a≥0，當x＝x1時，函數(shù)f（x）有極大值m；當x＝x2時，f（x）有極小值n，求m﹣n的取值范圍．19．（17分）若函數(shù)y＝f（x）對定義域上的每一個值x1，在其定義域上都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，則稱該函數(shù)在其定義域上為“依賴函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)g（x）＝sinx在R上是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)f（x）＝2x﹣1在定義域[0，m]上為“依賴函數(shù)”，求實數(shù)m的值；（3）當時，已知函數(shù)h（x）＝（x﹣a）2在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實數(shù)，使得對任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+s﹣2t+4都成立，求實數(shù)s的最大值．

答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的。請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，則集合B的子集個數(shù)為（）A．7 B．8 C．16 D．32【正確答案】B【分析】根據(jù)集合間的關系可解出B，在根據(jù)子集相關知識可解．解：因為集合A＝{﹣1，1，2，3}，則集合B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{1，4，9}，又集合B中有3個元素，則集合B的子集個數(shù)為23＝8個．故選：B．2．（5分）已知i是虛數(shù)單位，a∈R，則“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)相等的條件，求出a的值，即可求解．解：（a+i）2＝2i，則a2+2ai﹣1＝2i，即，解得a＝1，a2＝1，解得a＝1或a＝﹣1，故“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的充分不必要條件．故選：A．3．（5分）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞|cosx|的x的取值范圍是（）A． B．（，]∪（，] C． D．【正確答案】A【分析】由題意可得sinx＞0，討論當x＝時，當0＜x＜時，當＜x＜π時，運用同角的商數(shù)關系，結合正切韓寒說的圖象，即可得到所求范圍．解：由sinx＞|cosx|≥0，可得sinx＞0，再由x∈（0，2π），可得x∈（0，π），當x＝時，sinx＝1，cosx＝0，顯然成立；當0＜x＜時，由sinx＞cosx，即tanx＞1，可得＜x＜；當＜x＜π時，sinx＞﹣cosx，即有＞1，則tanx＜﹣1，解得＜x＜，綜上可得x∈．故選：A．4．（5分）設a＝，b＝，c＝log2（log23），則（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，即可得到本題的答案．解：根據(jù)＝＞＝0.8，可得0.8＜a＜1，由y＝是R上的增函數(shù)，可得＞，即b＞1．因為21.6＝＝＞＝3，y＝log2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，所以log23＜log221.6＝1.6，可得log2（log23）＜log21.6，又因為1.65＜16，可得1.6＜＝＝20.8，所以log21.6＜log220.8＝0.8，可得c＝log2（log23）＜0.8．綜上所述，c＜a＜b，D項符合題意．故選：D．5．（5分）在等比數(shù)列{an}中，若a1?a5?a12為一確定的常數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則下列各數(shù)為常數(shù)的是（）A．T6 B．T8 C．T10 D．T11【正確答案】D【分析】由已知可得a6為常數(shù)，然后結合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．解：因為等比數(shù)列{an}中，a1?a5?a12＝a5?a6?a7＝為常數(shù)，則a6為常數(shù)，又數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則T11＝a1a2…a11＝為常數(shù)．故選：D．6．（5分）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B＝sinCsinA+1，且滿足，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【正確答案】C【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得，再根據(jù)向量數(shù)量積得，則得到，即可判斷三角形形狀．解：由題意得sin2A+sin2C＝sinCsinA+1﹣cos2B，即sin2A+sin2C＝sinCsinA+sin2B，由正弦定理得a2+c2＝ac+b2，即a2+c2﹣b2＝ac，則，因為B∈（0，π），所以，又，所以＝，故，因為，所以．綜上可知三角形為等邊三角形．故選：C．7．（5分）若正數(shù)x，y滿足xy﹣2x﹣y＝0，則的最小值是（）A．2 B． C．4 D．【正確答案】C【分析】由xy﹣2x﹣y＝0得，代入后利用基本不等式即可求解．解：因為正數(shù)x，y滿足xy﹣2x﹣y＝0，所以，則x﹣1＞0，所以，當且僅當，即x＝2時，等號成立．故選：C．8．（5分）設函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx，若對任意實數(shù)x∈（0，+∞），f（x）?g（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．φ B．（]∪[1，+∞） C．[） D．[]【正確答案】D【分析】由題意，討論x∈（0，1）時g（x）＜0，則f（x）≤0，求得a的取值范圍；x∈[1，+∞）時g（x）≥0，則f（x）≥0，求得a的取值范圍，再取它們的公共部分即可．解：函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx，當x∈（0，1）時，g（x）＜0，由題意知f（x）＝ax﹣1≤0，解得a≤，∴a≤1；當x∈[1，+∞）時，g（x）≥0，由題意知f（x）＝2ax﹣1≥0，解得a≥，∴a≥；綜上，實數(shù)a的取值范圍是≤a≤1．