2025屆浙江省金華市高三上學期一?？荚嚁?shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華市2025屆高三上學期一?？荚嚁?shù)學試題選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以.故選：A.2.在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.3.若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】考慮條件.這意味著a和b要么相等，要么互為相反數(shù).考慮等式.由于是單調(diào)遞增的，所以當且僅當a=b.如果a=b，那么必然成立.但是，如果，a和b可以互為相反數(shù)，此時不一定成立.因此，我們得出結(jié)論：是的必要不充分條件.故選：B.4.已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，連接，過作垂直于拋物線的準線，垂足為，作圖如下：由拋物線定義可知，解得，故拋物線方程為：.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，即，解得，所以，故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則以下可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因為，則，由圖象可知：在內(nèi)有兩個極值點，即有兩個不同正根，則，可得，對比選項可知：ABD錯誤，C正確.故選：C.7.某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個作為自己的辯題進行資料準備，已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（）A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)【答案】A【解析】設(shè)選辯題A的男生有x人，選辯題A的女生有y人，選辯題B的男生有m人，選辯題B的女生有n人.已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即；又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，即.將這兩個不等式相加得到：，兩邊同時消去得到，即.這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).故選：A.8.已知正方體的棱長為，為正方體內(nèi)部一動點，球為正方體內(nèi)切球，過點作直線與球交于，兩點，若的面積最大值為4，則滿足條件的點形成的幾何體體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為正方體的棱長為，則正方體內(nèi)切球球的半徑，所以，因為，則，若的面積最大值為4，即，由于在上，則，則滿足條件的點形成的幾何體為正方體去掉以為球心，2為半徑的球體，故其體積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】向量，A．，故正確，符合題意；B．，，則，所以，當時，，正確，符合題意；C．若，則，解得，故錯誤，不符合題意；D．若，則，解得，故錯誤，不符合題意；故選：AB．10.設(shè)函數(shù)，則（）A.的圖象有對稱軸 B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】ABD【解析】∵，∴是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故A正確；∵，∴是函數(shù)的一個周期，故B正確；，∵，，顯然，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯誤；，∴的圖象關(guān)于點中心對稱.故選：ABD.11.從棱長為1個單位長度的正四面體的一頂點出發(fā)，每次均隨機沿一條棱行走1個單位長度，設(shè)行走次時恰好為第一次回到點的概率為，恰好為第二次回到點的概率為，則（）A. B.C.時，為定值 D.數(shù)列的最大項為【答案】ACD【解析】由題意得對于任意一次行走，到達其他三個點概率均為，若要行走次時恰好第一次回到點，則第1、2次均不到點A,所以，故A選項正確；若要行走次時恰好第二次回到點，則第2次必須回到點A，概率為，故B選項錯誤；若要行走次時恰好為第一次回到點，則次均未到達點A，所以，所以為定值，故C選項正確；當時，；當時，設(shè)第次第一次到達點A，第n次恰好第二次到達點A，由于第1次和第次的行走不用限制，所以此時概率為，所以，令，解得，所以，所以和為最大值，故D選項正確.故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則______.【答案】11【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，所以.13.從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任選三個數(shù)，至少有兩個數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有______種【答案】16【解析】從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任選三個數(shù)，共有種選法，其中三個數(shù)都不相鄰的，有135，136，146，246這4種，所以至少有兩個數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有20-4=16種.14.已知雙曲線：，為右焦點，斜率為的直線與交于，兩點，設(shè)點，，其中，過且斜率為的直線與過且斜率為1的直線交于點，直線交于，兩點，且點為線段的中點，則點的坐標為______.【答案】【解析】設(shè)，，，則直線：，直線：，兩直線聯(lián)立，解得即.設(shè)中點為，則，因，所以三點共線.因為，且，所以，所以.同理知，即，設(shè)，則，解得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.解：（1），由正弦定理得：，，∵，，∵，.（2）當為頂角，則底邊，，當為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長為或.16.如圖，三棱錐中，平面，，為中點，為中點，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連，由為中點，為中點，得，又平面，平面，所以平面.（2）設(shè)，由平面，平面，得，則，取中點，則，又平面，則平面，又平面，于是平面平面，又平面面，過點在平面內(nèi)作于，于是平面，連，則為直線與平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，，時，f'x<0，x∈1,+∴fx的單調(diào)增區(qū)間為1,+∞，單調(diào)減區(qū)間為（2），時，f'x<0，時，f，又，，令，則，顯然單調(diào)遞減，且，，必然存在唯一使得，當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，由于時，，成立，當時，單調(diào)遞減，且，因此成立，綜上，成立的范圍為.18.已知和為橢圓：上兩點.（1）求橢圓的離心率；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值.解：（1）由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓的離心率為.（2）（i）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)，，過點的直線為，與聯(lián)立得：恒成立.所以，得，所以，直線的方程為：.（ii）由（i）可知，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得，記以為直徑的圓與軸交于，兩點，由圓的弦長公式可知，所以，為定值.19.