廣東省珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學試題

廣東省珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1．已知全集U=xx>0，集合A=xA．?∞,1∪C．?∞,1∪2．復數(shù)z=10A．?3?i B．?3+i C．3?i D．3+i3．在△ABC中，D是BC上一點，滿足BD=3DC，M是AD的中點，若BM=λA．54 B．1 C．78 4．已知點A?1,0，B0,3，點P是圓x?32A．6 B．112 C．92 5．一個內(nèi)角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體．這3個幾何體的體積從小到大之比為（）A．1:3:2 B．1:3:4 C．3:2:26．已知函數(shù)fxA．?∞,?1∪0 B．?∞,?17．函數(shù)fx=23sin2A．ω=1B．函數(shù)fx圖象關于點πC．函數(shù)fx圖象向右移φφ>0個單位后，圖象關于y軸對稱，則φD．若x∈0,π2，則函數(shù)8．若不等式bx+1≤e?x?ax2對一切x∈RA．?∞,?1 B．?∞,?1 C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．設A，B為隨機事件，且PA，PB是A，B發(fā)生的概率．A．若A，B互斥，則PB．若PABC．若A，B互斥，則A，B相互獨立D．PABP10．設fxA．函數(shù)y=fx的圖象與圓xB．存在無數(shù)個等腰三角形ABD，其三個頂點都在函數(shù)y=fxC．存在無數(shù)個菱形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)y=fxD．存在唯一的正方形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)y=fx11．中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，中國結有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系xOy中，到兩定點F1?a,0，F(xiàn)2a,0距離之積為常數(shù)A．曲線C的圖象關于原點對稱B．曲線C經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D．曲線C上有且僅有3個點P滿足P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．直線y=ax?e與曲線C:y=xlnx相切，則a=13．已知點P在雙曲線C:x264?y236=1上，F(xiàn)14．甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分2；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分2．那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是分，方差是分2．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c其中m=a,b，n=（1）求sinA（2）若△ABC的外接圓半徑為5，求△ABC面積的最大值．16．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1⊥（1）證明：AD⊥BC；（2）求面ABC與面A117．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）若直線l與橢圓C有兩個公共點，求實數(shù)t的取值范圍；（2）當t=2時，記直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，P，Q為橢圓C上兩動點，求四邊形PAQB面積的最大值．18．設函數(shù)fx=ln（1）試判斷f'（2）證明：對任一x0∈0,1，有f19．對于數(shù)列an，若存在常數(shù)T，n0T,n0∈N*，使得對任意的正整數(shù)n≥n0，恒有an+T=an成立，則稱數(shù)列an是從第n0項起的周期為T的周期數(shù)列．當（1）若對任意正整數(shù)n都有an≠1，請寫出三個滿足條件的（2）若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請寫出滿足條件的a（3）證明：不論a1為何值，總存在m,n∈N*

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為U=xx>0，所以?U故答案為：B.【分析】由已知條件結合補集的運算法則，從而得出集合?U2．【答案】B【解析】【解答】解：z=10?3+i=10?3?i故答案為：B.【分析】利用復數(shù)的除法運算法則得出復數(shù)z，再結合復數(shù)與共軛復數(shù)的關系，從而得出復數(shù)z的共軛復數(shù).3．【答案】C【解析】【解答】解：由題可知，AM=12所以，BM?=12BA?+12故答案為：C.【分析】利用向量共線定理和平面向量基本定理，從而得出λ，μ的值，進而得出λ+μ的值.4．【答案】D【解析】【解答】兩點A?1,0，B0,3，則|AB|=(?1)2+32圓x?32+y2=1點C到直線AB:3x?y+3=0的距離d=12因此點P到直線AB距離的最小值為d?r=6所以△PAB面積的最小值是12故答案為：D

【分析】本題考查點與圓的位置關系.先利用兩點間的距離公式求出|AB|，再求出直線AB的方程，利用點到直線的距離可求出圓心C到直線AB:3x?y+3=0的距離，利用點與圓的位置關系可求出：點P到直線AB距離的最小值，即三角形的高的最小值，利用三角形的面積公式可求出面積的最小值5．【答案】C【解析】【解答】解：設該直角三角形的三條邊長分別為1,3,2，設三角形斜邊上的高為

