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文檔簡介
高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2025屆高三上學期11月期中調(diào)研數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內(nèi),若是虛數(shù)單位,復數(shù)與關于虛軸對稱,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】,復數(shù)與關于虛軸對稱,故.故選:C.2.若對于任意的實數(shù)都有成立,則的值可能是()A. B. C. D.0【答案】A【解析】,故,即,當時,故選:A.3.下列說法中不正確的是()A.“”是“”的必要不充分條件B.命題“,”的否定是“,”C.“若,,,則且”是假命題D.設,,則“或”是“”的充要條件【答案】B【解析】對于A,“”是“”的必要不充分條件,故A正確;對于B,命題“,”的否定是“,”,故B錯誤;對于C,當時,滿足,不滿足且,故“若,,,則且”是假命題,故C正確;對于D,“或”是“”的充要條件,故D正確.故選:B.4.在數(shù)列中,,則數(shù)列前24項和的值為()A.144 B.312 C.288 D.156【答案】C【解析】因為,所以,故選:C.5.已知實數(shù),則的最小值為()A.12 B.9 C.6 D.3【答案】B【解析】設,,故,,當且僅當,即時,等號成立.故選:B.6.在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi),作一內(nèi)接圓柱,若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積,則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓柱和圓錐底面半徑分別r,R,因為圓錐軸截面頂角為直角,所以圓錐母線長為,設圓柱高為h,則,,由題,,得.故選:D.7.已知,若存在常數(shù),使得為偶函數(shù),則的值可以為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,得是偶函數(shù),因為不可能是奇函數(shù),所以和都是偶函數(shù),為偶函數(shù),則,即,為偶函數(shù),則,,,,只有時,,故選:A.8.已知函數(shù),若,則最大值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】,因為,且函數(shù)和都是增函數(shù),故若恒成立,則函數(shù)和的零點相同,即.故,設則故在,,單調(diào)遞增;在,,單調(diào)遞減.故故最大值為.故選:A.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知向量,,則下列說法中正確的是()A.若,則或1 B.若,則或-3C.若,則或3 D.若,則向量,夾角的余弦值為【答案】AC【解析】A選項,若,有,解得或,A選項正確;B選項,若,有,解得或3,B選項錯誤,;C選項,若,有,解得或,C選項正確;D選項,當時,,,,,,向量,夾角的余弦值為,D選項錯誤.故選:AC.10.已知的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,下列四個命題中正確的是()A.若為銳角三角形,則B.若,,則是直角三角形C.若,則是等腰三角形D.若為鈍角三角形,且,,,則的面積為【答案】AC【解析】對于A,若為銳角三角形,則即,故,故A正確;對于B,若,,則,即,故,且,故是等邊三角形,故B錯誤;對于C,若,則即即故,是等腰三角形.故C正確;對于D,,解得或,且,當時,,鈍角,故,當時,,B為鈍角,故,故D錯誤.故選:AC.11.已知,是函數(shù),兩個不同的零點,且,,是函數(shù)兩個極值點,則()A. B.或C.值可能為11 D.使得的的值有且只有1個【答案】ACD【解析】由已知有兩個零點,,又,是函數(shù)兩個不同的零點且,所以,即所以,,即,A正確;,解得或,,,由已知有兩個不等實根,所以,解得或,所以或,B錯;,解得或,滿足或,C正確;由,得,,,由整理得,設,則,或時,,時,,在在和上遞增,在上遞減,又,,,所以在,,上各有一個零點,又或,因此只在上在一個解,D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為,且,則的值為______.【答案】【解析】,故,因為在區(qū)間0,1上的值域為,且,故必有如圖所示,則故13.如圖,邊長為1的正,是以為圓心,以為半徑的圓弧上除點以外的任一點,記外接圓圓心為,則______.【答案】【解析】取的中點,因為為正三角形,故為的中垂線,則外接圓圓心一定在上,如圖所示,,故.14.若存在實常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足恒成立,則稱直線為和的“媒介直線”.已知函數(shù),,若和之間存在“媒介直線”,則實數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】恒成立,即的圖像一直在和之間,當同時與和均相切時,方程和方程均只有一個解,即和均只有一個解,故或,解得或,結(jié)合圖像可知,“媒介直線”的截距.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列,若數(shù)列前項和為,并滿足,.(1)求數(shù)列,的通項公式.(2)若,求數(shù)列前項的和.解:(1)設等差數(shù)列的公差為,由,且,,成等比數(shù)列知:,整理得:,即或者,因為公差大于1,故.且,故.數(shù)列前項和為,并滿足①,且,解得,故當時,②,①式減②式得:,即,故是公比為2的等邊數(shù)列,則,故(2),故則故故則16.已知向量,,.