已知正邊形的每個頂點上有一個數(shù).定義一個變換，其將正邊形每個頂點上的數(shù)變換成相鄰兩個頂點上的數(shù)的平均數(shù)，比如：記個頂點上的個數(shù)順時針排列依次為，則，為整數(shù)，，，.設(shè)（共個，表示次變換）（1）若，，，求，，，；（2）對于正邊形，若，，證明：；（3）設(shè)，，，證明：存在，使得不全為整數(shù).解：（1）當時，的變換如下：所以，，，.（2），，成等差數(shù)列，令公差為，又，則，，則（3）反證法，假設(shè)對任意，均為整數(shù)由于，為整數(shù)，故與的奇偶性相同，故同奇偶，同奇偶，而，中有個奇數(shù)，個偶數(shù)，故可不妨設(shè)為奇數(shù)，設(shè)為偶數(shù).，又為整數(shù)，且或，和除4的余數(shù)相同同理，和除4的余數(shù)相同，，和除4的余數(shù)相同.除4的余數(shù)相同.，和除4的余數(shù)相同，和除4的余數(shù)相同.，和除4的余數(shù)相同除4的余數(shù)相同.綜上，除以4的余數(shù)都相同，而，矛盾！假設(shè)不成立，所以存在，使不全為整數(shù).浙江省金華市2025屆高三上學期一模考試數(shù)學試題選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以.故選：A.2.在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.3.若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】考慮條件.這意味著a和b要么相等，要么互為相反數(shù).考慮等式.由于是單調(diào)遞增的，所以當且僅當a=b.如果a=b，那么必然成立.但是，如果，a和b可以互為相反數(shù)，此時不一定成立.因此，我們得出結(jié)論：是的必要不充分條件.故選：B.4.已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，連接，過作垂直于拋物線的準線，垂足為，作圖如下：由拋物線定義可知，解得，故拋物線方程為：.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，即，解得，所以，故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則以下可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因為，則，由圖象可知：在內(nèi)有兩個極值點，即有兩個不同正根，則，可得，對比選項可知：ABD錯誤，C正確.故選：C.7.某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個作為自己的辯題進行資料準備，已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（）A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)【答案】A【解析】設(shè)選辯題A的男生有x人，選辯題A的女生有y人，選辯題B的男生有m人，選辯題B的女生有n人.已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即；又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，即.將這兩個不等式相加得到：，兩邊同時消去得到，即.這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).故選：A.8.已知正方體的棱長為，為正方體內(nèi)部一動點，球為正方體內(nèi)切球，過點作直線與球交于，兩點，若的面積最大值為4，則滿足條件的點形成的幾何體體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為正方體的棱長為，則正方體內(nèi)切球球的半徑，所以，因為，則，若的面積最大值為4，即，由于在上，則，則滿足條件的點形成的幾何體為正方體去掉以為球心，2為半徑的球體，故其體積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】向量，A．，故正確，符合題意；B．，，則，所以，當時，，正確，符合題意；C．若，則，解得，故錯誤，不符合題意；D．若，則，解得，故錯誤，不符合題意；故選：AB．10.設(shè)函數(shù)，則（）A.的圖象有對稱軸 B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】ABD【解析】∵，∴是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故A正確；∵，∴是函數(shù)的一個周期，故B正確；，∵，，顯然，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯誤；，∴的圖象關(guān)于點中心對稱.故選：ABD.11.從棱長為1個單位長度的正四面體的一頂點出發(fā)，每次均隨機沿一條棱行走1個單位長度，設(shè)行走次時恰好為第一次回到點的概率為，恰好為第二次回到點的概率為，則（）A. B.C.時，為定值 D.數(shù)列的最大項為【答案】ACD【解析】由題意得對于任意一次行走，到達其他三個點概率均為，若要行走次時恰好第一次回到點，則第1、2次均不到點A,所以，故A選項正確；若要行走次時恰好第二次回到點，則第2次必須回到點A，概率為，故B選項錯誤；若要行走次時恰好為第一次回到點，則次均未到達點A，所以，所以為定值，故C選項正確；當時，；當時，設(shè)第次第一次到達點A，第n次恰好第二次到達點A，由于第1次和第次的行走不用限制，所以此時概率為，所以，令，解得，所以，所以和為最大值，故D選項正確.故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則______.【答案】11【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，所以.13.從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任選三個數(shù)，至少有兩個數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有______種【答案】16【解析】從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任選三個數(shù)，共有種選法，其中三個數(shù)都不相鄰的，有135，136，146，246這4種，所以至少有兩個數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有20-4=16種.14.已知雙曲線：，為右焦點，斜率為的直線與交于，兩點，設(shè)點，，其中，過且斜率為的直線與過且斜率為1的直線交于點，直線交于，兩點，且點為線段的中點，則點的坐標為______.【答案】【解析】設(shè)，，，則直線：，直線：，兩直線聯(lián)立，解得即.設(shè)中點為，則，因，所以三點共線.因為，且，所以，所以.同理知，即，設(shè)，則，解得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.解：（1），由正弦定理得：，，∵，，∵，.（2）當為頂角，則底邊，，當為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長為或.16.如圖，三棱錐中，平面，，為中點，為中點，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連，由為中點，為中點，得，又平面，平面，所以平面.（2）設(shè)，由平面，平面，得，則，取中點，則，又平面，則平面，又平面，于是平面平面，又平面面，過點在平面內(nèi)作于，于是平面，連，則為直線與平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，，時，f'x<0，x∈1,+∴fx的單調(diào)增區(qū)間為1,+∞，單調(diào)減區(qū)間為（2），時，f'x<0，時，f，又，，令，則，顯然單調(diào)遞