2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)分類匯編：平面解析幾何

考點(diǎn)7平面解析幾何

——五年(2020—2024)高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)分類匯編

一、選擇題

1.[2021年新高考H卷偌拋物線9=295>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為應(yīng)，則p=()

A.lB.2C.2A/2D.4

22

2.[2021年新高考J卷]已知工,凡是橢圓C：二+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)/在C上，則

94

|咋卜附閭的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

22

3.[2023年新課標(biāo)I卷]設(shè)橢圓￡:二+丁=1(?！?),c?：'+：/=1的離心率分別為q,e,.

a4

若e?=貝U。=()

2A/3[―

B.V2C.V3D.V6

3

4.[2024年新課標(biāo)II卷]已知曲線C:必+V=I6(y〉0),從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線PP',

P為垂足，則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

x2y222

A.—+^=l(y>0)B.—+^=l(y>0)

164168

2222

c+=1(y>0)D.^+—=l(y>0)

4T168

5.[2023年新課標(biāo)I卷]過點(diǎn)(0,-2)與圓f+VTx-1=0相切的兩條直線的夾角為c,則

sina=()

A」B.日

Vz.U.

44

6.[2023年新課標(biāo)H卷]已知橢圓C:j+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)。,直線y=與

C交于A,3兩點(diǎn)，若△耳AB面積是△KA3面積的2倍，則m=()

V2

R「6

AD.--------c.------

-t33"I

二、多項(xiàng)選擇題

7.[2021年新高考I卷]已知點(diǎn)P在圓(x-5))+(y-5)2=16上，點(diǎn)4(4,0),5(0,2),則()

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)N*最小時(shí)，PB=3y/2

D.當(dāng)NPfiA最大時(shí)，PB=30

8.[2022年新高考H卷]已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線。：9=2夕%(0〉0)焦點(diǎn)歹的直線與。

交于A,3兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0).若|A用=|川0|,則()

A.直線A3的斜率為2#B.|(9B|=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

9.[2024年新課標(biāo)I卷]設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型,可以看作圖中的曲線C的一部分.已

知C過坐標(biāo)原點(diǎn)。，且C上的點(diǎn)滿足:橫坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)尸(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)

)

A.u——2

B.點(diǎn)(2夜,0)在C上

CC在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點(diǎn)(如陽)在c上時(shí)，兒<—

10.[2022年新高考I卷]已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,l)在拋物線C:x2=2py(p〉0)上，過點(diǎn)

5(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，則()

AC的準(zhǔn)線為y=-1B.直線A3與C相切

C.|OP|-|6)ei>|OA|2D.\BP\\BQ|>|BA|2

三、填空題

22

11.[2024年新課標(biāo)I卷]設(shè)雙曲線C:=-當(dāng)=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為不工，

ab

過工作平行于V軸的直線交C于A,3兩點(diǎn)，若閨H=13,||=10,則C的離心率為.

12.[2021年新高考I卷]已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2pxCp>0)的焦點(diǎn)為R,尸為C上

一點(diǎn)，PR與x軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且若|皿|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

22

13.[2023年新課標(biāo)I卷]已知雙曲線2=1(。>0,/?>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，

ab

__k9_____________k

B.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)3在y軸上，F(xiàn)[A±F\B,F^A=--F^,則。的離心率為.

22

14.[2022年新高考H卷]已知直線/與橢圓尢+4=1在第一象限交于A,3兩點(diǎn)，/與x軸、

y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且|MA|=|Nfi|,|MN|=26,則/的方程為.

22

15.[2022年新高考I卷]已知橢圓。：谷+』=1(?！?〉0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，

ab

F2,離心率為;.過耳且垂直于Ag的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，|DE|=6,則△")￡的周長(zhǎng)

是.

16.[2022年新高考H卷]設(shè)點(diǎn)A(-2,3),3(0,0),若直線A3關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓

(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

四、解答題

17.[2024年新課標(biāo)I卷]已知A(0,3)和為橢圓。工+)=1(?！?〉0)上兩點(diǎn).

(1)求C的離心率；

(2)若過尸的直線/交C于另一點(diǎn)3,且△回9的面積為9,求/的方程.

18.[2023年新課標(biāo)H卷]已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-26,0),離心率為君.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M

在第二象限，直線"4與N4交于點(diǎn)P,證明：點(diǎn)P在定直線上.

19.[2020年新高考I卷]已知橢圓C：J+/=l(a〉6〉0)的離心率為冷，且過點(diǎn)A(2,l).

(1)求C的方程：

(2)點(diǎn)M,N在C上，且AD±MN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使得為

定值.

20.[2021年新高考I卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)耳(-JI7,0),6(市,0),點(diǎn)航

滿足|阿卜|咋|=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=!上，過T的兩條直線分別交C于A,3兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且

2

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

21.[2023年新課標(biāo)I卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距

離，記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形A3CD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于36.

22

22.[2022年新高考H卷]已知雙曲線C:。-斗=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為砥2,0),漸近

線方程為y=t6x.

(1)求C的方程；

(2)過R的直線與C的兩條漸近線分別交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)P(％,%),0(々,%)在。上，且

玉〉々〉0，X〉0?過。且斜率為-四的直線與過Q且斜率為G的直線交于點(diǎn)”.從下面①②③

中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①〃在A3上；②PQHAB；③|MA|=|M3|.

★參考答案★

1.答案：B

解析：本題考查點(diǎn)到直線的距離及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).拋物線V=2px(p>o)的焦點(diǎn)為尸仁,0

由題意,=及,解得p-2.

2.答案：C

解析：由題意可知，|5|+|咽|=2。=6,所以|“耳卜阿閭也竺邛四]=9,當(dāng)且僅當(dāng)

陽=眼閭=3時(shí)，等號(hào)成立，所以眼耳卜眼閭的最大值為9,

故選C.

