上傳人：蒲***

認(rèn)證信息

認(rèn)證類(lèi)型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：山東

IP屬地：山東 上傳時(shí)間：2025-01-11 格式：DOCX 頁(yè)數(shù)：15 大?。?76.86KB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題2024年12月8日8:00-10：00注意：①本卷不得使用計(jì)算器；②報(bào)考A組的考生作答A卷（所有試題），報(bào)考B組的考生作答B(yǎng)卷（前16題）；③請(qǐng)考生按規(guī)定用筆，將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上．一．選擇題I（本題共4小題，每小題6分，共24分．每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分．）1．已知兩圓C1,C2，則“C1,C2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．若α∈12, ABCD3．已知對(duì)任意平面向量AB=x,y，把AB繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量AP=xcosθ?ysinθ,xsinθ+A．12 B．32 C．1 D4．已知△ABC的內(nèi)心為I，垂心為H，∠B=π4，若A．0,π6 B．π6,π4 C二．選擇題II（本題共3小題，每小題8分，共24分．每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得8分，選對(duì)但不全的得部分分，不選、有選錯(cuò)的均不得分．）5．設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù)，若關(guān)于x的不等式aA．a(chǎn)+c<2b B．1a+1c>6．?dāng)?shù)列an是等差數(shù)列，周期數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=cosan．若集合X=A．4 B．5 C．6 D．77．已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)M是線(xiàn)段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)A．對(duì)任意的點(diǎn)M，總存在點(diǎn)N使得MNB．三棱錐M?BCN外接球的球心可以是線(xiàn)段C．三棱錐M?BCND．二面角M?AC三、填空題（本題共6小題，每小題8分，共48分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置上．）8．已知函數(shù)fx滿(mǎn)足fx+f11?x9．在斜三棱柱的9條棱中任取2條，則取出的兩條棱所在直線(xiàn)異面的概率為▲．10．在3×3的方格表內(nèi)填入1,2,?,9，若任何有公共邊的兩格內(nèi)填的數(shù)之差的絕對(duì)值都不小于c，則11．已知9位學(xué)生在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)的平均值為75，方差為80，則這9位學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)的最大值為▲．12．設(shè)Px0,y0為橢圓x2Q2,1分別作兩坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)圍成的矩形的面積的最大值為13．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿(mǎn)足z1?i=▲．（注：Rez表示z的實(shí)部四、解答題I（本題共3小題，第14、15題每題17分，第16題20分，共54分．）14．在△ABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別為（1）判斷△ABC的形狀，（2）若△ABC為等腰三角形，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作BE⊥CD于E點(diǎn)，求15．已知函數(shù)fx（1）求證：fx（2）若關(guān)于x的不等式1?kx≤fx+1≤116．已知雙曲線(xiàn)Γ:x2?y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)點(diǎn)F1（1）若C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足SΔF2RC=（2）若RM=14RS,五、解答題II（A卷試題，B卷考生不答．本題共2小題，每小題25分，共50分．）17．已知p為素?cái)?shù)，定義fpn表示正整數(shù)n的不被p整除的最大因子，記求證：（1）an（2）i=18．