(1)求函數(shù)解析式,寫出函數(shù)的最小正周期、對稱軸方程和對稱中心坐標.(2)試用五點作圖法作出函數(shù)在一個周期上簡圖(要求列表,描點,連線畫圖).(3)根據(jù)(2)中的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、最小值及取得最小值時相應值的集合.解:(1)向量,,則,,故的最小正周期,當時,,當時,,故的對稱軸方程為,對稱中心為.(2)列表:00200描點,連線,畫圖得:(3)由圖可知,的單調(diào)增區(qū)間為;最小值為;取最小值時相應值的集合為:.17.如圖①,在平面四邊形中,,,為對角線中點,為中點,為線段上一點,且,,.(1)求的長.(2)從下面(i)與(ii)中選一個作答,如果兩個都作答,則只按第一個解答計分(i)在平面四邊形中,以為軸將向上折起,如圖②,當面面時,求異面直線與所成角的余弦值.(ii)在平面四邊形中,以為軸將向上折起,如圖③,當時,求三棱錐的體積.解:(1)因為,為對角線中點,故,因為,故,即,解得,故,則,,因為,,則,,所以,所以,,且,故,則在等腰中,由正弦定理得:,即,則.(2)若選(i):當面面時,因為,面面,面,故面,又,故以點為坐標原點,為軸,為軸,過點做的平行線為軸,可以建如圖所示空間直角坐標系,由(1)知,,故為中點,則易得則設異面直線與所成角為,則.若選(ii):由(1)知,,故為中點,故,當時,,因為,,故,且,,故面,因為為中點,為中點,故,則三棱錐的體積:.18.已知函數(shù),.(1)如果函數(shù)在處的切線,也是的切線,求實數(shù)的值.(2)若在存在極小值,試求的范圍.(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)有3個零點,若存在,求出所有實數(shù)的取值集合,若不存在,請說明理由.解:(1),,故在處的切線為,也是的切線,故方程只有一個解,即只有一個解,,解得.(2),,當時,,無極值點,不符合題意;當時,在上,,單調(diào)遞減;在上,,單調(diào)遞增;故的極小值點,則,故,設,,則,此時,設,則,時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;,故,即.(3),,,當時,,在單調(diào)遞減,不存在3個零點;當時,,在單調(diào)遞增,不存在3個零點;當時,,因為在上單調(diào)遞增,設,則在上也是單調(diào)遞增,且,當,,故存在唯一一個,使,即在,,,單調(diào)遞減;在,,,單調(diào)遞增;且,故,且,故在有唯一零點,,故,當時,,因為在有唯一零點,故在也有唯一零點,故當,有3個零點;綜上所述,所有實數(shù)的取值集合為.19.對于任意,向量列滿足.(1)若,,求的最小值及此時的.(2)若,,其中,,,,若對任意,,設函數(shù),記,試判斷的符號并證明你的結(jié)論.(3)記,,,對于任意,記,若存在實數(shù)和2,使得等式成立,且有成立,試求的最大值.解:(1)因為對任意成立,所以有,,,,將上述各式相加得,又因為,,所以,所以有,又,當或時,,此時或.(2)可判定,①因為,所以數(shù)列不可能是各項均為0的常數(shù)列;②當數(shù)列非零常數(shù)列時,任意,若,則,若,則,故當數(shù)列為非零常數(shù)列時,.③當數(shù)列為公差不為0的數(shù)列時,因,,若①,由等差數(shù)列性質(zhì)有,其中又為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,則由可得,所以有,即,,所以有,即②,所以由①②知.同理可證明若,利用函數(shù)為奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增,可證,所以有.綜上可知恒成立.(3),所以,即為等差數(shù)列,所以,由題意知,構(gòu)造函數(shù),則,,,所以函數(shù)至少有三個零點:若使得有三個零點,則存在區(qū)間,使得為常數(shù),且三個零點均在內(nèi),所以必為偶數(shù),且,于是有,故有,其中,實際上,化簡得,解得,又為偶數(shù),故的最大值為30.江蘇省蘇州市2025屆高三上學期11月期中調(diào)研數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內(nèi),若是虛數(shù)單位,復數(shù)與關于虛軸對稱,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】,復數(shù)與關于虛軸對稱,故.故選:C.2.若對于任意的實數(shù)都有成立,則的值可能是()A. B. C. D.0【答案】A【解析】,故,即,當時,故選:A.3.下列說法中不正確的是()A.“”是“”的必要不充分條件B.命題“,”的否定是“,”C.“若,,,則且”是假命題D.設,,則“或”是“”的充要條件【答案】B【解析】對于A,“”是“”的必要不充分條件,故A正確;對于B,命題“,”的否定是“,”,故B錯誤;對于C,當時,滿足,不滿足且,故“若,,,則且”是假命題,故C正確;對于D,“或”是“”的充要條件,故D正確.故選:B.4.在數(shù)列中,,則數(shù)列前24項和的值為()A.144 B.312 C.288 D.156【答案】C【解析】因為,所以,故選:C.5.已知實數(shù),則的最小值為()A.12 B.9 C.6 D.3【答案】B【解析】設,,故,,當且僅當,即時,等號成立.故選:B.6.在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi),作一內(nèi)接圓柱,若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積,則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓柱和圓錐底面半徑分別r,R,因為圓錐軸截面頂角為直角,所以圓錐母線長為,設圓柱高為h,則,,由題,,得.