畫法幾何 - 開啟工程制圖的鑰匙

畫法幾何——開啟工程制圖的鑰匙土木工程專業(yè)基礎(chǔ)俯瞰香港，引入主題投影在生活與工程中無處不在，在繁華的香港，建筑的影子映射在地面，如同大自然繪制的工程草圖。這其中蘊(yùn)含著投影的奧秘，而我們將通過畫法幾何，深入探索工程制圖的基礎(chǔ)原理。香港城市俯瞰圖，陽光灑在建筑上，地面形成清晰影子。目錄點(diǎn)、線、面的投影立體的投影組合體投影總結(jié)與回顧課后思考與練習(xí)點(diǎn)、線、面的投影-投影的基本概念投影定義與原理投影是一種通過一組投影線，將物體投射到投影面上，從而獲得圖形的方法。其核心原理基于光線傳播的特性，就像陽光照射物體形成影子。在工程制圖中，我們利用這一原理，將三維物體準(zhǔn)確地表達(dá)在二維平面上。光線照射物體形成影子的原理圖，配合文字說明投影線、物體、投影面的關(guān)系。點(diǎn)、線、面的投影-投影的分類中心投影中心投影的投影線匯交于一點(diǎn)，類似燈光照射物體的效果。其特點(diǎn)是能產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的立體感，但由于圖形會(huì)隨物體與投影中心距離變化而改變，一般不用于精確的工程制圖，常用于建筑效果圖等領(lǐng)域，以展現(xiàn)建筑的直觀視覺效果。燈光下建筑模型的投影照片，體現(xiàn)近大遠(yuǎn)小的效果。平行投影-斜投影平行投影中，投影線相互平行。斜投影的投影線與投影面傾斜，它能在一定程度上反映物體的形狀和尺寸，但度量性較差，在工程中應(yīng)用相對(duì)較少。斜投影的示意圖，標(biāo)注投影線與投影面的傾斜關(guān)系。平行投影-正投影正投影是投影線垂直于投影面的平行投影。它具有良好的度量性，能準(zhǔn)確反映物體的實(shí)際形狀和尺寸，因此在工程制圖中被廣泛應(yīng)用。我們后續(xù)學(xué)習(xí)的畫法幾何，主要基于正投影展開。正投影的示意圖，展示物體通過正投影在投影面上的精確成像。點(diǎn)、線、面的投影-點(diǎn)的投影-兩投影面體系體系構(gòu)成兩投影面體系由水平投影面（H面）和正立投影面（V面）組成，它們相互垂直，交線稱為OX軸。兩投影面體系的三維示意圖，清晰標(biāo)注H面、V面和OX軸。點(diǎn)的投影規(guī)律空間一點(diǎn)A在H面的投影為a，在V面的投影為a'。點(diǎn)的投影規(guī)律為：點(diǎn)的正面投影a'和水平投影a的連線垂直于OX軸；點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離，等于空間點(diǎn)A到V面的距離；點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離，等于空間點(diǎn)A到H面的距離。點(diǎn)A在兩投影面體系中的投影圖，詳細(xì)標(biāo)注各點(diǎn)及距離關(guān)系。點(diǎn)、線、面的投影-點(diǎn)的投影-三投影面體系體系擴(kuò)展為了更全面地表達(dá)物體的形狀，引入側(cè)立投影面（W面），與H面、V面相互垂直，形成三投影面體系。H面與W面的交線為OY軸，V面與W面的交線為OZ軸，三軸交點(diǎn)為原點(diǎn)O。三投影面體系的三維示意圖，清晰標(biāo)注H面、V面、W面、OX軸、OY軸、OZ軸和原點(diǎn)O。點(diǎn)的投影規(guī)律-三等關(guān)系長對(duì)正：點(diǎn)的水平投影和正面投影在X軸方向上的坐標(biāo)相等，即長度相等且相互對(duì)齊。高平齊：點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影在Z軸方向上的坐標(biāo)相等，即高度相等且相互平齊。寬相等：點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影在Y軸方向上的坐標(biāo)相等，即寬度相等。