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文檔簡介

正交矩陣引入：我們曾經學習過直角坐標系中向量的數(shù)量積（點乘）。計算公式：兩向量和的數(shù)量積：n維向量的內積正是上述數(shù)量積的推廣。定義4.1.1內積一、內積的定義及性質實數(shù)說明

1.維向量的內積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義。顯然有:2.內積是向量的一種運算。如果都是列向量，內積可用矩陣記號表示為：內積的運算性質定義4.1.2

令長度范數(shù)向量的長度具有下述性質：二、向量的長度及夾角解單位向量夾角定義4.1.3

１正交的概念２正交向量組的概念正交定義4.1.4

若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組。三、向量組的正交性零向量與任何向量都正交。證明３正交向量組的性質定理4.1.1以左乘上式兩端，得注意：此定理反之不真。

設是一組線性無關的向量組，找一組兩兩正交的單位向量組，使和等價。這稱之為將向量組規(guī)范正交化。4把向量組規(guī)范正交化的方法（1）正交化取：若是一組線性無關的向量組。那么，兩兩正交，并且與等價。（2）單位化?。荷鲜鲇删€性無關向量組構造出正交向量組的過程稱為施密特正交化過程。那么就是一組規(guī)范正交化的向量組。例1

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取再單位化，得規(guī)范正交向量組如下四、正交矩陣與正交變換

A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交。證明定義4.1.5正交矩陣定理4.1.2例2

判別下列矩陣是否為正交陣。解（1）考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它不是正交矩陣。由于所以它是正交矩陣。性質：（1）若為正交矩陣，則即也是正交矩陣，并且證：（2）若、都是正交矩陣，則也是正交矩陣。證：定義4.1.6

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