第六章控制系統(tǒng)的誤差分析資料講解

第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算

6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念

6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差

6.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差

6.4減小系統(tǒng)誤差的途徑

6.5動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)

6.6綜合例題6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念圖6-1誤差和偏差的概念控制系統(tǒng)的方塊圖如圖6-1所示+-誤差定義為控制系統(tǒng)希望的輸出量與實(shí)際的輸出量之差，記做e(t)，誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量被稱為穩(wěn)態(tài)誤差，或稱為靜態(tài)誤差，記作。輸入信號(hào)和反饋信號(hào)比較后的信號(hào)也能反映系統(tǒng)誤差的大小，稱之為偏差。應(yīng)該指出，系統(tǒng)的誤差信號(hào)e(t)與偏差信號(hào)，在一般情況下并不相同(見(jiàn)圖6-1)?？刂葡到y(tǒng)的誤差信號(hào)的象函數(shù)是（6-1）而控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)的象函數(shù)是（6-2）考慮與近似相等，，得

(6-3)及(6-4)比較(6-3)和(6-4)兩式，求得誤差信號(hào)與偏差信號(hào)之間的關(guān)系為或

對(duì)于實(shí)際使用的控制系統(tǒng)來(lái)所，往往是一個(gè)常數(shù)，因此通常誤差信號(hào)與偏差信號(hào)之間存在簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，求出穩(wěn)態(tài)偏差就得到穩(wěn)態(tài)誤差。從圖6-3可以看出，輸入引起的系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)為：由終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為：而式中，為穩(wěn)態(tài)誤差。一般情況下，H為常值，故這時(shí)：

顯然，穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸入信號(hào)的性質(zhì)。

例6-1，見(jiàn)書(shū)本P199。給學(xué)生5分鐘自學(xué)。6.2.2靜態(tài)誤差系數(shù)(1)系統(tǒng)的類(lèi)型。對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，設(shè)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，=0,1,2,…，表示系統(tǒng)為0、Ⅰ、Ⅱ型等(2)靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，其中，，定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系統(tǒng)(3)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號(hào)時(shí)r(t)=t·1(t)，即，則有

其中

，定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

對(duì)于0型系統(tǒng)：對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：對(duì)于Ⅱ型或Ⅱ型以上系統(tǒng)：(4)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度信號(hào)時(shí)，即則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中，，定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞；對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞；對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，Ka=K，ess=；對(duì)于Ⅲ型或Ⅲ型以上系統(tǒng)，Ka=∞，ess=0。所以，0型和Ⅰ型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號(hào)。具有單位反饋的Ⅱ型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能跟蹤加速度輸入信號(hào)的。但帶有一定的位置誤差。高于Ⅱ型系統(tǒng)由于穩(wěn)定性差不實(shí)用。表6-1各種輸入下各種類(lèi)型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入形式穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)單位階躍00單位斜坡∞0單位加速度∞∞誤差及誤差系數(shù)總結(jié)見(jiàn)書(shū)本P201-202，同學(xué)們課堂看5分鐘。例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，求當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=2t+t2時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)知，閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第二步，求穩(wěn)態(tài)誤差ess，因?yàn)橄到y(tǒng)為型系統(tǒng)，根據(jù)線性系統(tǒng)的奇次性和疊加性，有

故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1。書(shū)上P202-203例子同學(xué)們課后自學(xué)。

6.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于如圖6-7所示系統(tǒng):

圖6-7干擾引起誤差的系統(tǒng)

干擾引起的偏差為：

根據(jù)終值定理，干擾引起穩(wěn)態(tài)偏差為：

則干擾引起穩(wěn)態(tài)誤差為：例

某系統(tǒng)如下圖所示，當(dāng)同時(shí)作用時(shí)，值為多少？書(shū)本P203-205例子同學(xué)們課后自學(xué)解:求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)首先判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。根據(jù)勞斯判據(jù)該系統(tǒng)穩(wěn)定。單位反饋系統(tǒng)的偏差即為誤差。當(dāng)求兩個(gè)量同時(shí)作用時(shí),線性系統(tǒng)的偏差，可利用疊加原理，分別求出每個(gè)量作用情況下的偏差，然后相加求出。

6.4減小系統(tǒng)誤差的途徑（1）反饋通道的精度對(duì)于減小系統(tǒng)誤差是至關(guān)重要的。反饋通道元部件的精度要高，避免在反饋通道引入干擾。（2）在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對(duì)于輸入引起的誤差，可通過(guò)增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)型次減小之；對(duì)于干擾引起的誤差，可通過(guò)在系統(tǒng)前向通道干擾點(diǎn)前加積分器和增大放大倍數(shù)減小之。（3）對(duì)于既要求穩(wěn)態(tài)誤差小，又要求良好的動(dòng)態(tài)性能的系統(tǒng)。單靠加大開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)往往不能同時(shí)滿足要求，這時(shí)可采用復(fù)合控制的方法，或稱順饋的辦法來(lái)對(duì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。補(bǔ)償?shù)姆绞娇砂锤蓴_補(bǔ)償和按輸入補(bǔ)償分成兩種。6.4.1按干擾補(bǔ)償當(dāng)干擾直接可測(cè)量時(shí)，那么可利用這個(gè)信息進(jìn)行補(bǔ)償。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。為補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)。輸出對(duì)干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

則干擾對(duì)輸出的影響可消除，得到對(duì)于干擾全補(bǔ)償?shù)臈l件為：6.4.2按輸入補(bǔ)償按輸入補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。按下面推導(dǎo)確定，使系統(tǒng)滿足在輸入信號(hào)作用，誤差得到全補(bǔ)償。

6.5動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)

穩(wěn)態(tài)誤差相同的系統(tǒng)其誤差隨時(shí)間的變化常常并不相同，我們有時(shí)希望了解系統(tǒng)隨時(shí)間變化的誤差，于是引出動(dòng)態(tài)誤差的概念。例如

由于其靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)均相同，從穩(wěn)態(tài)的角度看不出有任何差異；但由于這兩個(gè)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)有差別、阻尼比有差別，則過(guò)渡過(guò)程將不同，其誤差隨時(shí)間的變化也不相同。

研究動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)就可能提供一些關(guān)于誤差隨時(shí)間變化的信息，即系統(tǒng)在給定輸入作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)誤差以前的變化規(guī)律。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，輸入引起的誤差傳遞函數(shù)在s=0的鄰域展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，并近似地取到n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即得

其具體求法可采用長(zhǎng)除法。將上式進(jìn)行拉氏反變換，得

定義上式中，

—?jiǎng)討B(tài)位置誤差系數(shù)；

—?jiǎng)討B(tài)速度誤差系數(shù)；

—?jiǎng)討B(tài)加速度誤差系數(shù)。

與靜態(tài)誤差系數(shù)越大則靜態(tài)誤差越小類(lèi)似，其動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)越大則動(dòng)態(tài)誤差也越大。

例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試求輸入為時(shí)的系統(tǒng)誤差。

解：6.6 例題