2025屆江西省九校聯(lián)考高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省九校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故，故,故選：B.2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.45 B.C. D.【答案】C【解析】由圖得，則，所以，虛部為.故選：C3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為（）A.4 B. C.1 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則，又，所以，易知的公差，故，所以.故選：D4.已知，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】，，，則.故選：A5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故，即是奇函?shù)，若，可得，故，可得，故充分性成立，令，，此時(shí)滿足，但不滿足，故必要性不成立，故A正確.故選：A6.已知α為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，因?yàn)殇J角，，所以.故選：B7.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，結(jié)合圖象知，，且，則，令，則，又在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，，故選：B8.若函數(shù)定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由f2x+1偶函數(shù)，知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因圖象關(guān)于點(diǎn)2,3成中心對(duì)稱，則①，且，所以，所以是周期為的周期函數(shù).令代入①，可得，而，所以，綜上，.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為15 D.的最小值是9【答案】ACD【解析】因?yàn)椋瑒t，又，，共線，所以，A正確；由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)有最小值，C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：ACD10.關(guān)于函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.是偶函數(shù) B.的值域是C.在上單調(diào)遞增 D.都是的極值點(diǎn)【答案】BC【解析】對(duì)于A，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以A不正確.對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，所以B正確；對(duì)于C，由，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，所以C正確.對(duì)于D，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以D不正確.故選：BC11.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.任意的，C.存在，使得D.數(shù)列有最大值，無(wú)最小值【答案】ABD【解析】令，則，所以，令，得，又，可得，A正確；由，，所以，C錯(cuò)誤，由，且，B正確，由，得，所以，即，所以隨的增大而減小，故為正項(xiàng)單調(diào)遞減的無(wú)窮數(shù)列，且，故數(shù)列有最大值2，無(wú)最小值，D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知向量，若，則___________.【答案】【解析】由題設(shè).13.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，若的中線，且，則的面積為_(kāi)________.【答案】【解析】由，得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由，兩邊平方，所以，則.14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】根據(jù)題意作函數(shù)的圖象，如圖所示，令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與有三個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)由二次函數(shù)對(duì)稱性知，令，可得，則，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）若存在極值M，求證：.解：（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，故的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得，故上，上，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單增，沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增，存在極小值令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時(shí)取最大值0，所以恒成立，即.16.已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證:.解：（1）當(dāng)時(shí)，由及，得，當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)椋?，從而，，，綜上.（2）由，則，又，所以，.17.已知向量，函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，求t的值.解：（1）由題設(shè)，令，，可得，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）由y=fx圖象向左平移個(gè)單位，得，將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），則，所以圖象如下，由圖知，，令橫坐標(biāo)由小到大依次為，由題意，可得，所以.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)圖象上點(diǎn)到直線的最短距離；（2）若函數(shù)與的圖象存在公切線，求正實(shí)數(shù)a的最小值；（3）若恒成立，求a的取值范圍.解：（1）設(shè)與平行且與相切的直線，與的切點(diǎn)為，由題設(shè)，令，知，則M到直線的距離最短，所以.（2）設(shè)點(diǎn)是公切線在上的切點(diǎn)，則，則切線方程為，即，設(shè)點(diǎn)是公切線在上的切點(diǎn)，則，則切線方程為，即，綜上，，，消去得，設(shè)函數(shù)，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以最大值為，則，即，所以，實(shí)數(shù)a的最小值為.（3）由，從而恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，則在上遞減且，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；所以得最大值為，則的取值范圍是.19.對(duì)于由有限個(gè)自然數(shù)組成的集合A，定義集合，記集合的元素個(gè)數(shù)為.定義變換T，變換T將集合A變換為集合（1）若，求；（2）若集合A有n個(gè)元素，證明：的充要條件是集合A中的所有元素能組成公差不為0的等差數(shù)列；（3）若且{1,2,3,...,25,26}，求元素個(gè)數(shù)最少的集合A.解：（1）若集合，則，；（2）令，不妨設(shè).充分性：設(shè)是公差為的等差數(shù)列，則，，且.所以共有個(gè)不同的值，即，必要性：若，因?yàn)?，，所以中有個(gè)不同的元素，，…，，，，…，，任意的值都與上述某一項(xiàng)相等，又，且，.