七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見(jiàn)幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題03 平行線中的拐點(diǎn)模型之牛角模型（解析版）

專題03平行線中的拐點(diǎn)模型之牛角模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（牛角模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：牛角模型圖1圖2如圖1，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3如圖2，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3-∠2=180°【模型證明】在圖1中，過(guò)E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°圖1圖2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在圖2中，過(guò)E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，或延長(zhǎng)EB交CD于點(diǎn)F等。例1．（2023·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為【答案】180°【分析】延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，如圖所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案為180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例2．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，已知，，則的度數(shù)是()

A． B． C． D．【答案】D【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由，利用兩直線平行，同位角相等可求出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)可求出的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．，，．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作，則，由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)一步推出．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·湖北洪山·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點(diǎn)，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為_(kāi)_____．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的關(guān)系，然后即可用a表示∠P．【詳解】解：延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案為：∠P＝360°﹣2a．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認(rèn)真找出角的關(guān)系是關(guān)鍵．例5．（2023下·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在上方時(shí)，猜想，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，平分，連接，，若，，的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，從而有，則可求得，，即可求；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可求解；（3）由三角形外角性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，再由角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合（2）的結(jié)論及所給的條件即可求．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作，如圖，

，，，，，，，；（2）解：，理由如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖，，，，；（3）解：如圖，是的外角，，，，平分，，由（2）可得：，，，，即：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角平分線的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．例6．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點(diǎn)在上，平分，交于點(diǎn)，探究的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，結(jié)合已知即可得出，據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，，由角平分線的定義得，，由（1）可知∥，則，，然后由得，再四邊形的內(nèi)角和等于得，即，據(jù)此可得出，的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)，則，，由∥得，而，然后根據(jù)得，據(jù)此可求出，則，最后根據(jù)周角的定義可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，

，，∥．（2）解：，的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：設(shè)，，平分，，，，，由（1）可知：∥，，，，，，由四邊形的內(nèi)角和等于得：，即：，，．（3）解：設(shè)，，，由（1）可知：∥，，，，，，，解得：，，，根據(jù)周角的定義得：，．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)：兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．例7．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)為之外任意一點(diǎn)．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖2，若，則_______________．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；[拓展變式]．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）理由如下：過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，則．．，．

（2）．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，則．，．，．【拓展變式】過(guò)點(diǎn)作，則．，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則的大小為()

A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形的性質(zhì)得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，因此，由平行線的性質(zhì)得到．【詳解】解：，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．2．（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，，，

，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的兩銳角互余以及兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，已知直線，，，則的度數(shù)為（

）

A．42° B．44° C．46° D．48°【答案】A【分析】證明，，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖，，，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)F作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，由得到，則，由，得到，則，，得到，又由得到，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某人把“抖空竹”的一個(gè)姿勢(shì)抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)得到，結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∵，，∴，故選B；

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．6．（2023下·湖南常德·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知直線a，b被直線c，d所截，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，先根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性質(zhì)得到，則由對(duì)頂角相等可得．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選C．

7．（2023下·重慶九龍坡·七年級(jí)校考期中）如圖，，，，，則為()

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)E作，過(guò)H作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過(guò)E作，過(guò)H作，∵，∴，∵，∴，，∴，同理∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，關(guān)鍵是作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)解答．8．（2023下·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)E為上方一點(diǎn)，、分別為，的角平分線，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過(guò)G作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可推導(dǎo)出，，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)推導(dǎo)出，則，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)G作，則，

∵，∴，，∴，∴，∵、分別為，的角平分線，∴，，∵，∴，即，∵，∴，∴，則，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，添加平行線，利用平行線的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．9．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，，，，則的度數(shù)為．

【答案】/100度【分析】過(guò)點(diǎn)做平行于即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)做平行于，如圖所示：

∵∴∵，∴∵∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．過(guò)拐點(diǎn)作平行線是解題關(guān)鍵．10．（2022下·西藏那曲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，則，，的關(guān)系是.

【答案】【分析】過(guò)作，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，，的關(guān)系．【詳解】解：過(guò)作，

，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．11．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“抖空竹”是我國(guó)獨(dú)有的一項(xiàng)民族傳統(tǒng)健身項(xiàng)目，歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在我國(guó)有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊(yùn)．圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間，若將圖1抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，已知，，，則度．

【答案】85【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可求出，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，

∵，，∴．∵，∴．故答案為：85．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．正確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．（2023下·寧夏中衛(wèi)·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，，那么°．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由三角形外角性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：，，是的一個(gè)外角，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求角度問(wèn)題，涉及平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找到各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2023·上海浦東新·?？既＃┤鐖D，已知，點(diǎn)A在上，點(diǎn)B和D在上，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，，，則的度數(shù)是．

【答案】/40度【分析】利用平行線的性質(zhì)求出，再利用三角形外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，直線，有一個(gè)含的直角三角板的直角頂點(diǎn)A在直線上，若邊與直線的夾角，則邊與直線的夾角．

【答案】40【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意可得，，利用平角的定義求得，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，由平行線的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

由題意可得，，，，，，在中，，∵，．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、平角的定義、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．15．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在，之間，和的角平分線相交于點(diǎn)，的角平分線交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）．【答案】①②【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，同理可得，即可判斷①②，根據(jù)已知條件設(shè)，得出，不能得出，故③錯(cuò)誤，進(jìn)而得出，而，不一定成立，故④錯(cuò)誤，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴∴，∴，故①正確；同理可得，∵分別為和的角平分線∴，∴，故②正確；如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，∵，∴∵∴∴，∵是的角平分線，∴，設(shè)，∴∴，∵∴即不能得出，故③錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，∴,∵，∴，∴而不一定成立，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）直線，線段分別與，交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，的平分線交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】由垂直關(guān)系及可求得的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可求得的度數(shù)，由角平分線的定義求得的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴；∵，∴，∴；∵平分，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，互余關(guān)系，角平分線的定義等知識(shí)，其中平行線性質(zhì)的掌握是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，，，求的度數(shù).【答案】.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，又因?yàn)?，得到，所?【詳解】因?yàn)?，結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，，即，，【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).18．（2023下·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線，M、N分別是直線上的點(diǎn)．