點(diǎn)在三投影面體系中的投影圖，通過坐標(biāo)標(biāo)注和連線，清晰展示長對(duì)正、高平齊、寬相等的關(guān)系。點(diǎn)、線、面的投影-直線的投影-直線的分類與投影特性一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。其投影特性為：三個(gè)投影都傾斜于投影軸，且都不反映實(shí)長和直線與投影面的真實(shí)傾角。一般位置直線的立體圖和投影圖，標(biāo)注直線與投影面的傾斜關(guān)系及投影特點(diǎn)。投影面平行線-正平線平行于V面，傾斜于H面和W面的直線為正平線。其投影特性為：正面投影反映實(shí)長，且與OX軸的夾角反映直線與H面的傾角α，與OZ軸的夾角反映直線與W面的傾角γ；水平投影平行于OX軸，側(cè)面投影平行于OZ軸，但都不反映實(shí)長。正平線的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注實(shí)長、傾角及投影關(guān)系。投影面平行線-水平線平行于H面，傾斜于V面和W面的直線為水平線。其投影特性為：水平投影反映實(shí)長，且與OX軸的夾角反映直線與V面的傾角β，與OY軸的夾角反映直線與W面的傾角γ；正面投影平行于OX軸，側(cè)面投影平行于OY軸，但都不反映實(shí)長。水平線的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注實(shí)長、傾角及投影關(guān)系。投影面平行線-側(cè)平線平行于W面，傾斜于H面和V面的直線為側(cè)平線。其投影特性為：側(cè)面投影反映實(shí)長，且與OZ軸的夾角反映直線與V面的傾角β，與OY軸的夾角反映直線與H面的傾角α；水平投影平行于OY軸，正面投影平行于OZ軸，但都不反映實(shí)長。側(cè)平線的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注實(shí)長、傾角及投影關(guān)系。投影面垂直線-正垂線垂直于V面，平行于H面和W面的直線為正垂線。其投影特性為：正面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影和側(cè)面投影反映實(shí)長，且分別垂直于OX軸和OZ軸。正垂線的立體圖和投影圖，標(biāo)注積聚性及實(shí)長投影。投影面垂直線-鉛垂線垂直于H面，平行于V面和W面的直線為鉛垂線。其投影特性為：水平投影積聚為一點(diǎn)；正面投影和側(cè)面投影反映實(shí)長，且分別垂直于OX軸和OY軸。鉛垂線的立體圖和投影圖，標(biāo)注積聚性及實(shí)長投影。投影面垂直線-側(cè)垂線垂直于W面，平行于H面和V面的直線為側(cè)垂線。其投影特性為：側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影和正面投影反映實(shí)長，且分別垂直于OY軸和OZ軸。側(cè)垂線的立體圖和投影圖，標(biāo)注積聚性及實(shí)長投影。點(diǎn)、線、面的投影-直線的投影-直線上的點(diǎn)點(diǎn)的投影規(guī)律若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的同面投影上，這是直線上點(diǎn)的從屬性。同時(shí)，點(diǎn)分直線段之比等于其投影分直線段投影之比，即定比性。利用這兩個(gè)特性，可判斷點(diǎn)是否在直線上，或在直線上確定點(diǎn)的投影。直線上點(diǎn)的投影示例圖，通過標(biāo)注線段比例和投影關(guān)系，說明從屬性和定比性。點(diǎn)、線、面的投影-平面的投影-平面的表示法幾何元素表示法不在同一直線上的三點(diǎn)：通過確定三個(gè)不共線的點(diǎn)，可以唯一確定一個(gè)平面。一直線和直線外一點(diǎn)：給定一條直線和直線外一點(diǎn)，可確定一個(gè)平面。相交兩直線：兩條相交直線確定一個(gè)平面。