設(shè)集合A=x1,x2,?,xn,xi∈Z,i（1）若A=1,2,4,?,2n（2）若b1,b2,?,b2n答案詳解一．選擇題I（本題共4小題，每小題6分，共24分．每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分．）1．已知兩圓C1,C2，則“C1,C2A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A．2．若α∈12,ABCD答案：C．3．已知對(duì)任意平面向量AB=x,y，把AB繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量AP=xcosθ?ysinθ,xsinA．12B．32C．1D答案：A．解析：已知坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)曲線(xiàn)Γ上任意一點(diǎn)為Px0,y0，點(diǎn)P繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π4得到的點(diǎn)為Qx所以722x+此時(shí)離心率為12，故選A4．已知△ABC的內(nèi)心為I，垂心為H,∠B=π4，若IH//A．0,π6B．π6,π4答案：D．法1：作E⊥BC于E，連AH并延長(zhǎng)交BC于D．由IH//BC，得HD又∠IBE=1BCBC從而rtanB2+又tanB=1,tanB2=化簡(jiǎn)方程，得2x令fx=2x3+3x2?又當(dāng)0<x<33時(shí)，fx=從而對(duì)于滿(mǎn)足條件的∠C，有tanC2∈33,1，法2：考慮特殊位置，當(dāng)∠C=π4時(shí)，垂心H在內(nèi)心I當(dāng)∠C=π2時(shí)，垂心H在內(nèi)心I的下方（如圖2）；可知存在∠進(jìn)而考慮當(dāng)∠C=π3時(shí)，垂心H在內(nèi)心I的上方（二．選擇題II（本題共3小題，每小題8分，共24分．每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得8分，選對(duì)但不全的得部分分，不選、有選錯(cuò)的均不得分．）5．設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù)，若關(guān)于x的不等式ax?bA．a(chǎn)+c<2bB．1a答案：ABD．解：由題意，abx+cbx>1成立當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于A，a+c=對(duì)于B，1a+1c?b對(duì)于C，取a=c=1,b對(duì)于D，b2=a+c2故選ABD．6．?dāng)?shù)列an是等差數(shù)列，周期數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=cosan．若集合X=A．4B．5C．6D．7答案：ABC．解：對(duì)于A，取an=π對(duì)于B，取an=2π對(duì)于C，取an=π對(duì)于D，當(dāng)T≥7時(shí)，可知a1,a2,?,a7對(duì)應(yīng)的角的終邊各不相同，由抽屜原理可知，至少存在4個(gè)角的終邊，它們落在x軸的同側(cè)（含故選ABC．7．已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)M是線(xiàn)段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)A．對(duì)任意的點(diǎn)M，總存在點(diǎn)N使得MNB．三棱錐M?BCN外接球的球心可以是線(xiàn)段C．三棱錐M?BCND．二面角M?AC答案：BCD．解：對(duì)A，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)A1時(shí)，點(diǎn)M在底面的射影落在點(diǎn)A處，點(diǎn)N在底面的射影點(diǎn)N′落在線(xiàn)段BC上，若MN⊥AC，則AN′⊥AC，如圖（對(duì)B，當(dāng)M,N分別位于D1,B1處，三棱錐M?BCN的外接球即正方體的外接球，此時(shí)球心為線(xiàn)段BD1對(duì)C，三棱錐M?BCN外接球半徑大于等于△MBC的外接圓O1的半徑，易得M位于A1D1中點(diǎn)時(shí)∠BMC最大，此時(shí)三角形的外接圓半徑最小，2R=BCsin∠BMC=924，即R=928．如圖（2）取B,C中點(diǎn)E，則O1必在線(xiàn)段ME上，過(guò)O作OH垂直平面BC1交于點(diǎn)H，易得OE=728對(duì)D，記二面角M?AC?N，二面角M?AC?D，二面角N?AC?B的大小分別為α記線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為O，易得點(diǎn)M在點(diǎn)D1時(shí)，β=∠D1OD要使得γ最小，則平面NAC與曲線(xiàn)Γ必相切，則平面NAC與平面BC1的交線(xiàn)CN與曲線(xiàn)Γ相切，如圖（3），記CN與BB1交于點(diǎn)F，易得此時(shí)BF此時(shí)tanα=?tanβ+γ故選BCD．