(1)在圖①中，若，則．(2)在圖②中，請(qǐng)判斷之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)在圖③中，平分，平分，且，求．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，然后相加即可得解；（2）結(jié)論：．過(guò)點(diǎn)F作直線，利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）利用（1）（2）結(jié)論構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作直線．∵，∴，

又∵，∴．∴，∴，∵，∴．故答案為：；（2）解：結(jié)論：．理由：如圖中，過(guò)點(diǎn)E作直線．∴，又∵，∴．∴，∴；（3）解：∵平分，∴，∵平分，∴，設(shè)，由（1），得，由（2），得，又∵，∴，∴，即．∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．19．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，已知AB//CD，P是直線AB，CD外的一點(diǎn)，PF⊥CD于點(diǎn)F，PE交AB于點(diǎn)E，滿足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，當(dāng)PN到達(dá)PF時(shí)立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至EP后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)射線PN也停止運(yùn)動(dòng)．若射線PN、射線EM同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)射線PN平分∠EPF時(shí)，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當(dāng)直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時(shí)，則t＝．【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得答案；（2）①由角平分線的定義得∠EPN＝30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得答案；②利用三角形外角性質(zhì)列出方程，通過(guò)解方程即可得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如圖2，①當(dāng)PN平分∠EPF時(shí)，∠EPN＝30°時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝＝3（秒），此時(shí)ME也運(yùn)動(dòng)了3秒，∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN繼續(xù)運(yùn)動(dòng)至PF時(shí)，返回時(shí)，當(dāng)PN平分∠EPF時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間至＝9（秒）時(shí)，此時(shí)ME也運(yùn)動(dòng)了9秒，∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；當(dāng)?shù)诙蜳E運(yùn)動(dòng)至PF時(shí)，當(dāng)PN平分∠EPF時(shí)，運(yùn)動(dòng)了（秒）∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合題意；綜上所述，∠MEP的度數(shù)為60°或120°；②如圖3，當(dāng)0≤t≤6時(shí)，此時(shí)∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，當(dāng)150°﹣20t＝120°時(shí)，t＝，當(dāng)150°﹣20t＝60°時(shí)，t＝；當(dāng)6＜t≤12時(shí)，此時(shí)∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，當(dāng)12＜t≤15時(shí)，此時(shí)∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°時(shí)，t＝（不合題意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合題意）故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．20．（2022下·河南三門(mén)峽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）“一條彩虹路，盡覽紅葉美，”澠池縣以打造最美旅游公路為重點(diǎn)，弘揚(yáng)地域文化、彰顯仰韶特色．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知，，，求的度數(shù)．小明同學(xué)的思路：過(guò)點(diǎn)P作，點(diǎn)G在點(diǎn)P的左側(cè)，進(jìn)而推出，由平行線的性質(zhì)來(lái)求，得______．（2）圖2、圖3均是由一塊直角三角尺和一把直尺拼成的圖形，，，與相交于點(diǎn)E，有一動(dòng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，，記，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，點(diǎn)G在點(diǎn)P的左側(cè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可；（2）①過(guò)點(diǎn)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可；②過(guò)點(diǎn)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作，點(diǎn)G在點(diǎn)P的左側(cè)．

圖①∵，∴．∴，．又∵，，∴．故答案為：；（2）①與，之間的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：如圖①，過(guò)點(diǎn)P作．∵，∴．∴，．∴．∴與，之間的數(shù)量關(guān)系為．②與，之間的數(shù)量關(guān)系為．理由：如圖②，過(guò)點(diǎn)P作．

圖②∵，∴∴，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及平行公理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及平行公理，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵．21．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，的是兩根釘在木板上的平行木條，將一根橡皮筋固定在兩點(diǎn)上，是橡皮筋上一點(diǎn)，將橡皮筋拉緊后，隨意拉動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)在平行木條中間時(shí)，請(qǐng)你探索之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(2)若將點(diǎn)拉至木條的上方，且E，A，C三點(diǎn)不共線．上述結(jié)論是否仍成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿餍碌臄?shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(3)繼續(xù)將點(diǎn)拉至木條下方，且E，A，C三點(diǎn)不共線，你又能得出怎樣的結(jié)論？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

【答案】(1)和，理由見(jiàn)解析(2)不成立，理由見(jiàn)解析(3)；【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得出結(jié)論【詳解】（1）①理由：過(guò)E作的平行線，

∵，，∴，∴；∵∴②

理由：過(guò)E作的平行線，則，

∴，（2）不成立，①如圖所示，．理由如下：如圖，∵，∴∵是的外角，∴，∴．②如圖所示，．

理由如下：如圖，∵，∴，∵是的外角，∴，∴．（3）①如圖所示，．理由如下：如圖，過(guò)E作，則，∴，∵，∴．②如圖所示，．理由如下：如圖，過(guò)E作，則，∴，∵，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2023下·湖南張家界·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況．①如圖2寫(xiě)出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)①；證明見(jiàn)詳解；②；證明見(jiàn)詳解【分析】（1）如圖4過(guò)點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過(guò)點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；②如圖6過(guò)點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．【詳解】（1）解：如圖4所示：過(guò)點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過(guò)點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過(guò)點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對(duì)應(yīng)的內(nèi)錯(cuò)角是解決本題的關(guān)鍵．23