導(dǎo)數(shù)的概念(第2課時)之三培訓(xùn)講學(xué)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）選修1-1，2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、重視章頭圖和章引言的教學(xué)閱讀章頭圖函數(shù)的引入、發(fā)展微積分產(chǎn)生的直接動因(數(shù)學(xué)內(nèi)部的、數(shù)學(xué)外部的特別是物理上的)文化價值微積分的地位：數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐氏幾何后又一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分的核心概念.它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最值等問題的最一般、最有效的工具.引發(fā)學(xué)習(xí)的興趣、感受數(shù)學(xué)的價值、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

承前啟后+概覽統(tǒng)領(lǐng)——先行組織者導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)目標(biāo)：突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)——瞬時變化率展現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展和形成過程。引入導(dǎo)數(shù)的必要性典型豐富實(shí)例（思想、內(nèi)涵——本質(zhì)多種手段：直觀感知、數(shù)形結(jié)合、理性思考）概念水到渠成把抽象概括概念的機(jī)會留給學(xué)生

導(dǎo)數(shù)概念的引入反復(fù)通過大量實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，引入導(dǎo)數(shù)的概念，體會導(dǎo)數(shù)的思想，理解導(dǎo)數(shù)的含義：氣球平均膨脹率；高臺跳水的平均速度瞬時速度；函數(shù)的平均變化率瞬時變化率;(定義)

曲線的割線斜率切線斜率。（幾何意義）——下節(jié)課的任務(wù)高臺跳水問題（一以貫之）

運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.（1）用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)；（2）探究運(yùn)動員在時間段內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)平均速度不能反映他在這段時間里運(yùn)動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運(yùn)動狀態(tài)。

（3）如何求（比如，t=2時的）瞬時速度？通過列表看出平均速度的變化趨勢

：

從平均速度過渡到瞬時速度

，得到瞬時速度的值為-13.1.

從數(shù)學(xué)上來看，這個過程能夠說明變化趨勢，也是學(xué)生容易理解的(實(shí)際上利用了極限的描述性定義)，不追求嚴(yán)格的證明。

一般化：從函數(shù)的平均變化率到瞬時變化率不專門講極限從數(shù)學(xué)邏輯體系上看，導(dǎo)數(shù)、定積分概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限，即從數(shù)列的極限，到函數(shù)的極限，再到導(dǎo)數(shù)、定積分。這種概念建立方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學(xué)生很難理解極限的形式化定義，往往將導(dǎo)數(shù)、定積分僅僅作為一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，忽略它們的思想和價值。因此也影響了對導(dǎo)數(shù)、定積分本質(zhì)的理解。不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識，而是用逼近(直觀形象)的方法定義導(dǎo)數(shù)、定積分。

（1）通過列表計算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(蘊(yùn)涵著極限的描述性定義)，學(xué)生容易理解；（2）所涉及到的數(shù)列或函數(shù)都很簡單，學(xué)生容易觀察出其變化趨勢；（3）如果講極限的-定義，就特別抽象，難度急劇增大，加大學(xué)生對導(dǎo)數(shù)、定積分概念的本質(zhì)認(rèn)識的難度。需適時說明極限符號。

適當(dāng)使用信息技術(shù)

導(dǎo)數(shù)的概念使用信息技術(shù)的目的是幫助學(xué)生更好地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)！主要用于傳統(tǒng)教學(xué)方法無法呈現(xiàn)或難以呈現(xiàn)的內(nèi)容!案例：導(dǎo)數(shù)、定積分的概念等。主編寄語

數(shù)學(xué)是自然的；數(shù)學(xué)是清楚的。數(shù)學(xué)是有用的；學(xué)數(shù)學(xué)對于提高個體能力是至關(guān)重要的。學(xué)數(shù)學(xué)要摸索自己的學(xué)習(xí)方法；學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕。數(shù)學(xué)教學(xué)要講背景，講數(shù)學(xué)，講應(yīng)用；講歷史，講思想，講文化。數(shù)學(xué)教材要自然、生動、活潑，不強(qiáng)加于人；要激發(fā)學(xué)生的興趣和美感，引發(fā)學(xué)習(xí)激情；要引導(dǎo)學(xué)生提問，使學(xué)生“看過問題三百個，不會解題也會問”；要強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用。上出高質(zhì)量的課三個理解——數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)理解數(shù)學(xué):了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源，區(qū)分核心知識和非核心知識等。

調(diào)動學(xué)生的思維——高水平的數(shù)學(xué)思維提供抽象概括的機(jī)會,注重思想方法的引導(dǎo)二、分章介紹普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）選修1-1，2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、內(nèi)容選修1-1選修2-2

導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義；導(dǎo)數(shù)公式及其四則運(yùn)算法則；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；函數(shù)某點(diǎn)取得極值的充分、必要條件；生活中的優(yōu)化問題舉例。