三、填空題（本題共6小題，每小題8分，共48分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置上．）8．已知函數(shù)fx，滿(mǎn)足fx+f11?x答案：749．在斜三棱柱的9條棱中任取2條，則取出的兩條棱所在直線(xiàn)異面的概率為▲．答案：1310．在3×3的方格表內(nèi)填入1,2,?,9，若任何有公共邊的兩格內(nèi)填的數(shù)之差的絕對(duì)值都不小于c，則答案：3．解析：若c≥4，與5差值的絕對(duì)值為4的數(shù)只有1，9，故5只能放在角落里，如圖，則表格中間無(wú)數(shù)可填，591下面構(gòu)造c=3的情形，69325871411．已知9位學(xué)生在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)的平均值為75，方差為80，則這9位學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)的最大值為▲．答案：83．解：設(shè)9位學(xué)生的成績(jī)分別為x1,x2記x1,x2,x3,x4的平均數(shù)為由平均值為75，有4x+5y9=由分層抽樣的方差公式，可知80=得720≥49×75?5y4?75又當(dāng)x1=x2=因此，中位數(shù)x5的最大值為8312．設(shè)Px0,y0為橢圓x2+4y2=答案：252解：由題k2?k?2>0，解得k>2或k<?1．由柯西不等式可得x以Px0,S=x0?213．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿(mǎn)足z1?i=2，且z2?iz1?i=12+3解：由于上下平移不改變復(fù)數(shù)實(shí)部，所以原題可以轉(zhuǎn)化為：已知復(fù)數(shù)z1,z2滿(mǎn)足z求Rez1設(shè)z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z所以z2=z1=2設(shè)Z1=cos①當(dāng)α∈?π2,π6時(shí)，Z1,Z2在y則M16所以Rez②當(dāng)α∈π6,π2時(shí)，Z1,Z2在y軸的兩側(cè)，取Z則MRe綜上：Rez四、解答題I（本題共3小題，第14、15題每題17分，第16題20分，共54分．）14．在△ABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別為（1）判斷△ABC的形狀，（2）若△ABC為等腰三角形，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作BE⊥CD于E點(diǎn)，求解析：（1）由題可得b2+所以cosA=b2由余弦定理得：b=∴c2=a2（2）設(shè)∠ACD=α．則∠CBE=α,∠ADC=3π4?所以CDBE當(dāng)α=π8時(shí)，取到等號(hào)，所以CD15．已知函數(shù)fx（1）求證：fx（2）若關(guān)于x的不等式1?kx≤fx+1≤1答案：（1）略；（2）k≥解：（1）要證1x+1x即證x+上式左邊=x同理可得，上式右邊=1x+1?x+（2）由不等式1?kx≤fx+1≤1?tx數(shù)形結(jié)合可得，x=3是方程1x+1又由圖象可知，不等式1?kx≤1可得kx≥從而k≥1x+又函數(shù)y=1x+1?x+1+因此，k≥16．已知雙曲線(xiàn)Γ:x2?y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)點(diǎn)F1（1）若C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足SΔF2RC=（2）若RM=14RS,解：（1）AB的斜率存在且不為0，可設(shè)AB:直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)Γ聯(lián)立，x2?所以y1+y2又F2A:x=x1?2因?yàn)镾ΔF2RC設(shè)直線(xiàn)CF2交直線(xiàn)RS于點(diǎn)T，則T為線(xiàn)段RS所以x所以F與AB:x=my所以C的軌跡為x=?（2）由RM=14RSxFS===因?yàn)閙>1，所以1+2五、解答題II（A卷試題，B卷考生不答．本題共2小題，每小題25分，共50分．）17．已知p為素?cái)?shù)，定義fpn表示正整數(shù)n的不被p整除的最大因子．記求證：（1）an+1?an證明：（1）依題意，a1=pp?12下由于1,2,?,pn?1中除p所以k=則a所以an所以an+1?所以an+（2）有（1）可得a2p所以i即i=所以i=18．設(shè)集合A=x1,x2,?,xn,xi∈Z,i=（1）若A=1,2,4,?,2n（2）若b1,b2,?,b2解析：（1）設(shè)bi對(duì)應(yīng)的子集為Ai=2i因?yàn)锳i≠Aj，則設(shè)t為使得it則bi所以bi>（2）先證：若xi=d?2i?因?yàn)閎1為集合A中所有的非正數(shù)的和，b2n為