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，S1＝32，則下列說法正確的是（）A．{an}是等差數(shù)列 B．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，公差為﹣9 C．當n＝16或n＝17時，Sn取得最大值 D．Sn≥0時，n的最大值為32【正確答案】AC【分析】先根據(jù)已知條件得出數(shù)列是等差數(shù)列，；再根據(jù)an，Sn的關系求出an＝﹣2n+34，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷選項A；根據(jù)可求出S3，S6﹣S3，S9﹣S6即可判斷選項B；利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項C；根據(jù)Sn≥0解不等式即可判斷選項D．解：由，S1＝32可得：數(shù)列是以32為首項，﹣1為公差的等差數(shù)列．則．所以，對于選項A：∵，∴當n＝1時，；當n≥2時，；∵﹣2×1+34＝a1，∴an＝﹣2n+34，∵an+1﹣an＝[﹣2（n+1）+34]﹣（﹣2n+34）＝﹣2，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，故選項A正確；對于選項B：∵，∴，，，∴S6﹣S3＝72，S9﹣S6＝54，則2（S6﹣S3）＝S3+（S9﹣S6），（S6﹣S3）﹣S3＝﹣18，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差數(shù)列，公差為﹣18，故選項B錯誤；對于選項C：∵，n∈N*∴當n＝16或n＝17時，Sn最大，故選項C正確；對于選項D：令，得0≤n≤33，n∈N*，即滿足Sn≥0的最大正整數(shù)n＝33，故選項D錯誤．故選：AC．（多選）10．（6分）在銳角△ABC中，tanB＝3tanC，角A、B、C對邊分別為a，b、c，則下列式子不正確的是（）A．a(chǎn)＝2c?cosB B． C．tanA?tan2C≥ D．若AC上有一動點P，則最小值為【正確答案】ABD【分析】由題設，結合三角恒等變換及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判定B；根據(jù)兩角和的正切公式結合基本不等式可判定C；根據(jù)平面向量數(shù)量積運算結合二次函數(shù)的最值可判定D．解：A項，對于A，tanB＝3tanC，則，即sinBcosC＝3cosBsinC，即sin（B+C）＝sinA＝4cosBsinC，由正弦定理得：a＝4c?cosB，故A項錯誤；B項，由a＝4c?cosB及余弦定理，可得，化簡得2b2＝a2+2c2，由基本不等式知，，當且僅當a2＝2c2，即時等號成立，所以，故B項錯誤；C項，在銳角△ABC中，由，且tan（A+B）＝﹣tanC，整理得tanA?tanB?tanC＝tanA+tanB+tanC，由基本不等式可得：tanA?tanB?tanC＝tanA+tanB+tanC≥，整理得tanA?tanB?tanC≥，當且僅當tanA＝tanB＝tanC時，等號成立，又由tanB＝3tanC，可得＝，故C項正確；D項，過B作BD⊥AC，則CD＝BC?cosC＝acosC，又P在CD之間運動時，與的夾角為鈍角，因此要求?的最小值，P應在CD之間運動，即，又＝＝，所以當時，取得最小值為，故D項錯誤．故選：ABD．（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，其導函數(shù)為f'（x），且對任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，則下列說法正確的是（）A．ef（1）＜f（0） B．ef（1）＞f（0） C．2f（ln2）＜ef（1） D．2f（ln2）＞ef（1）【正確答案】BC【分析】令g（x）＝exf（x），由題意得，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，逐一判斷ABCD即可．解：∵令g（x）＝exf（x），對任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，∴g'（x）＝exf（x）+exf'（x）＝ex[f（x）+f'（x）]＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（0）＜g（1）?f（0）＜ef（1），故A錯誤，B正確；g（ln2）＜g（1）?eln2f（ln2）＜ef（1）?2f（ln2）＜ef（1），故C正確，D錯誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知函數(shù)存在唯一的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，）．【正確答案】（﹣∞，）．【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意f'（x）＝0存在唯一的變號正實根，即（x﹣1）（ex﹣2ax）＝0存在唯一的變號正實根，當a≤0符合題意，當a＞0時參變分離可得沒有除1之外的正實根，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出a的取值范圍．解：因為，x∈（0，+∞），所以，依題意可得f'（x）＝0存在唯一的變號正實根，即（x﹣1）（ex﹣2ax）＝0存在唯一的變號正實根，當a≤0時，ex﹣2ax＞0，方程只有唯一變號正實根1，符合題意，當a＞0，方程ex﹣2ax＝0，即沒有除1之外的正實根，令，則，所以當0＜x＜1時，g'（x）＜0，當x＞1時，g'（x）＞0，即g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝e，所以0＜2a＜e，綜上可得a∈（﹣∞，）．故（﹣∞，）．13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，則a2024＝．【正確答案】．【分析】求得數(shù)列的前幾項，可得數(shù)列{an}是最小正周期為4的數(shù)列，即可得到所求值．解：，可得a2＝2a1﹣1＝﹣1＝，a3＝2a2﹣1＝﹣1＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4＝，a6＝2a5﹣1＝﹣1＝，...，可得數(shù)列{an}是最小正周期為4的數(shù)列，則a2024＝a4＝．故．14．