導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義；導(dǎo)數(shù)公式及其四則運(yùn)算法則；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；函數(shù)某點(diǎn)取得極值的充分、必要條件；生活中的優(yōu)化問題舉例；定積分的概念；微積分基本定理的含義。二、對一些關(guān)鍵問題的處理１．突出概念本質(zhì)（1）導(dǎo)數(shù)——瞬時變化率（2）定積分曲面梯形面積定積分（變速直線運(yùn)動）

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

通過觀察曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的割線PPn的變化趨勢，既獲得切線定義，又得到割線PPn的斜率與切線PT的斜率k之間的關(guān)系：函數(shù)的平均變化率到瞬時變化率。將切線斜率和導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系，得到導(dǎo)數(shù)的幾何意義（又一次經(jīng)歷平均變化率到瞬時變化率的過程）。

定積分概念的引入著重揭示定積分的思想方法和求解問題的一般步驟（1）通過解決曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的路程這兩個典型問題，著重揭示出定積分的思想方法：在每個局部小范圍內(nèi)“以直代曲”

“以不變代變”和逼近的思想．事實(shí)上，這就是定積分概念中蘊(yùn)涵的最本質(zhì)思想，這也是應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的思想方法．（2）給出求解這類問題的一般步驟——“四步曲”：分割、近似代替、求和、取極限．

曲邊梯形的面積問題的引出

如何求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0,所圍成的平面圖形部分的面積S？

解決問題的關(guān)鍵（思想方法）通過回顧求一種特殊的曲邊形——圓的面積的過程，通過類比啟發(fā)學(xué)生得到解決問題的思想方法——局部小范圍內(nèi)“以直代曲”“以不變代變”和逼近的思想．解決問題的“四步曲”第一步——分割把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間，原來的曲邊梯形就被分成n個小曲邊梯形．第二步——近似代替在每個小區(qū)間上進(jìn)行近似代替，“以直代曲”，求出每個小曲邊梯形面積的近似值（用左段點(diǎn)處的函數(shù)值）．第三步——求和求出所有這些近似值的和，就得到原來的曲邊梯形面積的近似值．第四步——取極限對曲邊梯形面積的近似值取極限得到曲邊梯形的面積．

通過教科書中的圖可以看出，隨著分割越來越細(xì)，近似值不斷趨向于曲邊梯形的面積．教科書中給出的表可以使學(xué)生能夠定量地看出，隨著區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的增大，曲邊梯形的面積趨向于常數(shù)．設(shè)置“探究”欄目，先用右端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行近似代替，求出曲邊梯形的面積，再借助幾何直觀（可利用信息技術(shù)手段）得出面積的一般表達(dá)式：

變速直線運(yùn)動的路程類比求曲邊梯形面積的過程，從函數(shù)值與物理意義兩方面分析、解決問題。得到結(jié)果后，再從反方向上推斷出該路程在數(shù)值上等于一個曲邊梯形的面積，從而為給出定積分的幾何意義作鋪墊。——教學(xué)中應(yīng)選擇關(guān)鍵探究欄目

讓學(xué)生抽象概括出共性，引入定積分概念——提供抽象概括的機(jī)會。導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用從幾何圖象上觀察并歸納出導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題中的作用。

2.強(qiáng)調(diào)幾何直觀，重視背景，體現(xiàn)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性——先研究跳水運(yùn)動，進(jìn)而從若干個函數(shù)的幾何圖形上，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，觀察、分析單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系，總結(jié)出一般規(guī)律，并用來解決函數(shù)單調(diào)性（包括實(shí)際問題），求一些簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題

在導(dǎo)數(shù)的計算中，給出幾個簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程:

y=x,y=c,y=x2,y=1/x

并給出前3個結(jié)果的幾何意義或物理意義。

微積分基本定理突出微積分基本定理的探究過程,分別從物理意義和（導(dǎo)數(shù)）幾何意義兩個角度，直觀地了解微積分基本定理的含義，同時又一次經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程．反映微積分基本定理的基本思想,不給出嚴(yán)格證明。

探究:一個作變速直線運(yùn)動的物體的運(yùn)動規(guī)律是y=y(t)，由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時刻t的速度v(t)=y’(t)，設(shè)這個物體在時間段[a,b]內(nèi)的位移為s，你能分別用y(t),y’(t)表示s嗎？3.關(guān)注微積分的文化價值（1）引言介紹了與微積分緊密相關(guān)的“四大問題”（2）拓展欄目探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解（3）實(shí)習(xí)作業(yè)走進(jìn)微積分（理科可適當(dāng)補(bǔ)充微積分基本定理的意義方面的內(nèi)容）三、幾個需要注意的問題1.不專門講極限

2.強(qiáng)調(diào)本質(zhì)、幾何意義、物理意義

理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)（含義），從幾何直觀、物理意義上理解概念，借助幾何直觀、物理意義分析問題、解決問題。

“數(shù)形結(jié)合”是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，借助幾何直觀可以更好地學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)概念，并提高應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問題的能力3.避免過量的形式化的運(yùn)算避免過度的形式化運(yùn)算，防止將導(dǎo)數(shù)、定積分僅僅作為一些規(guī)則和步