2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題1．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的直線l的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓的半徑是（

）A．4 B． C． D．23．若拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則p等于（

）A．8 B．4 C．2 D．14．，分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（

）A． B． C． D．5．若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或6．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，若四邊形的周長(zhǎng)為12，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）

A．2 B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．直線在y軸上的截距是B．直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限C．過(guò)點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為D．過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為90°的直線方程為10．已知曲線：，其中為非零常數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，則曲線是一個(gè)圓B．當(dāng)時(shí)，則曲線是一個(gè)雙曲線C．若時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)為的橢圓D．若曲線是離心率為的橢圓，則11．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為B．若直線與恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍為C．若，為上一點(diǎn)，，則PQ的最小值為D．若上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為三、填空題12．圓：在點(diǎn)處的切線方程為；13．已知橢圓上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，到另一焦點(diǎn)距離為8，則m等于.14．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)N.若四邊形的面積等于28，則E的方程為.四、解答題15．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，，(1)若直線與直線平行，求m的值；(2)若直線與直線垂直，求m的值.16．求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.17．已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2.(1)求p的值；(2)直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.18．如圖，已知圓的圓心在原點(diǎn)，且與直線相切．(1)求圓的方程；(2)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引的兩條切線，切點(diǎn)為．①求四邊形面積的最小值；②求證：直線過(guò)定點(diǎn)．19．動(dòng)點(diǎn)Mx,y到直線與直線的距離之積等于，且.記點(diǎn)的軌跡方程為.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，，上是否存在點(diǎn)滿足?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.答案：題號(hào)12345678910答案BCBACBADABDABC題號(hào)11答案CD1．B【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得傾斜角.【詳解】由斜率公式得，記直線l的傾斜角為，則，得.故選：B2．C【分析】利用兩點(diǎn)距離公式求線段AB的長(zhǎng)，即可得半徑.【詳解】由題意知，，以線段為直徑的圓的半徑是，故選：C3．B【分析】將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得.【詳解】由題知，拋物線的焦點(diǎn)為，代入得，解得.故選：B4．A【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，所以最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選：A5．C【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，解得或.故選：C.6．B【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和最小，利用對(duì)稱點(diǎn)求解可得.【詳解】因?yàn)楸硎镜近c(diǎn)和的距離之和.又在直線上，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，所求最小值為.故選：B7．A【分析】根據(jù)橢圓面積得出，結(jié)合四邊形的周長(zhǎng)求得，進(jìn)而得出橢圓方程，得出，設(shè)Ax1,y1，根據(jù)四邊形的面積為即可求解最大面積．【詳解】由題可知，，即，由四邊形的周長(zhǎng)為12得，，即，所以，所以橢圓，則，設(shè)Ax1,y1所以四邊形的面積為，故選：A．

8．D【分析】根據(jù)垂直求直線的方程，聯(lián)立直線方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，表示，利用得到的關(guān)系，即可求出雙曲線離心率.【詳解】由題意得，，漸近線方程為.因?yàn)?，所以直線的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)椋?，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.9．ABD【分析】運(yùn)用截距概念判斷A；根據(jù)斜率和截距可判斷B；分情況求出直線方程即可判斷C；求出直線方程判斷D．【詳解】對(duì)于A，令x=0，求得，則直線在y軸上的截距為，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率為，在y軸上的截距為，易知直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，代入點(diǎn)，求得，此時(shí)直線方程為y=2x；當(dāng)直線截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)，求得，此時(shí)直線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，傾斜角為90°的直線斜率不存在，則過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為，故D正確.故選：ABD.10．ABC【分析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合各選項(xiàng)給定的參數(shù)值，將方程轉(zhuǎn)為為的形式判斷曲線的性質(zhì)即知A、B、C的正誤，由橢圓的離心率求參數(shù)m判斷D.【詳解】A：時(shí)，曲線可整理為，即曲線是一個(gè)圓，正確；B：時(shí)，曲線可整理為，即曲線是一個(gè)雙曲線，正確；C：時(shí)，曲線可整理為，即曲線是焦點(diǎn)為的橢圓，正確；D：由上分析知：若曲線是離心率為的橢圓，則或，可得或，錯(cuò)誤.故選：ABC.11．CD【分析】對(duì)于A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合焦點(diǎn)所在的位置分析判斷；對(duì)于B：因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)0,1，可知定點(diǎn)0,1在橢圓內(nèi)或橢圓上，列式求解即可；對(duì)于C，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)分析求解，對(duì)于D：分析可知當(dāng)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，分類討論焦點(diǎn)所在位置分析求解；【詳解】由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，但焦點(diǎn)不一定在軸上，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)0,1，因?yàn)橹本€與恒有公共點(diǎn)，則，即，又因?yàn)椋?，所以的取值范圍為，故B錯(cuò)；若，即橢圓方程為，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，故C對(duì)；若，則，當(dāng)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，可知，即，當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上所述：則的取值范圍為，故D對(duì)；故選：CD12．【分析】由切線與圓心和切點(diǎn)連線的垂直關(guān)系得切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】由題意知圓心，，，又過(guò)點(diǎn)，所以切線方程為，即，故答案為.13．36【分析】分焦點(diǎn)在和兩種情況，根據(jù)橢圓定義得到方程，求出答案.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，由橢圓定義得，解得，滿足要求，若焦點(diǎn)在軸上，，不合題意，綜上，.故3614．【分析】作出輔助線，根據(jù)直線的斜率表達(dá)出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到拋物線方程.【詳解】易知，直線的方程為，四邊形為梯形，且．設(shè)，，，則，所以，所以．作軸于點(diǎn)，則．因?yàn)橹本€的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，，所以四邊形的面積為，解得，故拋物線的方程為.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€AC與直線BD平行，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)兩直線不重合，所以（2）因?yàn)橹本€AC與直線BC垂直，兩直線斜率均存在，所以，所以，16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)在橢圓上得到關(guān)于的方程組，由此可求的值，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得；（2）設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求.【詳解】（1）由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，又因?yàn)?，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，從而有，解得或，因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，所以，即橢圓方程為，17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得；（2）利用韋達(dá)定理，結(jié)合求解可得.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，所以.（2）由（1）可得拋物線方程為，聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，解得且，設(shè)Ax1,得，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，所以，解得.18．(1)(2)①

,②證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出圓心到切線的距離得圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由勾股定理求得切線長(zhǎng)，由求得四邊形面積，由此得當(dāng)最小時(shí)，四邊形面積最小，從而得結(jié)論；②在以為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),求出以為直徑的圓方程，此圓方程與已知圓方程相減公共弦所在直線方程，由直線方程得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）依題意得：圓心到直線的距離為半徑，∴，∴圓的方程為；（2）①解：連接，因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，∴．易知最小值為8，所以；②證明：由①得，在以為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴以為直徑的圓方程為，即．因?yàn)闉閮蓤A的公共弦，所以由相減得直線的方程為，，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)2,0．得證19．(1)(2)存在點(diǎn)，使得.【分析】（1）利用點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于建立方程，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及題目條件得到點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用點(diǎn)在雙曲線上即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Mx,y到直線的距離為，動(dòng)點(diǎn)Mx,y到直線的距離為，所以