（5分）對任意實數(shù)x，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，如[4.2]＝4，[﹣7.6]＝﹣8等．定義{x}＝x﹣[x]，稱它為x的小數(shù)部分，如{3.1}＝0.1，{﹣7.6}＝0.4等．若直線kx+y﹣k＝0與y＝{x}有四個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（﹣，﹣]∪[，）．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意分析y＝{x}是周期為1的函數(shù)，又y＝﹣k（x﹣1）恒過（1，0）得有4個不同的交點時的k的取值范圍．解：直線kx+y﹣k＝0整理得：y＝﹣k（x﹣1），直線恒過（1，0），如圖所示：當x0≤x＜1時，{x}＝x，又因為y＝{x}是周期為1的函數(shù)，由y＝{x}與y＝﹣k（x﹣1）圖象可知：﹣k∈（﹣，﹣]∪[，），所以k∈（﹣，﹣]∪[，）．故（﹣，﹣]∪[，）．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知向量＝（cosx，﹣sinx），，x∈R．設f（x）＝?．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，若f（∠BAC）＝1，AB＝2，，∠BAC的平分線交BC于點D，求AD長．【正確答案】（1），k∈Z；（2）2．【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運算和三角恒等變換化簡后結合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得；（2）由題可得，再由余弦定理求出AC，再由等面積法建立方程求解即可．解：（1）＝＝，令，k∈Z，則，k∈Z，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z；（2）由題意得：，因為0＜∠BAC＜π，所以，即，所以，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠BAC，即6＝4+AC2﹣2AC，解得，因為∠BAC的平分線交BC于點D，所以S△BAD+S△CAD＝S△ABC，所以＝，所以，解得AD＝2．16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ln（ax+1）﹣x為R上的偶函數(shù)，a＞0且a≠0．（1）求a；（2）求g（x）＝ef（x）在x＝1處的切線方程．【正確答案】（1）a＝e2；（2）．【分析】（1）由偶函數(shù)的定義可得f（﹣1）＝f（1），代入化簡可得a的值．（2）由導數(shù)的幾何意義可得g′（1）是g（x）在x＝1處的切線斜率，進而結合g（1）得到切線的點斜式方程，化簡可得結果．解：（1）因為函數(shù)f（x）＝ln（ax+1）﹣x為R上的偶函數(shù)，所以有f（﹣x）＝f（x），當x＝1時，f（﹣1）＝f（1），即ln（a﹣1+1）+1＝ln（a+1）﹣1，ln（a+1）﹣ln（a﹣1+1）＝2，，解得a＝e2，此的，經(jīng)檢驗，f（x）為R上的偶函數(shù)，所以a＝e2．（2）由（1）得，所以，則，則，又，所以g（x）＝ef（x）在x＝1處的切線方程為，即．17．（15分）已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，S4+5＝5a3．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn＝an?log3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【正確答案】（1）an＝3n﹣1，n∈N*；（2）Tn＝?3n+．【分析】（1）先設等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），再根據(jù)等比數(shù)列的定義及等差中項的性質(zhì)列出關于公比q的方程，解出q的值，進一步根據(jù)S4+5＝5a3代入計算出首項a1的值，即可計算出數(shù)列{an}的通項公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，再運用錯位相減法即可計算出前n項和Tn．解：（1）由題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），∵3a1，a3，5a2成等差數(shù)列，∴2a3＝3a1+5a2，即2a1q2＝3a1+5a1q，∵a1＞0，∴2q2＝3+5q，整理，得2q2﹣5q﹣3＝0，解得q＝﹣（舍去），或q＝3，又∵S4+5＝5a3，∴+5＝5?a1?32，解得a1＝1，∴an＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）可得，bn＝an?log3an+1＝3n﹣1?log33n＝n?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝1?30+2?31+3?32+…+n?3n﹣1，3Tn＝1?31+2?32+…+（n﹣1）?3n﹣1+n?3n，兩式相減，可得﹣2Tn＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n?3n，＝﹣n?3n，＝﹣?3n﹣，∴Tn＝?3n+．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），a∈R．（1）當a＞﹣2時，研究f（x）的單調(diào)性；（2）若a≥0，當x＝x1時，函數(shù)f（x）有極大值m；當x＝x2時，f（x）有極小值n，求m﹣n的取值范圍．【正確答案】（1）f（x）在（﹣2，a）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上單調(diào)遞增；（2）[4e﹣2，+∞）．【分析】（1）對函數(shù)求導并結合a＞﹣2即可判斷出f（x）的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中結論可得m﹣n＝e﹣2（4+a）+aea，構造函數(shù)g（a）并求導得出其單調(diào)性即可求得m﹣n的取值范圍．解：（1）易知函數(shù)f（x）的定義域為x∈R，則f'（x）＝ex（x+2）（x﹣a），又因為a＞﹣2，所以當x∈（﹣2，a）時，f′（x）＜0，當x∈（﹣∞，﹣2）或x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0；因此可得f（x）在（﹣2，a）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，