吉林省長春市2024屆高三下學期三模數(shù)學試題

吉林省長春市2024屆高三下學期三模數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．經(jīng)過A(1,1)，B(?1,A．(x+1)2+(y?1)C．x2+(y?1)2．已知向量a=(2,4),bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)f(x)A．1 B．2 C．4 D．84．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時A．1 B．2 C．3 D．45．已知復數(shù)z1,z2滿足|zA．3 B．23 C．32 6．為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學生開展有關亞冬會知識的競賽活動．已知該班男生35人，女生25人．根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為s12、A．s2=sC．s2=77．已知隨機事件A，B滿足P(A)=13，P(A∣B)=34，A．14 B．316 C．9168．在同一平面直角坐標系內，函數(shù)y=f(x)及其導函數(shù)y=f'(x)A．函數(shù)y=f(x)?ex的最大值為1 B．函數(shù)C．函數(shù)y=f(x)ex的最大值為1 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知f(x)=AsinA．f(x)的最小正周期為πB．f(x)滿足f(x)+f(C．f(x)在區(qū)間[π3D．f(x)在區(qū)間(π10．設等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，a7A．0<q<1 B．a7a9<1C．Tn的最大值為T7 D．Sn的最大值為S711．某圓錐的側面展開圖是圓心角為2π3A．該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為2B．若該圓錐內部有一個圓柱，且其一個底面落在圓錐的底面內，則當圓柱的體積最大時，圓柱的高為2C．若該圓錐內部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內接正四面體的棱長為2D．若該圓錐內部有一個正方體ABCD?A1B1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知α∈(0,π)，且sinα+cos13．直線l與拋物線x2=4y交于A,B兩點，若|AB|=6，則AB中點M到14．有序實數(shù)組(x1,x2,???,xn)(n∈N*)稱為n維向量，|x1|+|x2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知asinB=?3（1）求角A的大?。唬?）若BC=25，求△ABC16．已知函數(shù)f(x)=x（1）當a=0時，求f(x)在x=1處的切線方程；（2）當a=1時，求f(x)的單調區(qū)間和極值；（3）若對任意x∈R，有f(x)≤ex?1恒成立，求17．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：3x2?（1）求雙曲線C的標準方程；（2）當l與x軸不垂直時，作線段AB的中垂線，交x軸于點D．試判斷|DF18．正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的下底面邊長為22，A1B（1）求證D1（2）已知平面AMC1與平面ABCD所成角的余弦值為37，當λ=2319．入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”．南方游客紛紛北上，體驗東北最美的冬天．某景區(qū)為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期t12345678910銷售量y（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：y=110i=110（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡擁堵，導致當天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關于t的回歸方程（精確到0.01），并估計第10天的正常銷量；（2）假設每位顧客選擇A套餐的概率為25，選擇B套餐的概率為35，其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了n張優(yōu)惠券，設其概率為Pn（3）記（2）中所得概率Pn的值構成數(shù)列{①求數(shù)列{P②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列{an}，若對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N0，使得當n>N0時，回歸方程y=a+bx

