《數(shù)學分析》課程大綱

《數(shù)學分析》課程大綱

一、課程信息

課程名稱數(shù)學分析適月專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學

04011102/04011105/

課程代碼課程類別學科專業(yè)基礎課程

04011107

學分學時16.5學分/264學時開設學期第1、2、3學期

常微分方程、實變函數(shù)、

先修課程中學數(shù)學后續(xù)課程

概率論、復變函數(shù)等

二、課程簡介

《數(shù)學分析》課程是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的學科專業(yè)基礎課程。本課程主

要講授一元函數(shù)和多元函數(shù)的極限理論、函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等內

容。通過本課程的學習，學生可以系統(tǒng)的掌握微積分學的基本概念、基本理論

和基本思想，并能運用相關知識分析問題和解決問題。該課程對學生道德品質

的培養(yǎng)、數(shù)學思想的形成、邏輯思維的訓練，以及后繼課程的學習都有極其重

要的作用，也是學生今后從事數(shù)學教學、數(shù)學理論研究以及相關管理工作的理

論基礎。

三、課程目標

（一）課程目標設置

通過本課程的學習，學生能達到以下目標：

目標1:能解釋微積分學中的基本概念，歸納其基本性質，能闡述微積分理

論的發(fā)展歷程，能理清《數(shù)學分析》課程知識體系的承接關系。

目標2：能整合微積分學的基本公式、基本定理和基本方法，建構抽象思

維、邏輯推理、空間想象和數(shù)學建模等基本能力，完善學科知識體系。

目標3：能運用微積分理論的相關知識對現(xiàn)實生活中的數(shù)學和物理現(xiàn)象進

行詮釋和分析，并能解決相關實際問題。

目標4：能通過小組討論、網(wǎng)絡學習等方式開展團隊協(xié)作和自主學習，能體

會本課程與中學數(shù)學內容之間的聯(lián)系。并能對教學效果進行初步的總結和反思,

展現(xiàn)一定的學科素養(yǎng)，養(yǎng)成獨立思考的習慣。

(二)課程目標對畢業(yè)要求分解指標的支撐關系

畢業(yè)要求指標點課程目標

3-1【學科知識】掌握分析、代數(shù)和幾何等學科的

課程目標1(H)

基本概念和基本性質，能夠立足數(shù)學學科思想和

課程目標2(M)

方法了解數(shù)學學科知識體系的發(fā)展歷史和前沿動

課程目標3(L)

態(tài)。

3-2【學科能力】領悟極限、抽象和數(shù)形結合等數(shù)

學思想，具有較強的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀課程目標2(H)

3.學科素養(yǎng)

想象和數(shù)學建模能力。

3-3【學科應用】探究數(shù)學學科與物理、計算機等

學科之間的聯(lián)系，認識數(shù)學在社會生產生活中的

應用價值，能在教育教學中，綜合運用數(shù)學學科課程目標3(M)

知識分析和解決教學中的實際問題，能開展探究

性學習和項目式學習等活動。

7-1【反思能力】具有積極的教育教學反思意識，

初步掌握反思的方法和策略，具有良好的創(chuàng)新意

7.學會反思課程目標4(L)

識和批判性思維，能對數(shù)學教學實踐活動進行自

我診斷，提出改進思路，獲得積極的反思體驗。

(三)課程目標對畢業(yè)要求的支撐矩陣圖

踐行師德學會教學學會育人學會發(fā)展

師德規(guī)學科素教學能班級指溝通合

教育情懷綜合育人學會反思

課程目標范養(yǎng)力導作

7-

1-1-1-2-2-2-3-3-3-4-4-4-6-6-6-7-7-?

