2024-2025學(xué)年陜西省商洛市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省商洛市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交4．在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，則（

）A． B．C． D．5．已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)：的漸近線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，那么的最小值為（

）A． B． C． D．28．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，、為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為（

）A．10 B．8 C．24 D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則（

）

A．B．平面C．平面與平面的夾角為D．點(diǎn)到平面的距離為10．已知方程表示的曲線(xiàn)為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示橢圓B．存在，使得表示圓C．當(dāng)或時(shí)，曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)D．若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則焦距為11．已知圓，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，直線(xiàn)，則（

）A．直線(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)是B．的最大值是C．圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于D．過(guò)點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．平行線(xiàn)與間的距離為．13．設(shè)、、，，，，且，，則.14．如圖，雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，，為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，若是的角平分線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的離心率是．四、解答題（本大題共5小題）15．（1）求過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的一般式方程；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).16．在①過(guò)點(diǎn)，②圓E恒被直線(xiàn)平分，③與y軸相切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且______.(1)求圓E的一般方程；(2)設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程.17．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．18．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)、，，的長(zhǎng)半軸與的實(shí)半軸之差為，離心率之比為.(1)求這兩條曲線(xiàn)的方程；(2)求曲線(xiàn)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程；(3)若為兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)，求的余弦值.19．已知橢圓的離心率為，焦距為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且.（i）試求、的關(guān)系式；（ii）證明：的面積為定值.

答案1．【正確答案】A【詳解】直線(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角為30°.故選A.2．【正確答案】C【詳解】解：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C3．【正確答案】D【詳解】由，則，半徑，由，則，半徑，所以，即兩圓相交.故選D.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】．故選：D5．【正確答案】A【詳解】由題意知，，，故的過(guò)第一象限的漸近線(xiàn)斜率為，且，又與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率為0，故斜率的取值范圍為．故選：A．6．【正確答案】B【詳解】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量方向分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值等于.故選：B7．【正確答案】C【分析】將用表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)在直線(xiàn)上可知，，當(dāng)時(shí)取得最小值5，故選：C.8．【正確答案】B【詳解】橢圓中，，因?yàn)?、為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，所以，又，故四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為矩形，即⊥，由勾股定理得①，由橢圓定義得②，式子②平方得，結(jié)合①得，故四邊形的面積為.故選：B9．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)可利用線(xiàn)面垂直判定定理證明平面，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)可知A正確；易知平面即為平面，顯然與平交于點(diǎn)，即B錯(cuò)誤；根據(jù)二面角的定義可知即二面角的平面角為，即C正確；利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離為，可得D正確.【詳解】連接，如下圖所示：

對(duì)于A，由正方體性質(zhì)可知，平面，又平面，所以；又因?yàn)槭钦叫危?，又，且平面，所以平面；平面，所以可得，即A正確；對(duì)于B，平面即為平面，又平面，即與平交，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面平面，易知，，所以即為平面與平面夾角的平面角，顯然，即平面與平面的夾角為，可知C正確；對(duì)于D，易知三棱錐與三棱錐的體積相等，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，即，可得，所以；即點(diǎn)到平面的距離為，可得D正確.故選：ACD10．【正確答案】BC【詳解】A、B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)曲線(xiàn)表示圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，則橢圓的焦距，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.11．【正確答案】CD【詳解】

如圖所示，由已知圓，則圓心O0,0，半徑，A選項(xiàng)：圓心到直線(xiàn)的距離，則弦長(zhǎng)為，A錯(cuò)；B選項(xiàng)：可表示點(diǎn)Px0,y易知當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，斜率取得最值，設(shè)斜率，則直線(xiàn)，即，則，解得，所以，其最大值為，B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，，所以圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，正確；D選項(xiàng)：由圓可知圓心，半徑，由切線(xiàn)長(zhǎng)可知，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，取最小值，又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項(xiàng)正確；故選：CD.12．【正確答案】/【分析】利用平行線(xiàn)間的距離公式計(jì)算可得答案.【詳解】將方程兩邊乘以2，得，所以?xún)善叫芯€(xiàn)間的距離為．故．13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椤?、，，，，且，，則，解得，則，由可得，解得，，則，所以，因此.故答案為.14．【正確答案】【詳解】解：由為的中點(diǎn)，且，，可得，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€(xiàn)，即有，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，則，即有在直角三角形中，，即，由，可得，解得或，由于，則．故．15．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線(xiàn)方程可得，解得，故所求直線(xiàn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，，線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，且直線(xiàn)的斜率為，所以，，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①③時(shí)，設(shè)圓的一般式方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)以及相關(guān)條件，根據(jù)待定系數(shù)法，即可確定圓的方程，選擇②時(shí)，根據(jù)幾何法確定圓心和半徑即可求解，（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可求解軌跡方程.【詳解】（1）方案一：選條件①.設(shè)圓的方程為，則，解得，則圓E的方程為.方案二：選條件②.直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).因?yàn)閳AE恒被直線(xiàn)平分，所以恒過(guò)圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓的半徑r＝1，所以圓E的方程為，即.方案三：選條件③.設(shè)圓E的方程為.由題意可得，解得，則圓E的方程為，即.（2）設(shè).因?yàn)镸為線(xiàn)段AP的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以M的軌跡方程為.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.18．【正確答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為，.則，解得，，則，，因此，橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為.（2）曲線(xiàn)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)分別為、，則，，若軸，則線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，因?yàn)椋@兩個(gè)等式作差可得，所以，，可得，所以，直線(xiàn)的方程為，即，檢驗(yàn)：聯(lián)立可得，則，合乎題意，因此，曲線(xiàn)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程為.（3）不妨設(shè)、分別為兩曲線(xiàn)的