平行兩直線：兩條平行直線也能確定一個(gè)平面。平面圖形：如三角形、矩形等平面圖形，其邊界線構(gòu)成的平面即為該平面的表示。每種表示方法對(duì)應(yīng)一張示例圖，清晰展示幾何元素與平面的關(guān)系。點(diǎn)、線、面的投影-平面的投影-平面的分類與投影特性一般位置平面與三個(gè)投影面都傾斜的平面為一般位置平面。其投影特性為：三個(gè)投影均為類似形，不反映平面的實(shí)形和平面與投影面的真實(shí)傾角。一般位置平面的立體圖和投影圖，標(biāo)注平面與投影面的傾斜關(guān)系及投影特點(diǎn)。投影面平行面-水平面平行于H面，垂直于V面和W面的平面為水平面。其投影特性為：水平投影反映實(shí)形；正面投影和側(cè)面投影分別積聚為平行于OX軸和OY軸的直線。水平面的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注實(shí)形投影和積聚性投影。投影面平行面-正平面平行于V面，垂直于H面和W面的平面為正平面。其投影特性為：正面投影反映實(shí)形；水平投影和側(cè)面投影分別積聚為平行于OX軸和OZ軸的直線。正平面的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注實(shí)形投影和積聚性投影。投影面平行面-側(cè)平面平行于W面，垂直于H面和V面的平面為側(cè)平面。其投影特性為：側(cè)面投影反映實(shí)形；水平投影和正面投影分別積聚為平行于OY軸和OZ軸的直線。側(cè)平面的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注實(shí)形投影和積聚性投影。投影面垂直面-鉛垂面垂直于H面，傾斜于V面和W面的平面為鉛垂面。其投影特性為：水平投影積聚為一條傾斜于投影軸的直線，該直線與OX軸的夾角反映平面與V面的傾角β，與OY軸的夾角反映平面與W面的傾角γ；正面投影和側(cè)面投影為類似形。鉛垂面的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注積聚性投影、傾角及類似形投影。投影面垂直面-正垂面垂直于V面，傾斜于H面和W面的平面為正垂面。其投影特性為：正面投影積聚為一條傾斜于投影軸的直線，該直線與OX軸的夾角反映平面與H面的傾角α，與OZ軸的夾角反映平面與W面的傾角γ；水平投影和側(cè)面投影為類似形。正垂面的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注積聚性投影、傾角及類似形投影。投影面垂直面-側(cè)垂面垂直于W面，傾斜于H面和V面的平面為側(cè)垂面。其投影特性為：側(cè)面投影積聚為一條傾斜于投影軸的直線，該直線與OZ軸的夾角反映平面與V面的傾角β，與OY軸的夾角反映平面與H面的傾角α；水平投影和正面投影為類似形。側(cè)垂面的立體圖和投影圖，詳細(xì)標(biāo)注積聚性投影、傾角及類似形投影。立體的投影-基本立體投影-平面立體（棱柱與棱錐）棱柱結(jié)構(gòu)特征：棱柱由兩個(gè)互相平行且全等的底面和若干個(gè)側(cè)棱面組成，側(cè)棱線相互平行。投影特性：在與底面平行的投影面上，投影反映底面實(shí)形；在另外兩個(gè)投影面上，投影為矩形或由若干個(gè)矩形組成的圖形。表面取點(diǎn)：利用棱柱表面的積聚性，可直接求出點(diǎn)的投影。若點(diǎn)在一般位置的側(cè)棱面上，可通過作輔助線的方法求解。棱柱的立體圖、投影圖，標(biāo)注各部分名稱，展示表面取點(diǎn)示例。棱錐結(jié)構(gòu)特征：棱錐由一個(gè)底面和若干個(gè)具有公共頂點(diǎn)的側(cè)棱面組成，側(cè)棱線匯交于一點(diǎn)。投影特性：在與底面平行的投影面上，投影反映底面實(shí)形，其余投影為三角形或由若干個(gè)三角形組成的圖形。