則S=12×2?h=1由題意，設該3個幾何體的體積為V1則V1V2V3∵V3<V1故答案為：C.【分析】設該直角三角形的三條邊長分別為1,3,2，再利用三角形的面積公式出得出三角形斜邊上的高，再根據(jù)圓錐的體積公式和6．【答案】A【解析】【解答】解：設g(x)=2x,x≤0問題轉(zhuǎn)化為g(x)與函數(shù)y=-a的圖象沒有交點，所以-a=0或-a>1，解得a=0或a<-1.故答案為：A.【分析】利用分段函數(shù)的解析式畫出分段函數(shù)的圖象，再將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=2x,x≤07．【答案】D【解析】【解答】解：由已知可得：f所以fx又因為ω>0，所以函數(shù)fx的最小正周期為π，由已知可知2π2ω=π所以fx因為2×π3+π3將函數(shù)圖象向右移φφ>0個單位后可得函數(shù)y=?因為y=?sin2x?2φ+π所以φ=?kπ2?所以φ的最小值為5π12若0≤x≤π2，則所以?32≤所以，當x=π2時，函數(shù)fx故答案為：D.【分析】利用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，再利用輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再結合正弦型函數(shù)的最小正周期公式，則判斷出選項A；利用正弦型函數(shù)的圖象的對稱性，則判斷出選項B；利用正弦型函數(shù)的圖象變換和函數(shù)圖象的對稱性，則由φ>0得出φ的最小值，則判斷出選項C；利用x的取值范圍和不等式的基本性質(zhì)以及正弦型函數(shù)的圖象求值域的方法，從而得出正弦型函數(shù)的最大值，則判斷出選項D，進而找出正確的選項.8．【答案】A【解析】【解答】解：法一：不等式bx+1≤e?x?ax2對一切x∈R恒成立，

令fx=a故不等式bx+1≤e?x?ax2所以f0為fx的最大值點.，

顯然，a≤0，否則x→+∞又因為f'x若b+1>0，存在區(qū)間s,t，是否0∈s,t且?x∈s,t，總有這與f0為fx的最大值點矛盾，故同理b+1<0也不成立，故b+1=0，則b=?1，∴當a=0時，當x∈?∞,0時，f'x故fx在?∞,0上遞增，0,+當a<0時，當x∈?∞,當x∈1?2aa,0故fx在?∞,1?2aa而當x<1?2aa時，故ax2?x+1<0即fx<0綜上所述，a≤0,b=?1，因此a+b∈?法二：不等式ax2+bx+1令fx當a=0時，fx=ax2+bx+1=bx+1故只需直線fx=bx+1為gxb=g'0當a≠0時，fx亦恒過點0,1為使ax2+bx+1≤需fx=ax2+bx+1故a<0f'0綜上所述，a+b的取值范圍是a+b∈?故答案為：A.【分析】利用兩種方法求解.

方法一：將原不等式轉(zhuǎn)化為ax2+bx+1ex≤1對一切x∈R恒成立，設fx=a9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，

則PA∪B對于B：由相互獨立事件的概念知，

若PAB對于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，事件A與事件B互斥，但P(AB)=0，P(A)=P(B)=1所以不滿足相互獨立事件的定義，故C錯誤；對于D：PAPB所以PABP故答案為：ABD.【分析】利用互斥事件加法概率公式，則可判斷選項A；由相互獨立事件的概念可判斷選項B；由互斥事件和相互獨立事件的概念，則可判斷選項C；由條件概率公式化簡，則判斷出選項D，進而找出說法正確的選項.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，令f'x=3x2?3=3x+1當x∈?1,1時，f'x<0，

則函數(shù)fx在?又因為f?1=?1+3=2，f1=1?3=?2，

函數(shù)故函數(shù)y=fx的圖象與圓x對于B、C，由于函數(shù)y=fx的圖象關于坐標原點O過點O作直線交fx的圖象于B、D過點O作BD的垂線交fx的圖象于A、C則△ABD為等腰三角形，四邊形ABCD為菱形，當線段BD繞點O轉(zhuǎn)動時，△ABD仍為等腰三角形，四邊形ABCD仍為菱形，故選項B、C均正確；對于D：由于f?x故要使得正方形存在，則△AOB為等腰直角三角形，顯然，當B?1,2時，OB=5，點P2,1在函數(shù)圖象外側(cè)，

則OA<利用極限思想，當OB→0時，OA→3，此時OB<OA當OB→3時，OA→+∞，此時故至少存在兩個正方形，故D錯誤.

故答案為：ABC.【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和特殊點畫出函數(shù)y=fx的圖象與圓x2+y2=1的圖象，由圖可知函數(shù)y=fx11．【答案】A,C【解析】【解答】解：對于A：P化簡得到：x2將M3,0代入可得2所以曲線C:x把?x,?y代入x2+y所以，曲線C的圖象關于原點對稱，故A正確；對于B：令y=0解得x=0,x=±3，即：曲線經(jīng)過0,0,結合圖象，得出?3≤x≤3，今x=±1，得y2令x=±2，得1<y因此，結合圖象曲線C只能經(jīng)過3個整點0,0,對于C：x2+y所以曲線C上任意一點到坐標原點O的距離d=x即都不超過3，故C正確；對于D：點P滿足PF1=PF2，則設P0,yp，則a故只有原點滿足，故D錯誤.故答案為：AC.【分析】根據(jù)題意求出軌跡C的方程，把?x,?y代入曲線C的方程，則可判斷選項A；令y=0，x=±1,x=±2，從而得出y的取值范圍，則可判斷選項B；由曲線C的方程可得x2+y2=9x2?y212．【答案】2【解析】【解答】解：設切點坐標為t,tlnt，

