2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（蘇科版）第十二章 二次根式（復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)和應(yīng)用拓展）（解析版）

第十二章二次根式復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)典例1閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)．形如，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使，且，則可變形為．從而達(dá)到化去一層根號(hào)的目的．例如化簡(jiǎn)，且，．(1)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：______；(2)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確應(yīng)用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．（1）將8寫成，將寫成，然后將被開方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案．（2）將x寫成，然后將被開方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案．【詳解】（1）解：，故答案為：，，；（2），，，，，．典例2閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)了二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含有根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．這樣就可以將進(jìn)行化簡(jiǎn)，即：．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：對(duì)于，若能找到兩個(gè)數(shù)m和n，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．（其中a，b，m，n均為正整數(shù)）例如：∵，∴．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn)；(3)若，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照題中的計(jì)算方法以及完全平方公式求解即可；（2）仿照題中的計(jì)算方法以及完全平方公式求解即可；（3）仿照題中的計(jì)算方法以及完全平方公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，∴，則．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)、完全平方公式，理解題中計(jì)算方法，利用類比思想求解是解答的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡(jiǎn)．經(jīng)過思考①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；(2)請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，掌握被開方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的材料化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過程中，第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：④，；（2）解：①原式；②原式．跟蹤訓(xùn)練2閱讀材料：小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小李同學(xué)進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小李同學(xué)就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小李同學(xué)的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．(3)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式將展開即可求解；（2）由（1）中所得結(jié)論結(jié)合a、m、n均為正整數(shù)，即可求解；（3），據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵∴．故答案為：．（2）解：∵∴，由（1）中結(jié)論可知：，∴，∵m、n均為正整數(shù)，∴或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴a的值為或．（3）解：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)．正確理解題意是解題關(guān)鍵．二次根式應(yīng)用問題典例3如圖，在長(zhǎng)方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片則圖中空白部分的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)正方形的面積求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵兩張正方形紙片面積分別為和，∴它們的邊長(zhǎng)分別為，，∴，，∴空白部分的面積故選：A．典例4【閱讀下列材料】：若，，則，，∴．（注：）∵，，∴．“”稱為“基本不等式”，利用它可求一些代數(shù)式的最值及解決一些實(shí)際問題．（a、b為正數(shù)；積定和最??；和定積最大；當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴時(shí)，的最小值為8．【解決問題】(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形菜園，當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)是多少；(2)用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，菜園面積最大？最大面積是多少；(3)如圖，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，、的面積分別為2和3，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為米，米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；(2)菜園的長(zhǎng)為50m，寬為m時(shí)，面積最大為；(3)四邊形面積的最小值為．【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用．（1）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊為米，則，，所以所用籬笆的長(zhǎng)為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可；（2）設(shè)垂直于墻的一邊為xm，利用矩形的面積公式得到菜園的面積關(guān)于x的關(guān)系式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)B到的距離為，點(diǎn)D到的距離為，又、的面積分別是2和3，則，，，從而求得，然后根據(jù)材料提供的信息求出最小值即可．【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊為米，則，∴，∴所用籬笆的長(zhǎng)為米，，∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為，∴或（舍去）．∴這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為米，米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；（2）解：設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為m，∴菜園的面積，又∵，∴當(dāng)時(shí)，菜園的面積有最大值為1250，答：菜園的長(zhǎng)為50m，寬為m時(shí)，面積最大為；（3）解：設(shè)點(diǎn)B到的距離為，點(diǎn)D到的距離為，又∵、的面積分別是2和3，∴，，∴，∴∵．∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為，∴四邊形面積的最小值為．跟蹤訓(xùn)練3如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形：正方形和正方形，面積分別為1和2，那么圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查求陰影部分的面積，二次根式的混合運(yùn)算．正確的識(shí)圖，確定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，是解題的關(guān)鍵．分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，利用長(zhǎng)方形的面積減去兩個(gè)正方形的面積即可得解．【詳解】解：∵兩個(gè)正方形的面積分別為1和2，∴它們的邊長(zhǎng)分別為：和，由圖可知，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，即為，寬為大正方形的邊長(zhǎng)，即為，∴陰影部分的面積為；故選：B．跟蹤訓(xùn)練4閱讀理解：由得，；如果兩個(gè)正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當(dāng)，式子的最小值為；(2)如圖1，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米，籬笆周長(zhǎng)指不靠墻的三邊），這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