5-15-28-18-2

123123123123123123

課程目標1H

課程目標2MH

課程目標3LM

課程目標4L

四、教學要求

《數(shù)學分析》笫1學期教學要求

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課程思政

目標結合點

變量與函數(shù)的柢念2函數(shù)的概念以及函數(shù)的復合函數(shù)與反函數(shù)的概講授為主聽課學習

函數(shù)的兩大要素性質念。自主學習

函數(shù)的三種表示方式

識記幾種特殊的函數(shù)

函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、

有界性

目標1確界的定義2上下確界的定義解釋確界的定義和性質聽課學習

理解確定原理的內涵明晰確界原理的本質講授為主課堂練習

自主學習

數(shù)列極限的定義及性質8數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義、性質和講授為主聽課學習講解《莊

數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件極限存在的條件。課堂練習子.天下

課堂討論篇》故事,

增強民族

謀希教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課程思政

目標結合點

的自豪感。

函數(shù)被限的定義、性質8函數(shù)極限的定義極限存在的定義與條件講授為主聽課學習

函數(shù)被限存在的條件掌提函數(shù)極限存在的條課堂練習

件

連續(xù)函數(shù)和一致連續(xù)的定義8掌握函數(shù)連續(xù)和一致連間斷點的判別與分類講授為主聽課學習

間斷點的判別與分類續(xù)的定義及相關性質苴續(xù)函數(shù)的的性質課堂練習

間斷點的判別與分類一致連續(xù)的判定課堂討論

一致連續(xù)的判定

導數(shù)與微分的定義和幾何意義4導數(shù)與微分的定義、幾導數(shù)與微分的定義講授為主聽課學習牛頓和萊

函數(shù)的左、右導數(shù)：何意義函數(shù)的可導、連續(xù)、可做課堂練習布尼茨創(chuàng)

正確理解與掌握微分的定義闡述函數(shù)的可可導性與之間的關系立微積分

可導性與連續(xù)性之間的關系連續(xù)性之間的關系的故事，了

可微性與可導性之間的關系理解函數(shù)可微性與可導解科學起

性之間的關系源

謀希教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課程思政

目標結合點

確界原理10基本初等函數(shù)導數(shù)公式推導反函數(shù)求導法則講授為主聽課學習

求上、下確界的方法復合函數(shù)和反函數(shù)求導隱函匏及參數(shù)方程表示自主學習

基本函數(shù)的求導法則法則函數(shù)的求導法則課堂練習

函數(shù)的求導法則隱函數(shù)及參數(shù)方程表示求高階導數(shù)

求復合函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的求導法則

隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示的函高階導數(shù)及高階微分求

數(shù)的求導法法

對數(shù)求導法

目標2

掌握高階導致及高階微分的求

法

一致連續(xù)的判定和應用4一致連續(xù)的判定和應用一致連續(xù)的判定和應用講授為主聽課學習

課堂練習

費爾馬定理6掌握羅爾中值定理證明羅爾中值定理、拉格講授為主聽課學習

羅爾中值定理掌握拉格朗日中值定理朗日中值定理、柯西中值課堂煉習

拉格朗日值定理掌握柯西中值定理定理、泰勒公式

柯西中值定埋掌提泰勒公式

謀希教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課程思政

目標結合點

泰勒公式

上下確界的應用8上下確界的應用定義法判定函數(shù)的單調講授為主聽課學習

數(shù)列極限與函數(shù)極限的應用微分中值定理的應用性課堂練習

微分中值定理的應用函數(shù)的單調性判別定義法求極值、最大值、

函數(shù)的單調性判別法求函數(shù)極值、最大值、最小值

極值、最大值、最小值的求法最小值的方法判定曲線的凹凸性、拐點

目標3曲線的凹凸性、拐點的判定掌握曲線的凹凸性、拐應用羅比洛法則求函數(shù)

羅比塔法則點的判定極限

平面曲線的曲率會求曲線的漸近線定義法平面曲線的曲率

曲線的切線求法會應用羅比塔法則求曲線上某點的切線

能計算平面曲線的曲率

會求曲線上某點的切線

區(qū)間套定理、聚點定理、有限攫12實數(shù)集上的基本定理及實數(shù)臭上的基本定理及講授為主聽課學習提高學生

蓋定理和確界原理等實數(shù)集上相互關系其證明課堂探究的邏輯思

目標4

的基本定理之間的關系利用蕓本定理證明閉區(qū)小組討論維與反思

間上連續(xù)函數(shù)的性質能力

《教學分析》第2學期教學耍求

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課程思政結

目標合點

原函數(shù)與不定積分的概念3原函數(shù)的概念什么樣的函數(shù)有原函數(shù)講授為主聽課學習微積分的發(fā)