由于y'所以曲線在t,tlnt處的切線方程為：y=ln所以t=e，a=ln故答案為：2.【分析】設切點坐標為t,tln13．【答案】25【解析】【解答】解：設P在雙曲線右支上，則PF由余弦定理得cos=4所以PF又因為S=b所以36tan∠F1PF22=45因為PF又因為PF故PF故PF故答案為：25.【分析】設點P在雙曲線右支上，由雙曲線定義得到PF1?PF2=16，再由余弦定理和三角形面積公式，從而得到tan14．【答案】80；470【解析】【解答】解：甲、乙兩班全部90名學生的平均成績?yōu)?2×50+90×4050+40方差為50故答案為：80，4703【分析】利用平均數(shù)公式求出90名學生的平均成績，再根據(jù)局部方差和整體方差的公式，從而得出甲、乙兩班全部90名學生的方差.15．【答案】（1）解：由題意得，m?由正弦定理可知，sinA在△ABC中，因為A+B+C=π，sinA+B所以sinA即34因為A,B∈0,π，所以sin所以34sinA=cosA所以sinA=（2）解：由正弦定理得asin因為R=5，sinA=45，所以a=8由a2=b由基本不等式可知，64=b所以bc≤80，當且僅當b=c=45所以S△ABC所以△ABC面積的最大值為32.【解析】【分析】（1）由已知條件結合數(shù)量積的坐標表示和正弦定理，可得sinAcosB+34sinB（2）由正弦定理的性質(zhì)和已知條件以及同角三角函數(shù)基本關系式，從而得出a的值和角A的余弦值，再結合余弦定理和均值不等式求最值的方法，則得出bc的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式得出三角△ABC面積的最大值．（1）由題意得，m?由正弦定理可知，sinA在△ABC中，因為A+B+C=π，sinA+B所以sinA即34因為A,B∈0,π，所以sin所以34sinA=所以sinA=（2）由正弦定理asin因為R=5，sinA=45，所以a=8由a2=b由基本不等式可知，64=b所以bc≤80，當且僅當b=c=45所以S△ABC所以△ABC面積的最大值為32.16．【答案】（1）證明：因為三棱柱ABC?A1B故四邊形ABB1A1為菱形，

又因為∠ABB故AD⊥AB，又因為側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，

側(cè)面ABB1所以AD⊥底面ABC，

又因為BC?底面ABC，

故AD⊥BC.（2）解：因為AB=AC=2，BC=22，故△ABC為直角三角形，故AB⊥AC分別以AB，AC，AD為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則A0,0,0，B2,0,0，由（1）可知，A1D=1，AD=AA12?則BA1由題意可知，平面ABC的一個法向量為AD設平面A1BC的一個法向量為則n?BA1=0n?CA則n=設面ABC與面A1BC夾角為θ，

則故tanθ=則面ABC與面A1BC夾角的正切值為【解析】【分析】（1）由三棱柱的結構特征和已知條件，從而判斷出四邊形ABB（2）利用已知條件和勾股定理證出線線垂直，從而建立空間直角坐標系，再由（1）和勾股定理得出點的坐標和向量的坐標，再根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系和數(shù)量積的坐標表示，從而得出平面ABC的一個法向量和平面A1BC的一個法向量，再由數(shù)量積求向量夾角公式和同角三角函數(shù)基本關系式，進而得出面ABC與面（1）因為三棱柱ABC?A1B故四邊形ABB1A1為菱形，又因∠ABB故AD⊥AB，又側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，側(cè)面ABB1所以AD⊥底面ABC，又BC?底面ABC，故AD⊥BC.（2）因AB=AC=2，BC=22，故△ABC故AB⊥AC，如圖分別以AB，AC，AD為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0，B2,0,0，由（1）可知，A1D=1，AD=AA1則BA1由題意平面ABC的一個法向量為AD設平面A1BC的一個法向量為則n?BA1=0n?CA則n=設面ABC與面A1BC夾角為θ，則故tanθ=面ABC與面A1BC夾角的正切值為17．【答案】（1）解：設橢圓的半焦距為c，則c=22，故a因為點M22,故a2=12,b由y=x+tx2+3故Δ=36t2?163（2）解：當t=2時，直線l:y=x+2，如圖所示：故A?2,0,B0,2，