所以，所以是等差數(shù)列，且公差不為0.（3）首先證明：.假設(shè)，中的元素均大于1，從而，因此，，故，與矛盾，因此，設(shè)的元素個(gè)數(shù)為，的元素個(gè)數(shù)至多為，從而的元素個(gè)數(shù)至多為.若，則元素個(gè)數(shù)至多為5，從而的元素個(gè)數(shù)至多為，而中元素至少為26，因此，假設(shè)A有三個(gè)元素，設(shè)，且，則1，2，，，，，，，，從而.若，中比4大的最小數(shù)為，則與題意矛盾，故.集合中最大數(shù)為，由于，故，從而，（?。┤?，且，此時(shí)1，2，，，8，9，，，，有，，在22與28之間可能的數(shù)為，，此時(shí)23，24，25，26不能全在中，不滿足題意（ⅱ）若，且，此時(shí)1，2，，，8，9，，，，有，若，則或，解得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，，且滿足題意.故元素個(gè)數(shù)最少的集合A為.江西省九校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故，故,故選：B.2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.45 B.C. D.【答案】C【解析】由圖得，則，所以，虛部為.故選：C3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為（）A.4 B. C.1 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則，又，所以，易知的公差，故，所以.故選：D4.已知，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】，，，則.故選：A5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故，即是奇函?shù)，若，可得，故，可得，故充分性成立，令，，此時(shí)滿足，但不滿足，故必要性不成立，故A正確.故選：A6.已知α為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，因?yàn)殇J角，，所以.故選：B7.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，結(jié)合圖象知，，且，則，令，則，又在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，，故選：B8.若函數(shù)定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由f2x+1偶函數(shù)，知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因圖象關(guān)于點(diǎn)2,3成中心對(duì)稱，則①，且，所以，所以是周期為的周期函數(shù).令代入①，可得，而，所以，綜上，.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為15 D.的最小值是9【答案】ACD【解析】因?yàn)椋瑒t，又，，共線，所以，A正確；由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)有最小值，C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：ACD10.關(guān)于函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.是偶函數(shù) B.的值域是C.在上單調(diào)遞增 D.都是的極值點(diǎn)【答案】BC【解析】對(duì)于A，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以A不正確.對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，所以B正確；對(duì)于C，由，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，所以C正確.對(duì)于D，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以D不正確.故選：BC11.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.任意的，C.存在，使得D.數(shù)列有最大值，無(wú)最小值【答案】ABD【解析】令，則，所以，令，得，又，可得，A正確；由，，所以，C錯(cuò)誤，由，且，B正確，由，得，所以，即，所以隨的增大而減小，故為正項(xiàng)單調(diào)遞減的無(wú)窮數(shù)列，且，故數(shù)列有最大值2，無(wú)最小值，D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知向量，若，則___________.【答案】【解析】由題設(shè).13.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，若的中線，且，則的面積為_(kāi)________.【答案】【解析】由，得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，由，兩邊平方，所以，則.14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】根據(jù)題意作函數(shù)的圖象，如圖所示，令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與有三個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)由二次函數(shù)對(duì)稱性知，令，可得，則，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）若存在極值M，求證：.解：（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，故的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得，故上，上，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單增，沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增，存在極小值令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時(shí)取最大值0，所以恒成立，即.16.已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證:.解：（1）當(dāng)時(shí)，由及，得，當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)椋?，從而，，，綜上.（2）由，則，又，所以，.17.已知向量，函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，求t的值.解：（1）由題設(shè)，令，，可得，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）由y=fx圖象向左平移個(gè)單位，得，將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），則，所以圖象如下，由圖知，，令橫坐標(biāo)由小到大依次為，由題意，可得，所以.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)圖象上點(diǎn)到直線的最短距離；（2）若函數(shù)與的圖象存在公切線，求正實(shí)數(shù)a的最小值；（3）若恒成立，求a的取值范圍.解：（1）設(shè)與平行且與相切的直線，與的切點(diǎn)為，由題設(shè)，令，知，則M到直線的距離最短，所以.（2）設(shè)點(diǎn)是公切線在上的切點(diǎn)，則，則切線方程為，即，設(shè)點(diǎn)是公切線在上的切點(diǎn)，則，則切線方程為，即，綜上，，，消去得，設(shè)函數(shù)，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以最大值為，則，即，所以，實(shí)數(shù)a的最小值為.（3）由，從而恒成立，設(shè)，