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：將A，B，C三個點的坐標帶入圓的一般方程：x2得1+1+D+E+F=01+1?D+E+F=00+4+2E+F=0，得且D2所以圓的方程為x2整理得x2故答案為：C.【分析】利用待定系數(shù)法解方程組可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：因為(a+kb化簡得a2故(2解得k=±2故“k=2”是“(故答案為：A【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零，再根據(jù)必要與充分條件的定義判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：將x=?3帶入分段函數(shù)解析式可得，f(故答案為：B.【分析】利用變量范圍不同解析式不同，代入求值即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：由題意x小時后酒精含量為0.由題意令0.6×100×(1?30%)由于y=0.x>lo故至少經(jīng)過4小時才能駕駛.故答案為：D.【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)不等式，將指數(shù)運算轉化為對數(shù)運算即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：令z1=a+bi，z2則z1所以a+c=2①，b+d=?5②①平方可得a2+2ac+c2=4③，而|z又因為|z1|=|兩邊平方得a2+b③④⑤相加并化簡得2ac+2bd=?9，而|z=(故答案為：D【分析】根據(jù)復數(shù)模長的相關知識，結合已知條件整體代換運算即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：設兩個班的總的平均分為x，x1，x則ss2故答案為：D.【分析】根據(jù)方差公式（分層抽樣）計算即可得.7．【答案】A【解析】【解答】解：因為P(B∣A)=P(AB)又因為P(A)=P(AB)+P(AB)=13，所以，所以，P(B)=14.【分析】根據(jù)條件概率計算公式，計算得出答案.8．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知f(0)則另外一個函數(shù)應該單調遞增，結合定義域判斷可知，AB選項均錯誤。虛線部分為y=f實線部分為y=f(x)，對于C，D，y'由圖像可知x∈(?∞,0)當x∈(0,+∞)所以函數(shù)y=f(x)e故答案為：C【分析】根據(jù)定義域和導函數(shù)正負判斷單調性排除AB選項，在根據(jù)剩余選項的導數(shù)特征結合圖像特征分析即可.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A：由已知，11π12所以T=π,對于B：又因為2×π6+φ=而且0<φ<π2，所以φ=π所以f(x)+f(5π對于C：當x∈[π3,5π6]時，2x+π對于D：當x∈(π2,2π)時，2x+π6∈(7π6,25π故答案為：AD.【分析】根據(jù)函數(shù)圖象特征，從而得出解析式，再由正弦函數(shù)的圖象與性質逐項判斷即可.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A：因為a1>1，a7·a8>1，a7所以a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正確；對于B：a7對于C：因為a7>1，0<a8<1，所以T7是Tn中的最大項，故C正確；對于D：因為a1>1，0<q<1，所以Sn無最大值，故D錯誤.故答案為：ABC.【分析】根據(jù)已知條件對等比數(shù)列基本量大小定性，進而可得結果.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A：由已知得πrl=3π,解得母線長與底面圓半徑分別為l=3,r=1，所以圓錐的高設圓錐的母線與底面所成角θ，由截面圖形可知則sinθ=對于B：設圓錐內切圓柱底面半徑為r1[r則有h?h所以圓柱體積為V柱設y=x2?所以當x∈(0,23)時y'>0，y=x所以x=23時y取得最大值，即r1對于C：當球的半徑最大時，球為圓錐的內切球，設球的半徑設為R，此時圓錐與球的軸截面如圖，因為S△SAB又S△SAB=R正四面體可由正方體面的對角線切割得到，如圖，正四面體外接球與相對應正方體外接球為同一個球，當正四面體的棱長為233時，其相對應的正方體棱長為所以外接球直徑為2R=3×(6所以該圓錐內部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內接正四面體的棱長為23對于D：設圓錐內接最大正方體ABCD?A1B則有2a所以正方體面的對角線長為2a=所以以正方體頂點A為球心，半徑為46所以交線有兩組各有三條長度相等的曲線，第一組曲線如圖（1），第二組曲線如圖（2），由上AA1=AB=所以A1所以∠A1AE=∠EAF=BAF=所以交線的總長度為.3EG故答案為：ACD.【分析】根據(jù)已知求得母線長與底面圓半徑進而判斷A；根據(jù)三角形相似比得出圓柱高與其底面半徑比的關系，再代入圓柱體積公式得到V柱12．【答案】?【解析】【解答】解：由已知兩邊平方得：(sin化簡得：sin又因為sin所以2故答案為：?24【分析】兩邊平方由二倍角公式計算可得sin2α13．【答案】2【解析】【解答】解：如圖因為拋物線焦點F(0,過A,B,M分別作由梯形中位線定理知2|MM則|MM1|≥12|AB|=3，故故答案為：2【分析】根據(jù)拋物線的定義結合梯形中位線定理和三角形邊長關系，即可得到最小值.14．【答案】40；3【解析】【解答】解：四維向量范數(shù)為奇數(shù)有三個1和一個偶數(shù)或者一個1和三個偶數(shù)，故：A4奇數(shù)維向量且范數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1，3，5，…，2n+1，故：A2n+1由二項式定理可知：31=兩式相減得到A2n+1故答案為：2；32n+1【分析】根據(jù)題意利用分類討論的數(shù)學思想可以求得A4；利用二項式定理展開兩式相減得到A15．【答案】（1）解：因為asin由正弦定理可得sinsinB≠0，所以sinA=?3cosA（2）解：由題意可知S△ABD即12csin在△ABC中，由余弦定理得cosA=從而(bc)2?2bc?202bc=?1所以S△ABC【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角得到tanA=?（2）由三角形面積公式結合余弦定理，即可求得bc=5，由三角形的面積公式可得結果.16．【答案】（1）解：當a=0時，f(x)=x則f'(x)=1?xex所以切線方程為y=1（2）解：當a=1時，f(x)=xe?x?令g(x)=1?x?e2x，故g(x)在R上單調遞減，而g(0)=0，因此0是g(x)在R上的唯一零點即：0是f'當x變化時，f'(x)，x(?∞0(0f+0?f(x)↗極大值↘f(x)的單調遞增區(qū)間為：(0,+∞)f(x)的極大值為f(0)=?1，無極小值（3）解：由題意知xe?x?aex設m(x)=xe2x令m'(x)=0，解得當x∈(?∞,12)，當x∈(12,+∞)，所以m(x)所以a≥?【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出斜率，求出切線方程即可.

（2）利用導數(shù)值的正負得到函數(shù)的單調性，由單調性再確定極值即可.

（3）通過分離參數(shù)法構造函數(shù)，利用導數(shù)求得最值即可得到參數(shù)范圍.17．【答案】（1）解：雙曲線3x2S△ABF雙曲線C的標準方程為x2（2）解：設直線l的方程為x=ty+2(t≠0)，A(x1,聯(lián)立雙曲線C與直線l：3x2?y2Δ=(12t)2?4×9(3又直線與雙曲線交于右支兩點，故y1+y2=進而可得x1+x線段AB的中垂線為y+6t則D(?83t|AB|=1+即|DF【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和△ABF1面積求出（2）直曲聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關系，利用弦長公式求解即可.18．【答案】（1）證明：方法一：∵A1B1=∵D∴D∴D=(1?λ)=8(1?λ)+8(1∴D1P⊥方法二：以底面ABCD的中心O為原點，以OM方向為y軸，過O點平行于AD向前方向為x軸，以過點O垂直平面ABCD向上方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正四棱臺的高度為h，則有A(2,?2,D(?2,?2,D1(?22APD1D1故AC?D1（2）解：設平面ABCD的法向量為n=(0設平面AMC1的法向量為m=(x,y則有AM?m=0令x=22h，則又題意可得|cosm→,因為λ=23，經(jīng)過計算可得P(0,0,將h=2代入，可得平面AMC1的法向量設直線DP與平面AMCsinθ=|【解析】【分析】（1）方法一借助空間向量的線性運算，得到數(shù)量積為0即可.方法二：建系后，根據(jù)向量的坐標運算得到數(shù)量積為0即可.（2）建系后，利用線面角和向量夾角余弦值的關系求解即可.19．【答案】（1）解：剔除第10天數(shù)