(3)如圖2，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，的面積分別是6和12，求四邊形面積的最小值．

【答案】(1)6(2)20米(3)【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用，閱讀材料，材料閱讀題是中學(xué)階段所學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，體會(huì)材料中的數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)會(huì)用新方法去解決數(shù)學(xué)中的問題，對(duì)學(xué)生的要求較高，是一道拔高型的綜合題目．（1）根據(jù)材料提供的信息解答即可．（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊為米，則，，所以所用籬笆的長(zhǎng)為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可．（3）設(shè)點(diǎn)B到的距離為，點(diǎn)D到的距離為，又、的面積分別是6和12，則，，，從而求得，然后根據(jù)材料提供的信息求出最小值即可．【詳解】（1）解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為6．（2）解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊為米，則，∴，∴所用籬笆的長(zhǎng)為米，∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為20，∴或（舍去）．∴這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為10米，5米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20米．（3）解：設(shè)點(diǎn)B到的距離為，點(diǎn)D到的距離為，又∵、的面積分別是6和12，∴，，∴，∴∵．∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為，∴四邊形面積的最小值為．1、如圖，將長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形剪拼成一個(gè)正方形，則正方形邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查圖形的拼接，根據(jù)正方形的面積等于長(zhǎng)方形的面積進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬∴長(zhǎng)方形的面積為：，∵正方形是由這樣的長(zhǎng)方形拼接面成的，∴正方形的面積為，因此正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．2．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則該三角形的面積為．已知的三邊長(zhǎng)分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的三邊長(zhǎng)分別為，∴，故選：C．3、閱讀下列材料，解決問題：①∵∴∴②∵∴∴……由此可知，部分含有雙重二次根式的式子可以運(yùn)用以上方法進(jìn)行化簡(jiǎn)．(1)化簡(jiǎn)：；(2)現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為，，的三條線段，以這三條線段的長(zhǎng)為邊能否構(gòu)成三角形？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)例題以及二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）先化簡(jiǎn)雙重二次根式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：∵∴；（2）能，理由如下，∵∴∵，∵∴∵∴即∴長(zhǎng)度分別為，，的三條線段，以這三條線段的長(zhǎng)為邊能構(gòu)成三角形【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系定理，掌握二次根式的運(yùn)算法則、完全平方公式以及三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．4、先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡(jiǎn)經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：①②③④在上述化簡(jiǎn)過程中，第________步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為________；（2）化簡(jiǎn)；（3）請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，；（2）類比例題，將9分別拆為兩個(gè)二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計(jì)算求值即可；（3）類比例題，將8分別拆為兩個(gè)二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計(jì)算求值即可．【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，正確解答如下：；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和完全平方公式的運(yùn)用，能夠?qū)?shù)據(jù)拆為正確的完全平方公式是解題的關(guān)鍵．5、閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S=．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式．中國(guó)的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫—秦九韶公式”完成下列問題：如圖，在中，，，．(1)求的面積；(2)設(shè)邊上的高為，邊上的高為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查三角形面積的計(jì)算，二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意及所學(xué)的三角形的面積公式進(jìn)行求解．（1）先計(jì)算，再代入海倫公式即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積求法即可求出，，即可計(jì)算2的值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，所以，∴的面積為；（2）∵，∴∴，；∴．6、閱讀材料：已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立．這個(gè)結(jié)論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問題中有著廣泛的應(yīng)用．例：已知，求代數(shù)式最小值．解：令，，則由，得．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式取到最小值，最小值為4．根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)已知，則當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式到最小值，最小值為______；(2)用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形花園，則當(dāng)這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短？最短的籬笆的長(zhǎng)度是多少米？(3)已知，則自變量x取何值時(shí)，代數(shù)式取到最大值？最大值為多少？(4)若x為任意實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值為m，則m范圍為______．【答案】(1)，(2)這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)、寬均為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆的長(zhǎng)度是40米(3)自變量時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為(4)【分析】本題主要考查了“均值不等式”的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解例題，借助例題求解．（1）根據(jù)例題，可得，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，最小值為，即可獲得答案；（2）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為米，籬笆周長(zhǎng)為米，可得函數(shù)解析式為，根據(jù)例題，即可獲得答案；（3）將原函數(shù)變形為，由取最小值，即可確定自變量取何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，并求得最大值．（4）分，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，當(dāng)且僅