基本積分公式表不定積分的就念自主學習展簡史

定枳分的概念5定積分的概念理解分割、近似求和、取講授為主聽課學習劉儆割圓術

定枳分的幾何含義定枳分的幾何意義極限的思想課堂練習體現(xiàn)中國古

定積分的性質定枳分的各種性質用定積分的定義求數(shù)列極課堂討論代數(shù)學水平

限

無窮積分的定義2無窮積分和瑕積分定義定義法判斷兩類反常1積分講授為主聽課學習

目標1瑕枳分的定義的收斂課堂練習

級數(shù)收斂的定義2級數(shù)收斂的定義定義法判斷級數(shù)的收斂講授為主聽課學習

等比級數(shù)求和公式絕對收斂和條件收斂課堂縹習

絕對收斂和條件收斂

函數(shù)列收斂和一致收斂的定義3函數(shù)列收斂和一致收斂函數(shù)列一致收斂的定義和講授為主聽課學習

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義的定義幾何意義課堂討論

函數(shù)項級數(shù)收斂和一致函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定

收斂的定義義

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

累級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和2號級數(shù)的收斂域的求法累級數(shù)的逐項求導和逐項講授為主聽課學習

收斂城積分

靠級數(shù)的性質

泰勒級數(shù)

麥克勞林級數(shù)

三角級數(shù)和正交函數(shù)系1正交函數(shù)系的概念正交函數(shù)系的概念講授指導聽課學習

自主學習

換元積分法和分部積分法13第一類換元積分法兩類換元積分法和分部積講授為主聽課學習

有理函數(shù)的不定積分第二類換元積分法分法的基本技巧課堂練習

三角函數(shù)有理式的不定分分部積分法有理語數(shù)的不定積分

某些無理根式的不定積分有理函數(shù)的不定積分的萬能三角代換法

目標2具體步驟無理板式轉換為有理函數(shù)