由題設可得P,Q為位于直線AB的兩側(cè)，

不妨設Q在直線AB上方，P當過Q的直線與直線AB平行且與橢圓相切時，Q到直線AB的距離最大及△QAB的面積最大；當過P的直線與直線AB平行且與橢圓相切時，Q到直線AB的距離最大及△QAB的面積最大，由（1）可得相切時，則Δ=0，所以t=±4當t=4時，切點的橫坐標為?6t8=?3，

所以切點坐標為?3,1此時?3,1到AB的距離為?3?1+22當t=?4時，切點的橫坐標為?6t8=3，

所以切點坐標為3,?1此時，點3,-1到直線AB的距離為3+1+22又因為|AB|=22故四邊形PAQB面積的最大值為8.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距和橢圓中a，b，c三者的關系式，可得a2?b2=8，再根據(jù)點在橢圓上可得8（2）由題設可得，當過P,Q且與直線l平行的直線與橢圓相切時，面積之和最大，由（1）和直線與橢圓相切位置關系判斷方法，再結合判別式法得出t的值，再利用分類討論的方法得出切點坐標，從而判斷出切點和直線AB的位置，再由點到直線的距離公式得出此時切點到直線AB的距離，再根據(jù)AB的長和四邊形的面積公式，從而得出四邊形PAQB面積的最大值.（1）設橢圓的半焦距為c，則c=22，故a而M22,故a2=12,b由y=x+tx2+3故Δ=36t2?163（2）當t=2時，直線l:y=x+2，故A?2,0由題設可得P,Q為位于直線AB的兩側(cè)，不妨設Q在直線AB上方，P在直線AB的下方，當過Q的直線與直線AB平行且與橢圓相切時，Q到直線AB的距離最大及△QAB的面積最大，當過P的直線與直線AB平行且與橢圓相切時，Q到直線AB的距離最大及△QAB的面積最大，由（1）可得相切時Δ=0即t=±4當t=4時，切點的橫坐標為?6t8=?3，切點坐標為?3,1此時?3,1到AB的距離為?3?1+22當t=?4時，切點的橫坐標為?6t8=3，切點坐標為3,?1此時3,-1到AB的距離為3+1+22又|AB|=2故四邊形PAQB面積的最大值為8.18．【答案】（1）解：因為函數(shù)fx=ln則f'x=則g'因為x∈0,1，所以1?所以g'所以，f'x在（2）證明：令hx則hxh'又因為f'x在所以，當0<x<x0<1時，

f當0<x0<x<1時，

f當x=x0時，所以hx在x=x0即hx所以fx即fx則對任一x0∈0,1，有fx≥【解析】【分析】（1）利用已知條件結合復合函數(shù)求導的方法，從而求出f'x=x2?1xx2（2）令hx=fx?f'x0x?x0+fx0，可得hx0=0，h'x=f（1）函數(shù)fx=ln則f'x=則g'因為x∈0,1，所以1?所以g'所以，f'x在（2）令hx則hxh'又因為f'x在所以當0<x<x0<1時，f當0<x0<x<1時，f當x=x0時，所以hx在x=x0即hx所以fx即fx則對任一x0∈0,1，有f19．【答案】（1）解：因為對任意整數(shù)n，都有an所以，取a1=2，則取a1=3，a2此時，數(shù)列an為常數(shù)列3取a1=4，a2取a1=5，a2=此時，數(shù)列an的通項公式為a取a1=6，a2a4此時，數(shù)列an的通項公式為a所以，滿足條件的三個a1的值為3，5，6（2）解：取a1=1，a2此時數(shù)列an為常數(shù)列1取a1=2，則a2此時數(shù)列an的通項公式為a取a1=3，a2此時，數(shù)列an為常數(shù)列3取a1=4，a2=a此時數(shù)列an的通項公式為a取a1=5，a2=此時，數(shù)列an的通項公式為a取a1=6，a2a4此時，數(shù)列an的通項公式為a取a1=7，a3此時，數(shù)列an為常數(shù)列7根據(jù)上述計算得出猜想，當a1=2k?1下面進行驗證：當a1=2a3=a此時數(shù)列an（3）證明：根據(jù)（2）的分析，發(fā)現(xiàn)當a1=2k?1k∈N?時，數(shù)列an為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列2k?1k∈N?，滿足題意；

接下來證明，當a1≠2k?1k∈N?時，也存在m,n使得an=2m?1，

因為1=21?1，所以只需要證明數(shù)列an中始終存在值為1的項即可，

當a1=2kk∈N?時，顯然存在值為1的項，

當a1∈2k,2k?1k∈N?時，有a2=a12或a2=a1?12+2log2a1，

若a1為偶數(shù)，則a2=a12，

若a1為奇數(shù)時，

則a2=a1?12+2