《數(shù)學(xué)（第8版 下冊(cè)）》 課件 第1章 數(shù)列

數(shù)列第1章1目錄1.1數(shù)列的基本知識(shí)1.2等差數(shù)列1.3等比數(shù)列2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能通過(guò)生活實(shí)例，理解數(shù)列的含義，理解數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的概念.2.能通過(guò)日常生活中的實(shí)例，掌握等差數(shù)列的概念，并會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.3.能通過(guò)日常生活中的實(shí)例，掌握等比數(shù)列的概念，并會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.4.能在具體問(wèn)題的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.3知識(shí)回顧觀察下列數(shù)的變化規(guī)律，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空.（1）2，5，8，11，（），17，20，23.（2）9，16，25，36，49，（），81.（3）2，4，8，16，32，（），128，256.（4）-1，8，-27，64，（），216，-343，···.4解（1）從第二項(xiàng)起每個(gè)數(shù)都比前面的數(shù)多3，因此填14.（2）數(shù)字是從3開(kāi)始連續(xù)自然數(shù)的平方，因此填82=64.（3）2=21，4=22，8=23，16=24，32=25，···，因此填26=64.或者這樣思考：從第二項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是前面的2倍，因此填64.（4）觀察發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的符號(hào)是負(fù)、正交替變化，去掉符號(hào)后正好都是正整數(shù)的立方，因此填-125.觀察并發(fā)現(xiàn)數(shù)的變化規(guī)律是一項(xiàng)重要數(shù)學(xué)技能，本章會(huì)在這項(xiàng)能力的基礎(chǔ)上研究數(shù)列.51.1數(shù)列的基本知識(shí)6實(shí)例考察在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常遇到按照一定的順序排列而得到的一列數(shù).成績(jī)

某學(xué)期共進(jìn)行了5次數(shù)學(xué)階段測(cè)驗(yàn)，某位同學(xué)的測(cè)驗(yàn)成績(jī)（單位：分）依次為85，92，78，98，90.①營(yíng)業(yè)額

某商店一周每天的營(yíng)業(yè)額（單位：元）依次為3221，2300，1500，1985，2560，2850，2900.②7體溫

某人住院期間每天都要測(cè)量一次體溫，以觀察病情變化，每天的體溫（單位：℃）依次為39.5，38.8，38.3，39.0，37.3，37.0.③年份

人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并根據(jù)天文學(xué)知識(shí)推算出這顆彗星每隔83年出現(xiàn)一次，那么從發(fā)現(xiàn)當(dāng)年算起到現(xiàn)在，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為1740，1823，1906，1989.④81.1.1數(shù)列的定義在數(shù)學(xué)里，有些數(shù)可以按一定順序排成一列，例如：大于2且小于10的自然數(shù)從小到大排成一列數(shù)3，4，5，6，7，8，9.⑤1，2，3，4，5，6，7的倒數(shù)排成一列數(shù)⑥-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪······排成一列數(shù)-1，1，-1，1，···.⑦無(wú)窮多個(gè)2排成一列數(shù)2，2，2，2，···.⑧9像這樣，按照一定次序排成的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都稱為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，又稱為首項(xiàng)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第二項(xiàng)……排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，······

數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，···，an，···.其中，an

是上述數(shù)列的第n項(xiàng)，n就是an

的序號(hào).上述數(shù)列可以簡(jiǎn)記為{an}.項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列稱為無(wú)窮數(shù)列.101.1.2數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an

與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式就稱為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如，數(shù)列⑥的通項(xiàng)公式是

數(shù)列⑦-1，1，-1，1，···的通項(xiàng)公式是an=（-1）n，n∈N*.11數(shù)列⑧2，2，2，2，···的通項(xiàng)公式是an=2，n∈N*.像數(shù)列⑧這樣各項(xiàng)都相等的數(shù)列通常稱為常數(shù)列.如果知道了數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，那么只要依次用1，2，3，···代替公式中的n，就可以求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng).從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是定義在N*（或它的子集{1，2，···，n}）上的函數(shù)的表達(dá)式.121.1.3數(shù)列的前n

項(xiàng)和數(shù)列a1，a2，a3，···，an，···前n項(xiàng)相加的和，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記作Sn.即Sn=a1+a2+···+an.有時(shí)為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，把數(shù)列{an}前n

