2024-2025學(xué)年北京師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點M(2,?3,1)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(

)A.(?2,?3,?1) B.(2,3,?1) C.(?2,3,1) D.(?2,3,?1)2.已知直線l的一個方向向量為(?1,1)，則直線l的傾斜角為(

)A.45° B.90° C.120° D.135°3.拋物線y2=12x的焦點為F，點P在此拋物線上，|PF|=6，則點P的橫坐標(biāo)為(

)A.2 B.3 C.4 D.64.圓(x?3)2+(y+2)2=1A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含5.(x?2x2)A.?60 B.?15 C.15 D.606.某學(xué)校4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只能去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為(

)A.6 B.12 C.24 D.367.已知正四棱錐P?ABCD的高為4，棱AB的長為2，點H為側(cè)棱PC上一動點，那么△HBD面積的最小值為(

)A.2

B.32

C.8.已知直線l：3x+y?4=0，圓Γ：x2+y2=r2(r>0)，若直線l上存在兩點A，B，圓Γ上存在點A.[1,3] B.[2,3] C.[1,+∞) D.[2,+∞)9.已知直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則“cosA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.一個平面區(qū)域內(nèi)，兩點間距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線x2+y4A.432 B.3 C.22二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線l：x?2y+2=0過橢圓的左焦點F1和一個頂點B，該橢圓的離心率為______．12.圓x2+y2?2x?8y+13=0的圓心到直線ax+y?1=0的距離為1，則a的值為13.若(2x?1)4=a4x14.雙曲線M：x2?y23=1的漸近線方程為______；若M與圓O：x2+y2=r215.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為CD的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足平面AA1P⊥平面BB1E.給出下列四個結(jié)論：

①△AA1P的面積的最大值為5；

②滿足使△AA1P的面積為2的點P有且只有4個；三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名．

(Ⅰ)將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？

(Ⅱ)從6名中選出3人參加某公益活動．

(i)共有多少種不同的選擇方法？

(ii)如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？17.(本小題13分)

已知A(2,4)，B(?1,1)，O為坐標(biāo)原點，圓C為△AOB的外接圓．

(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過原點的直線l被圓C截得的弦長為32，求直線l18.(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A19.(本小題15分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，離心率為22，直線l過點F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)延長線段20.(本小題15分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為BC的中點，點M在BD1上.再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點M唯一確定，并解答問題．

條件①：MA=MC；

條件②：EM⊥AD；

條件③：EM//平面CDD1C1．

(Ⅰ)求證：M為BD1的中點；

(Ⅱ)求直線EM21.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為4．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)A為橢圓E的右頂點，B為橢圓的上頂點，直線l：y=12x與橢圓交于C，D兩點(C在第三象限)，P是橢圓上的動點(不與原點重合)，直線AP，BP分別交直線l于點參考答案1.D

2.D

3.B

4.C

5.D

6.D

7.D

8.C

9.A

10.B

11.212.?413.0

14.y=±3x15.①④

16.解：(Ⅰ)將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法：A44A52=480種．

(Ⅱ)從6名中選出3人參加某公益活動．

(i)共有C63=2017.解：(Ⅰ)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

圓C過點A(2,4)，B(?1,1)，O(0,0)，

則22+42+2D+4y+F=01+1?D+E+F=0F=0，解得D=?2E=?4F=0，

故圓C的方程為x2+y2?2x?4y=0，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?2)2=5；

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不符合題意，

當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線方程為kx?y=0，

過原點的直線l被圓C截得的弦長為32，

(x?1)2+(y?218.解：(Ⅰ)證明：由于CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥BC，

故以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,3)，C1(0,0,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，

所以C1M=(1,1,0),B1D=(2,?2,?2)，

因為C1M?B1D=(1,1,0)?(2,?2,?2)=2?2+0=0，

所以C1M⊥B1D，因此C1M⊥B1D；

(Ⅱ)因為AC⊥平面BCC1B1，所以平面C19.解：(Ⅰ)由題意可知，c=1，e=ca=22，

因為a2=b2+c2，所以a=2，b=1，

則橢圓的方程為x22+y2=1；

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x?1)(k≠0)，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=k(x?1)x22+y2=1，消去y，得(2k2+1)x2?4k20.選條件①：

如圖1所示，連接AC，BD相交于點N，連接MN，則N為AC的中點，

若M為BD1的中點，則MN/?/DD1，但由MA=MC得不出MN/?/DD1，

所以M點不唯一確定，不符合題意．

選條件②：

(Ⅰ)證明：如圖2所示，連接CD1，

由正方體的性質(zhì)知，BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CDD1C1，

所以BC⊥CD1，

因為EM⊥AD，AD//BC，所以EM⊥BC，

所以EM//CD1，

又E為BC的中點，所以M為BD1的中點．

(Ⅱ)解：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,2,0)，M(1,1,1)，

所以DC=(0,2,0)，DM=(1,1,1)，EM=(0,?1,1)，

設(shè)平面MCD的法向量為m=(x,y,z)，則m?DC=2y=0m?DM=x+y+z=0，

令x=1，則y=0，z=?1，所以m=(1,0,?1)，

設(shè)直線EM與平面MCD所成的角為θ，

則sinθ=|cos<m，EM>|=|m?EM||m|?|EM|=|?1|2×2=12，

所以直線EM與平面MCD21.解：(Ⅰ)由橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為4，

得12?2a?2b=2ab