表面取點(diǎn)：若點(diǎn)在特殊位置的側(cè)棱面上，可利用積聚性求解；若在一般位置的側(cè)棱面上，常采用輔助線法，如過該點(diǎn)與錐頂作連線，或作平行于底面的輔助線。棱錐的立體圖、投影圖，標(biāo)注各部分名稱，展示表面取點(diǎn)示例。立體的投影-基本立體投影-曲面立體（圓柱、圓錐、圓球）圓柱結(jié)構(gòu)特征：圓柱由圓柱面、上底面和下底面組成，圓柱面可看作是一條直母線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。投影特性：在與軸線垂直的投影面上，投影為圓；在另外兩個(gè)投影面上，投影為矩形。表面取點(diǎn)：利用圓柱面的積聚性，可直接求出點(diǎn)的投影。若點(diǎn)在不可見的半圓柱面上，投影需注意可見性。圓柱的立體圖、投影圖，標(biāo)注各部分名稱，展示表面取點(diǎn)示例。圓錐結(jié)構(gòu)特征：圓錐由圓錐面和底面組成，圓錐面可看作是一條直母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。投影特性：在與軸線垂直的投影面上，投影為圓；在另外兩個(gè)投影面上，投影為等腰三角形。表面取點(diǎn)：常用輔助素線法或輔助圓法。輔助素線法是過錐頂與該點(diǎn)作連線，輔助圓法是過該點(diǎn)作平行于底面的輔助圓。圓錐的立體圖、投影圖，標(biāo)注各部分名稱，展示表面取點(diǎn)示例。圓球結(jié)構(gòu)特征：圓球由球面圍成，球面可看作是一條圓母線繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成。投影特性：三個(gè)投影均為圓，其直徑等于圓球的直徑。但需注意，三個(gè)投影圓分別是球面上不同方向輪廓素線圓的投影。表面取點(diǎn)：過該點(diǎn)在球面上作輔助圓，輔助圓的直徑應(yīng)小于等于球的直徑。通過輔助圓的投影求解點(diǎn)的投影。圓球的立體圖、投影圖，標(biāo)注各部分名稱，展示表面取點(diǎn)示例。立體的投影-立體表面交線-截交線概述截交線定義與性質(zhì)截交線是平面與立體表面相交產(chǎn)生的交線。它具有兩個(gè)重要性質(zhì)：封閉性：由于平面與立體表面相交，截交線通常是一條封閉的平面曲線或由直線段組成的封閉圖形。共有性：截交線既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面的共有線。展示一些簡(jiǎn)單立體被平面截?cái)嗟膶?shí)物圖片或示意圖，配合文字說明截交線的定義和性質(zhì)。立體的投影-立體表面交線-平面立體的截交線求解方法與步驟平面立體的截交線一般為多邊形，其邊數(shù)取決于截平面與平面立體相交的棱線或棱面的數(shù)量。求解截交線的關(guān)鍵在于求出截平面與各棱線的交點(diǎn)，然后依次連接這些交點(diǎn)，得到截交線的投影。以三棱柱為例，詳細(xì)說明求解步驟：分析截平面與三棱柱各棱線的相對(duì)位置，確定交點(diǎn)的數(shù)量。利用直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，求出各交點(diǎn)在相應(yīng)投影面上的投影。按照實(shí)際順序依次連接各交點(diǎn)的投影，得到截交線的投影。注意判斷可見性，可見部分用粗實(shí)線繪制，不可見部分用虛線繪制。以三棱柱、四棱錐等為例，從立體圖到投影圖，逐步展示求解截交線的過程，標(biāo)注清晰。立體的投影-立體表面交線-曲面立體的截交線圓柱的截交線當(dāng)平面與圓柱相交時(shí)，根據(jù)平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同，截交線有三種情況：平行于軸線：截交線為矩形，矩形的兩條邊是圓柱面與截平面的交線，另外兩條邊是圓柱底面與截平面的交線。垂直于軸線：截交線為圓，該圓與圓柱底面平行。傾斜于軸線：截交線為橢圓，橢圓的長軸和短軸隨截平面與軸線的夾角變化而改變。每種情況對(duì)應(yīng)一組圖片