中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題27 與圓有關(guān)的計(jì)算（解析版）

專題27與圓有關(guān)的計(jì)算中考命題解讀中考命題解讀中考中主要結(jié)合圓心角和圓周角之間的關(guān)系，直接利用弧長的計(jì)算或扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)扇形面積的計(jì)算?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求掌握弧長和扇形面積計(jì)算公式；會利用弧長和扇形面積計(jì)算公式進(jìn)弧長和扇形面積的計(jì)算考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.考點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角?？键c(diǎn)3正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?？键c(diǎn)4扇形的弧長和面積計(jì)算扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積注意：(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個(gè)量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(4)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(5)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.考點(diǎn)5扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系1、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=圓柱的體積：2、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）母題精講母題精講【典例1】（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，的長是（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，∴，∴的長度l＝＝π．故選：B．【變式1-1】（2022?甘肅）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎc(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路（）的長度為（）A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm【答案】C【解答】解：∵半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，∴這段彎路（）的長度為：＝40π（m），故選：C．【變式1-2】（2022?麗水）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【答案】C【解答】解：連接AC，BD，AC和BD相交于點(diǎn)O，則O為圓心，如圖所示，由題意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴優(yōu)弧ADCB所對的圓心角為300°，∴改建后門洞的圓弧長是：＝（m），故選：C．【典例3】（2022?山西）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）A．3π﹣3 B．3π﹣ C．2π﹣3 D．6π﹣【答案】B【解答】解：沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四邊形AOBC是菱形，連接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD＝AC＝，∴AB＝2AD＝3，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣3×3＝3π﹣，故選：B．【變式3-1】（2022?畢節(jié)市）如圖，一件扇形藝術(shù)品完全打開后，AB，AC夾角為120°，AB的長為45cm，扇面BD的長為30cm，則扇面的面積是（）A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2【答案】C【解答】解：∵AB的長是45cm，扇面BD的長為30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面積S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝600π（cm2），故選：C．【變式3-2】（2022?荊州）如圖，以邊長為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（）A．﹣ B．2﹣π C． D．﹣【答案】D【解答】解：由題意，以A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，設(shè)切點(diǎn)為F，連接AF，則AF⊥BC．在等邊△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF＝＝，∴S陰影＝S△ABC﹣S扇形ADE＝×2×﹣＝﹣，故選：D．【典例3】（2022?東營）用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為4cm的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長為（）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm【答案】B【解答】解：設(shè)半圓形鐵皮的半徑為rcm，根據(jù)題意得：πr＝2π×4，解得：r＝8，所以圍成的圓錐的母線長為8cm，故選：B．【變式3-1】（2022?濟(jì)寧）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【解答】解：∵底面圓的直徑為6cm，∴底面圓的半徑為3cm，∴圓錐的側(cè)面積＝×8×2π×3＝24πcm2．故選：D．【變式3-2】（2022?牡丹江）圓錐的底面圓半徑是1，母線長是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2π×1＝2π，設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則＝2π，解得：n＝120．故選：C．【典例4】（2022?綿陽）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2﹣2，3）B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：A．【變式4-1】（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【答案】C【解答】解：連接OC，OD，∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周長等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故選：C．【變式4-2】（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（）A． B． C．3 D．2【答案】C【解答】解：連接OB、OC，如圖：∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑OB＝OC＝＝3，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六邊形的邊長為3，故選：C．真題精選真題精選命題點(diǎn)1弧長、扇形面積的有關(guān)計(jì)算命題點(diǎn)1弧長、扇形面積的有關(guān)計(jì)算1．（2022?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長為（）A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【解答】解：∵直徑AB＝6，∴半徑OB＝3，∵圓周角∠A＝30°，∴圓心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的長是＝π，故選：D．2．（2022?蘭州）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為（）A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2【答案】D【解答】解：S陰＝S扇形DOA﹣S扇形BOC＝﹣＝2.25πm2．故選：D．3．（2022?湖北）一個(gè)扇形的弧長是10πcm，其圓心角是150°，此扇形的面積為（）A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2【答案】B【解答】解：根據(jù)題意可得，設(shè)扇形的半徑為rcm，則l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π（cm2）．故選：B．4．（2021?柳州）如圖所示，點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A′，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解答】解：由題意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A′C＝AC＝4．在Rt△A′BC中，cos∠ACA′＝＝．∴∠ACA′＝60°．∴扇形ACA′的面積為＝π．即線段CA掃過的圖形的面積為π．故選：D．5．（2021?廣州）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm【答案】B【解答】解：由題意得：CA和CB分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴＝16π（cm），故選：B．命題點(diǎn)2圓錐有關(guān)計(jì)算命題點(diǎn)2圓錐有關(guān)計(jì)算6．（2022?廣安）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2 C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圓半徑DE＝2m，∴圓柱的底面積為4πm2，所以A選項(xiàng)不符合題意；∵圓柱的高CD＝2.5m，∴圓柱的側(cè)面積＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B選項(xiàng)不符合題意；∵底面圓半徑DE＝2m，即BC＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，∴圓錐的母線長AB＝＝2.5（m），所以C選項(xiàng)符合題意；∴圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．7．（2022?大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開圖的面積是（）A．60π B．65π C．90π D．120π【答案】B【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖扇形的半徑為：＝13，其弧長為：2×π×5＝10π，∴圓錐側(cè)面展開圖的面積為：＝65π．故選：B．8．（2022?無錫）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母線長l＝5，半徑r為4，∴圓錐的側(cè)面積是S＝πl(wèi)r＝5×4×π＝20π．故選：C．命題點(diǎn)3陰影面積的計(jì)算命題點(diǎn)3陰影面積的計(jì)算9．（2022?遂寧）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm2【答案】C【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝＝25（cm），所以圓錐的側(cè)面展開圖的面積＝×2π×7×25＝175π（cm2）．故選：C． 10．（2022?資陽）如圖．將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接CO，直線l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝＝，∴陰影部分的面積為：＝﹣，故選：B．11．（2022?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2【答案】C【解答】解：連接OE，OC，BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝2，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，故選：C．12．（2022?賀州）如圖，在等腰直角△OAB中，點(diǎn)E在OA上，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓弧交OB于點(diǎn)F，連接EF，已知陰影部分面積為π﹣2，則EF的長度為（）A． B．2 C．