（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第02課 函數(shù)的性質(zhì)（教師版）

第第頁(yè)第02課函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值常用結(jié)論1．?x1，x2∈D且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)．2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)在函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域上，如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調(diào)性相同，那么y＝f(φ(x))單調(diào)遞增；如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調(diào)性相反，那么y＝f(φ(x))單調(diào)遞減．考向一函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間【例1】函數(shù)eqy＝log\s\do(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】(1，＋)【解析】由題意，令x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1，因?yàn)閠＝x2＋2x－3在(1，＋)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)eqy＝log\s\do(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋)．【變式1-1】函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(－x2＋x＋6)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.(－2，3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【答案】A【解析】由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函數(shù)的定義域?yàn)?－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，則y＝logeq\f(1,2)t，易知其為減函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知本題等價(jià)于求函數(shù)t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的單調(diào)遞減區(qū)間.利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t＝－x2＋x＋6在定義域(－2，3)上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).方法總結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法與判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法類(lèi)似，有定義法、圖像法、利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法等．值得引起高度重視的是：(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求單調(diào)區(qū)間，必須先求出定義域；(2)對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以直接利用已知結(jié)論求解考向二函數(shù)的最值【例2】設(shè)m∈R，若函數(shù)f(x)＝|x3－3x－2m|在區(qū)間[0，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值．【解析】令g(x)＝x3－3x，0≤x≤2，則g′(x)＝3x2－3.令g′(x)＝0，則x＝1.列表如下：x0(0，1)1(1，2)2g′(x)－0＋g(x)0↘－2↗2故g(x)min＝g(1)＝－2，g(x)max＝g(2)＝2，所以x3－3x－2m∈[－2－2m，2－2m].①當(dāng)－1≤m≤1時(shí)，|－2－2m|＝4或|2－2m|＝4，解得m＝±1；②當(dāng)m<－1時(shí)，f(x)max＝f(2)＝|2－2m|>4；③當(dāng)m>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝|－2－2m|>4.綜上，實(shí)數(shù)m的值為－1或1.【變式2-1】設(shè)，函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，結(jié)合不等式求得其最小值為，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的最小值為，列出不等式組，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，要使得函數(shù)的最小值為，則滿(mǎn)足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.方法總結(jié)：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)行討論求解求解.【變式2-2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[0，eq\f(1,2)).【解析】：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝2x－1≥1，∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域?yàn)镽，∴當(dāng)x＜1時(shí)，(1－2a)x＋3a必須取遍(－∞，1)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＞0，,1－2a＋3a≥1，))解得0≤a＜eq\f(1,2).【變式2-3】函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化原函數(shù)為，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域，即得解【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，又，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以只需在上是減函數(shù)，因此，解得.故答案為：.函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱(chēng)性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．3．函數(shù)對(duì)稱(chēng)性常用結(jié)論(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(－x)＝f(2a＋x)?f(x)＝f(2a－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)．(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱(chēng)．f(a＋x)＝－f(b－x)?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(a＋b,2)，0)對(duì)稱(chēng)．考向三函數(shù)的周期性及應(yīng)用【例3】已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】-2【解析】因?yàn)閳D像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，，故是以8為周期的周期函數(shù)，.故答案為：.【變式3-1】函數(shù)滿(mǎn)足，且在區(qū)間上，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足()，所以函數(shù)的最小正周期是4．因?yàn)樵趨^(qū)間上，，所以．【變式3-2】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．當(dāng)x<0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則f(6)=（）A．?2 B．?1 C．0 D．2【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以．而，所以，故選D．【變式3-3】若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))則f(2023)＝________.【答案】－1【解析】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期為6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.方法總結(jié)：(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期為T(mén)．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(3)在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用．

(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隱含周期的條件：，，，，，等.考向四函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、周期性的應(yīng)用【例4】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個(gè)命題：甲：f(x)是奇函數(shù)；乙：f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)；丙：f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減；丁：函數(shù)f(x)的周期為2．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】由函數(shù)f(x)的特征可知：函數(shù)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，其中該區(qū)間的寬度為2，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，與函數(shù)f(x)的周期為2互相矛盾，即：丙和丁中有一個(gè)為假命題，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，則f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，即丁為假命題，由于只有一個(gè)假命題，故答案選D．【變式4-1】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿(mǎn)足對(duì)任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．【解析】(1)由題意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．因?yàn)閒[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝0，所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，即f(x)＝f(－x)，所以f(x)為偶函數(shù)．(3)由題意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝f(1)＝0，所以f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))).不妨設(shè)x1>x2>0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))＝f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f(x)為偶函數(shù)．所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減．因?yàn)閒(x－1)<2＝f(16)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－16<x－1<16.,x－1≠0，))解得－15<x<1或1<x<17，所以該不等式的解集為(－15，1)∪(1，17).【變式4-2】已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由圖可得時(shí)，時(shí)，時(shí)；又當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，不等式等價(jià)于或，所以或或，即不等式的解集為；故選：A.【變式4-3】設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，，，所以，故．故選：D方法總結(jié)：1.已知函數(shù)的奇偶性，反求參數(shù)的取值，有兩種思路：一種思路是根據(jù)定義，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，建立起關(guān)于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數(shù)所滿(mǎn)足條件，再驗(yàn)證其充分性得出結(jié)果．2.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間有著緊密的聯(lián)系，奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反，掌握這一關(guān)系，對(duì)于求解有關(guān)奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視．函數(shù)的性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.2.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.3.設(shè)函數(shù)，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會(huì)有，從而求得結(jié)果.詳解：將函數(shù)的圖像畫(huà)出來(lái)，觀察圖像可知會(huì)有，解得，所以滿(mǎn)足的x的取值范圍是，故選D.4.已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】，得為奇函數(shù)，，所以在R上是增函數(shù)．選A．5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或，所以的定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D.6.(多選)如果函數(shù)eqf(x)＝log\s\do(a)|x－1|在(0，1)上是減函數(shù)，那么A．f(x)在(1，＋∞)上遞增且無(wú)最大值B．f(x)在(1，＋∞)上遞減且無(wú)最小值C．f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)【答案】AD【解析】由|x－1|＞0得，函數(shù)eqy＝log\s\do(a)|x－1|的定義域?yàn)閧x|x≠1}．設(shè)g(x)＝|x－1|＝EQ\B\lc\{(\a\al(\l(x－1，x＞1，),\l(－x＋1，x＜1，)))則在(－，1)上為減函數(shù)，在(1，＋)上為增函數(shù)，且g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)閒(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是減函數(shù)，所以a＞1，所以eqf(x)＝log\s\do(a)|x－1|在(1，＋∞)上單調(diào)遞增且無(wú)最大值，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；又feq(－x)＝log\s\do(a)|－x－1|＝log\s\do(a)|x＋1|≠f(x)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；綜上，答案選AD．7.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：依題意得，，由，即，得，所以當(dāng)時(shí)，所以.故選：D8.設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以等價(jià)于．又在上單調(diào)遞增，