項(xiàng)的和記為，即，其中符號(hào)

“∑”

稱為連加號(hào)，ai

表示加數(shù)的一般項(xiàng).如果數(shù)列有通項(xiàng)公式，一般項(xiàng)ai

可以寫(xiě)成通項(xiàng)公式的形式.i稱為求和指標(biāo)，連加號(hào)的上下標(biāo)表示求和指標(biāo)i的取值依非零自然數(shù)的順序由1取到n.131.2等差數(shù)列14實(shí)例考察在現(xiàn)實(shí)生活中，我們有時(shí)會(huì)碰到一些特殊數(shù)列.你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點(diǎn)嗎？梯子

如圖所示，梯子自上而下各級(jí)寬度（單位：cm）排成數(shù)列25，28，31，34，37，40，43，46.①15女子舉重級(jí)別

奧運(yùn)會(huì)女子舉重共設(shè)七個(gè)級(jí)別，其中較輕的四個(gè)級(jí)別體重（單位：kg）組成數(shù)列48，53，58，63.②偶數(shù)

比5小的偶數(shù)從大到小排成數(shù)列4，2，0，-2，-4，···.③常數(shù)

由無(wú)窮多個(gè)常數(shù)a組成常數(shù)列

a，a，a，a，a，···.④161.2.1等差數(shù)列基本知識(shí)對(duì)于上面的數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于3.數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于5.數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于-2.數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于0.這些數(shù)列有一個(gè)共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).17上面的四個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是，

，

，

.18容易看出，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).19

20

211.2.2等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和我們來(lái)看下面的問(wèn)題：1+2+3+…+100=？德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯少年時(shí)曾很快得出它的結(jié)果.你知道應(yīng)該如何計(jì)算嗎？高斯的算法是：1+100=101（首項(xiàng)與末項(xiàng)的和），2+99=101（第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和），3+98=101（第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和），……50+51=101（第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和）.22于是所求的和是1，2，3，···，100是一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，它的前100項(xiàng)和表示為S100=1+2+3+···+98+99+100.①①式又可表示為S100=100+99+98+···+3+2+1.②將①②兩式的兩邊分別相加，得2S100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+···+（99+2）+（100+1），即23下面，我們將這種方法推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.對(duì)于首項(xiàng)為a1、公差為d的等差數(shù)列{an}，有Sn=a1+a2+a3+···+an-2+an-1+an.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，上式可以寫(xiě)成Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+···+[a1+（n-1）d].③③式又可表示為Sn=an+（an-d）+（an-2d）+···+[an-（n-1）d].④24將③④兩式的兩邊分別相加，得由此得到，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式因?yàn)閍n=a1+（n-1）d，所以上面的公式又可以寫(xiě)成251.3等比數(shù)列26實(shí)例考察在現(xiàn)實(shí)生活中，我們還會(huì)碰到一些特殊的數(shù)列，它們的項(xiàng)的變化也是有規(guī)律的，但不是等差數(shù)列.汽車折舊

一輛汽車購(gòu)買時(shí)價(jià)值是20萬(wàn)元，每年的折舊率是10%（就是說(shuō)這輛汽車每年減少它上一年價(jià)值的10%）.那么這輛汽車從購(gòu)買當(dāng)年算起，8年之內(nèi)，每年的價(jià)值（單位：萬(wàn)元）組成數(shù)列20，20×0.9，20×0.92，···，20×0.97.①27發(fā)送短信

某人用3min將一條短信發(fā)給3個(gè)人，這3個(gè)人又用3min各自將這條短信發(fā)給未收到的3個(gè)人.如此繼續(xù)下去，1h內(nèi)收到此短信的人數(shù)，按收到短信的次序排成數(shù)列1，3，32，33，···，320.②倍數(shù)問(wèn)題

從5開(kāi)始，每次乘以5，可以得到數(shù)列5，52，53，54，55，···.③常數(shù)問(wèn)題

由無(wú)窮多個(gè)常數(shù)a（a≠0）組成的常數(shù)列

a，a，a，a，a，···.④281.3.1等比數(shù)列基本知識(shí)對(duì)于上面的數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于0.9.數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于3.數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于5.數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于1.這些數(shù)列有一個(gè)共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).29

上面的四個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，它們的公比依次是

，

，

，

.30

容易看出，在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).