故選:D.7.已知,若存在常數(shù),使得為偶函數(shù),則的值可以為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,得是偶函數(shù),因為不可能是奇函數(shù),所以和都是偶函數(shù),為偶函數(shù),則,即,為偶函數(shù),則,,,,只有時,,故選:A.8.已知函數(shù),若,則最大值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】,因為,且函數(shù)和都是增函數(shù),故若恒成立,則函數(shù)和的零點相同,即.故,設則故在,,單調(diào)遞增;在,,單調(diào)遞減.故故最大值為.故選:A.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知向量,,則下列說法中正確的是()A.若,則或1 B.若,則或-3C.若,則或3 D.若,則向量,夾角的余弦值為【答案】AC【解析】A選項,若,有,解得或,A選項正確;B選項,若,有,解得或3,B選項錯誤,;C選項,若,有,解得或,C選項正確;D選項,當時,,,,,,向量,夾角的余弦值為,D選項錯誤.故選:AC.10.已知的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,下列四個命題中正確的是()A.若為銳角三角形,則B.若,,則是直角三角形C.若,則是等腰三角形D.若為鈍角三角形,且,,,則的面積為【答案】AC【解析】對于A,若為銳角三角形,則即,故,故A正確;對于B,若,,則,即,故,且,故是等邊三角形,故B錯誤;對于C,若,則即即故,是等腰三角形.故C正確;對于D,,解得或,且,當時,,鈍角,故,當時,,B為鈍角,故,故D錯誤.故選:AC.11.已知,是函數(shù),兩個不同的零點,且,,是函數(shù)兩個極值點,則()A. B.或C.值可能為11 D.使得的的值有且只有1個【答案】ACD【解析】由已知有兩個零點,,又,是函數(shù)兩個不同的零點且,所以,即所以,,即,A正確;,解得或,,,由已知有兩個不等實根,所以,解得或,所以或,B錯;,解得或,滿足或,C正確;由,得,,,由整理得,設,則,或時,,時,,在在和上遞增,在上遞減,又,,,所以在,,上各有一個零點,又或,因此只在上在一個解,D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為,且,則的值為______.【答案】【解析】,故,因為在區(qū)間0,1上的值域為,且,故必有如圖所示,則故13.如圖,邊長為1的正,是以為圓心,以為半徑的圓弧上除點以外的任一點,記外接圓圓心為,則______.【答案】【解析】取的中點,因為為正三角形,故為的中垂線,則外接圓圓心一定在上,如圖所示,,故.14.若存在實常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足恒成立,則稱直線為和的“媒介直線”.已知函數(shù),,若和之間存在“媒介直線”,則實數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】恒成立,即的圖像一直在和之間,當同時與和均相切時,方程和方程均只有一個解,即和均只有一個解,故或,解得或,結(jié)合圖像可知,“媒介直線”的截距.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列,若數(shù)列前項和為,并滿足,.(1)求數(shù)列,的通項公式.(2)若,求數(shù)列前項的和.解:(1)設等差數(shù)列的公差為,由,且,,成等比數(shù)列知:,整理得:,即或者,因為公差大于1,故.且,故.數(shù)列前項和為,并滿足①,且,解得,故當時,②,①式減②式得:,即,故是公比為2的等邊數(shù)列,則,故(2),故則故故則16.已知向量,,.(1)求函數(shù)解析式,寫出函數(shù)的最小正周期、對稱軸方程和對稱中心坐標.(2)試用五點作圖法作出函數(shù)在一個周期上簡圖(要求列表,描點,連線畫圖).(3)根據(jù)(2)中的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、最小值及取得最小值時相應值的集合.解:(1)向量,,則,,故的最小正周期,當時,,當時,,故的對稱軸方程為,對稱中心為.(2)列表:00200描點,連線,畫圖得:(3)由圖可知,的單調(diào)增區(qū)間為;最小值為;取最小值時相應值的集合為:.17.如圖①,在平面四邊形中,,,為對角線中點,為中點,為線段上一點,且,,.(1)求的長.(2)從下面(i)與(ii)中選一個作答,如果兩個都作答,則只按第一個解答計分(i)在平面四邊形中,以為軸將向上折起,如圖②,當面面時,求異面直線與所成角的余弦值.(ii)在平面四邊形中,以為軸將向上折起,如圖③,當時,求三棱錐的體積.解:(1)因為,為對角線中點,故,因為,故,即,解得,故,則,,因為,,則,,所以,所以,,且,故,則在等腰中,由正弦定理得:,即,則.(2)若選(i):當面面時,因為,面面,面,故面,又,故以點為坐標原點,為軸,為軸,過點做的平行線為軸,可以建如圖所示空間直角坐標系,由(1)知,,故為中點,則易得則設異面直線與所成角為,則.若選(ii):由(1)知,,故為中點,故,當時,,因為,,故,且,,故面,因為為中點,為中點,故,則三棱錐的體積:.18.已知函數(shù),.(1)如果函數(shù)在處的切線,也是的切線,求實數(shù)的值.(2)若在存在極小值,試求的范圍.(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)有3個零點,若存在,求出所有實數(shù)的取值集合,若不存在,請說明理由.解:(1),,故在處的切線為,
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