三角函數(shù)有理式的不定

分

某些無理根式的不定積

分

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目標合點

牛頓-萊布尼茨公式13牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式的證講授為主聽課學習

可積條件函數(shù)可積的必要條件、充明課堂練習

積分中值定理分條件和充要條件相關定理的證明

變限積分與原函數(shù)的存在性積分第一中值定理及其積分笫一中值定理的用法

定積分的換元法和分部積分法幾何含義變上限定積分的應用牛頓生平介

積分第一中值定理的推換元積分法和分部積分法紹普及數(shù)學

論的基本技巧人文歷史

變上限定積分的定義

原函數(shù)存在定理

定積分的換元法和分部

枳分法

正項級數(shù)收斂的一般判別原則8比較判別法比較判別法及其推論講授為主聽課學習

比式判別和根式判別正項級數(shù)的比式判別法比式判別法和根式判別法課堂練習

一般項級數(shù)的收斂判別法和根式判別法使用技巧

萊布尼茨判別法各種判別法的使用條件和

阿貝爾判別法和狄利克技巧

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

萊判別法

函數(shù)項級數(shù)及箕一致收斂性10函數(shù)項級數(shù)一致收斂的用定義證明函數(shù)項級數(shù)的講授為主聽課學習

函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法判別法一致收斂性課堂討論

一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判

性質連續(xù)性、可微性、可積性別法

的條件及其理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致

收斂的判別

寐級數(shù)的收斂區(qū)間7票級數(shù)收斂區(qū)間的求法阿貝爾定理的證明、收斂講授為主聽課學習

惠級數(shù)的運算間接法求幕級數(shù)的和函半徑的求法課堂練習

函數(shù)的森級數(shù)展開數(shù)察級教的加法和乘法運算

直接法和間接法求函數(shù)間接法求函數(shù)的轍級數(shù)展

的募級數(shù)展開開

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

以2pi為周期的函數(shù)的展開式5以2pi為周期的函數(shù)的以2pi為周期的函數(shù)的作講授為主聽課學習

以21為周期的函數(shù)的展開式惇立葉級數(shù)展開式立葉級數(shù)展開式課堂練習

以21為周期的函數(shù)的傅以21為周期的函數(shù)的停

立葉級數(shù)展開式立葉級數(shù)展開式

平面圖形的面枳10不同曲線表達式下平面極坐方程下平面圖形的面耕投為主聽課學習

由平行截面面積求立體的體積圖形的面積求法積課堂討論

平面曲線的弧長和曲率由平行截面面積求立體由平行截面面積求立體的課堂練習

旋轉曲面的面積的體積體積

定積分在物理中的某些應用平面曲線的弧長和曲率曲率公式的推導

微元法、旋轉曲面的面積微元法的理解和應用

目標3

公式微元法在物理中的應用

微元法在物理中的應用

泰勒公式的積分型和柯西型余項2泰勒公式中幾種余項的泰勒公式中幾種余項相關講授為主聽課學習

形式關系的推導課堂探究

收斂定理的證明2收斂定理的證明收斂定理的證明講授為主聽課學習

課堂探究

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

無窮積分和瑕積分的收斂判別法8無窮積分和暇積分的收用定義法判別無窮積分和指導為主網(wǎng)絡自學

的比較斂判別瑕積分的收斂課堂探究

目標4函數(shù)列收斂和一致收斂的區(qū)別函數(shù)列收斂和一致收斂比較判別法及其推論小組討論

級數(shù)收斂的積分判別法的區(qū)別一致收斂的理解

級數(shù)收斂的積分判別法定理12.9的證明

《數(shù)學分析》笫3學期教學要求

課程教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課程思政結

目標合點

內點、外點、界點以及聚點、孤6各種點的概念聚點的判斷講授為主聽課學習

立點的概念各種平面點集的概念分段函數(shù)連續(xù)性的判斷自主學習

開集、閉集、開域、閉域、區(qū)域多元函數(shù)連續(xù)的定義累次極限、重極限的關系

目標1

的概念累次極限、重極限的概念

有界集的假念

累次極限、重極限的概念

課拜教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

多元函數(shù)連續(xù)的概念

可微的定義6可微的定義分段函數(shù)可微的判斷講授為主聽涕學習

全增量、偏增量的定義全微分公式課堂練習

全微分公式偏導數(shù)的定義

偏導數(shù)的定義方向導數(shù)和梯度

方向導致和梯度

含參量正常積分的定義2含參量正常積分的定義含參量反常積分的一致講授為主聽課學習

含參量反常積分的定義含參量反常積分的定義收斂的理解課堂練習

含參量反常積分的一致收斂和含參量反常積分的一致收課堂討論

內閉一致收斂斂和內閉一致收斂

二重枳分的定義及其幾何含義4二重枳分的定義二重積分的定義講授為主聽課學習

二重積分的性質二重積分的定義二重仇分的定義課堂練習

課拜教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

三重積分的定義及物理含義

聚點定理、閉域套定理、有限覆8聚點定理、閉域套定理的內二元函數(shù)的極限講授為主聽深學習

蓋定理的內容容和證明聚點定理、閉域套定理及課堂練習

多元函數(shù)的重極限與累次極限重極限與累次極限的求法有界閉城上連續(xù)函數(shù)的

的求法有界閉域上函數(shù)連續(xù)的若相關性質的證明

有界閉城上連續(xù)函數(shù)的有界性、干性質

一致收斂性、介質性定理

可做的必要條件和充分條件14可做的必要條件和充分條復合函數(shù)高階偏導數(shù)的講授為主聽課學習

目標2

全微分的幾何意義件求法課堂練習

空間曲面的法向量全微分的幾何意義

空間曲面的切平面求法空間曲面的法向量

空間曲面的法線的求法空間曲面的切平面求法

復合函數(shù)求導的鞋式法則空間曲面的法線的求法

高階偏導數(shù)的求法復合函數(shù)偏導數(shù)的求法

中值定埋和泰勒公式高階偏導數(shù)的求法

課理教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

多元函數(shù)的非條件極值的求法中值定理和泰勒公式

多元函數(shù)的非條件極值的

求法

隙函數(shù)存/唯一性定理6隱函數(shù)存存唯一桂定理陵函數(shù)存在唯一性定理講授為主聽課學習

除函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則陂函數(shù)求導法則課堂練習

隱函數(shù)組求導法則隱函數(shù)組求導法則隱函數(shù)組求導法則

反函數(shù)與坐標變換

含參量正常積分的連續(xù)性、可微10含叁量正常積分的連續(xù)性、含參重反常枳分一致收講授為主聽課學習

性、可積性可微性、可積性斂的判別法課堂討論

含參量反常積分一致收斂的判含參量反常積分一致收斂

別法的判別法

含參量反常積分的連續(xù)性、可微含參量反常積分的連續(xù)性、

性、可積性可微性、可積性

課理教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)的性質

第一型曲線積分的計算4第一型曲線積分的計算第一型曲線積分的計算講授為主聽課學習

第二型曲線積分的計算第二型曲線積分的計算第二型曲線積分的計算課堂練習

兩類曲線積分的聯(lián)系

平面圖形可求面積的充要條件18二元函數(shù)可積的條件二重積分的變量變換講授為主聽課學習

二元函數(shù)可積的條件直角坐標系下二重積分的極坐標系下二重積分的課堂練習

直角坐標系下二重積分的計算計算計算通過坐標變

格林公式格林公式直角坐標系下三重積分換的學習培

曲線枳分與路徑的無關性曲線枳分與路徑的無關性的計算（投影法和截面養(yǎng)學生的反

二重積分的變量變換二重積分的變量變換法）思能力

極坐標系下二重積分的計算極坐標系下二重積分的計柱面坐標變換

直角坐標系下三重積分的計算算球面坐標變換

課理教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

（投影法和截面法）直角坐標系下三重積分的

柱面坐標變換計算（投影法和截面法）

球面坐標變換柱面坐標變換

球面坐標變換

第一型曲面積分的計算6第一型曲面積分的計算高斯公式和斯托克斯公耕投為主聽課學習

第二型曲面積分的計算第二型曲面積分的計算式的用法課堂練習

兩類曲面積分的聯(lián)系高斯公式和斯托克斯公式

高斯公式和斯托克斯公式

微分用于近似計算1微分用于近似計算泰勒公式用于近似計算講授為主聽課學習

泰勒公式用于近似計算泰勒公式用于近似計算課堂討論

課堂練習

平面曲線的切線和法線2平面曲線的切線和法線隱函數(shù)下空間曲線的切講授為主聽課學習

目標3

空間曲線的切線和法平面空間曲線的切線和法平面線和法線的求法課堂探究

空間曲面的切平面和法線空間曲面的切平面和法線

空間曲面的面積2空間曲面的面積空間曲面的面枳講授為主聽課學習引導學生認

質心、轉動慣重、引力質心、轉動慣量、引力課堂探究識數(shù)學和物

課理教學內容學時教學重點教學難點教學方式學習方式課理思政結

目標合點

理的聯(lián)系

導數(shù)、偏導數(shù)、方向導數(shù)的關系2導數(shù)、偏導數(shù)、方向導數(shù)的幾何意義的理解指導為主網(wǎng)絡自學

通過探究學

及其幾何意義關系及其幾何意義課堂探究

習培養(yǎng)學生

小組討詒

的科學精神

無條件極值與條件極值的轉化4拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法講授+指聽課學習通過比較學

目標4一拉格朗日乘數(shù)法導譚堂探究習培養(yǎng)學生

小組討論的反思能力

定積分、兩類曲線積分、二重稅1各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系通過比較學

分、三重積分、兩類曲面積分的習促進學生

聯(lián)系