3.答案：A

解析：由橢圓G的方程知離心率4=也匚，由橢圓G的方程知

a2

又?..=百"，即無=百.包二1,化簡(jiǎn)得/=44—4,漢I.故選

212a33

A.

4.答案：A

解析：設(shè)/(%,%)，則。宙，2%)，因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，所以x；+(2%y=16(%>0),即

2222

工+迎=1(%〉0),所以線段PP的中點(diǎn)〃的軌跡方程為二+匕=l(y〉0),故選A.

164v'164

5.答案：B

解析：設(shè)圓/+/一4x-1=0為圓C,化簡(jiǎn)得(％—2)2+9=5,圓心為C(2,0),半徑廠=君.如

圖，設(shè)NCB4=6>,則a=2。，sin，=0U,石=岑,易知cos?！怠?，則

\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22V2

cos。=一7=,所以sina=sin20=2sin9cos。=---.故選B.

2V24

解析：設(shè)直線與X軸交于點(diǎn)Af(T%0),直線方程與橢圓方程聯(lián)立得

4y2c4/c\

---------1-2rruc+m2-1=0,A=(2m)2-4—(m2-1)>0,解得一2<m<2.

33v7

設(shè)耳(-0,0),月(0,0)到直線A3的距離分別為4,乙，由題意得，2--\AB\-d2=~\AB\-dl,

所以4=24.由三角形相似可得，4=叫=匕2％1=2,解得根=一變或根=_3夜.因?yàn)?/p>

一d2\F2M\\42+m\3

也

-2<m<2所以加=----,故選C.

93

7.答案：ACD

解析：設(shè)圓(-5)-6的圓心為小5,5),由題知直線他的方程為:+/,即

x+2y-4=0,則圓心M到直線A3的距離d=國(guó)軍二制=其〉4,所以直線A3與圓〃相

V5V5

離，所以點(diǎn)P到直線A3的距離的最大值為4+d=4+",4+^=<5+后=10,故A正確.

點(diǎn)尸到直線A3的距離的最小值為4-4=磊-4,定_4(卷—4=1,故B不正確.過點(diǎn)3

作圓"的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,Q,如圖所示，連接MB,MN,MQ,則當(dāng)N*最小時(shí),

點(diǎn)P與N重合，PB=^MB--MN2=752+(5-2)2-42=372,當(dāng)NPS4最大時(shí)，點(diǎn)尸與。重

合，PB=342,故C,D正確.

解析：由|AE|=|AM|,可知5二擊也二1。.代入產(chǎn)=2內(nèi)，得以=多(負(fù)值已舍去).

y=2yj6x-46p,得

^^=2A/6,直線AB的方程為＞=2后-Cp.聯(lián)立＜

_P_,2=2pX,

12

\/

24犬2—26p九+6,2=0,貝Ijxx=§，得/="|■，貝U%=—9p.故A(3A/6

AB-p,——p,B

4233)

P

一_2

Fy,o,M(p,O).選項(xiàng)A,k力尸=一丁-=2^6=kAB,故正確.選項(xiàng)B,

￡

2

|C51=Jx；+城=p手g故錯(cuò)誤.選項(xiàng)C,|AB|=%+/+P=＞2"=4|Ob|,故正確.

(3V6((2指〕

選項(xiàng)D,易得況=，OB=逅/，MA=，MB=一一P，----P

口丁J433JI42J33

2Q

因?yàn)楹?礪=n2-/=一一p2<0,所以ZAOB為鈍角.

44

25

因?yàn)檫~.礪=2n—p2=—1/<0,所以NAMB為鈍角，所以NQ4"+NOSM<180。，故正

66

確.選ACD.

9.答案：ABD

解析：因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)。在曲線C上，所以2x|a|=4,又。<0,所以。=-2,所以A正確.

因?yàn)辄c(diǎn)(20,0)到點(diǎn)/(2,0)的距離與到定直線1=-2的距離之積為(272-2)(20+2)=4,所以

點(diǎn)(20,0)在曲線C上，所以B正確.

設(shè)P(x,y)(x>Q,y〉0)是曲線C在第一象限的點(diǎn)，則有而三百丁(％+2)=4,所以

V=—(x-2)2,令/(%)=—(%—2f,貝I]尸(x)=-—2(x—2),因?yàn)?⑵=1,

(x+2)~(x+2)，(x+2),

且尸(2)<0,所以函數(shù)/(幻在％=2附近單調(diào)遞減，即必定存在一小區(qū)間(2-￡,2+￡)使得/(幻

單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(2-￡,2)上均有/(幻>1,所以P(x,y)縱坐標(biāo)的最大值一定大于1,所

以C錯(cuò)誤.

因?yàn)辄c(diǎn)(%,%)在。上，所以/〉一2且—2『+y；(%+2)=4,得

君=/%-5-2)24/鼻，所以先引為|'尹三=±，所以D正確.綜上，選

(%+2)(%+2)V(xo+2)%+2

ABD.

10.答案：BCD

解析：對(duì)于A,由點(diǎn)A(l,l)在拋物線C上，得2P=1,解得°=工，則C的準(zhǔn)線為丁=-工，故

A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,由點(diǎn)A,3的坐標(biāo)得直線A3的斜率左鉆=2，所以直線A3的方程為y=2x-1,由

,'=2：-1，得爐一2尤+1=(》一1)2=0,解得％=1.將1=1代入丫=/,得3；=1,所以切點(diǎn)為(1,1),

y=x

即為A點(diǎn)，所以直線A3與C相切，故B正確.

對(duì)于C,由于直線PQ的斜率一定存在，設(shè)直線PQ的方程為丁=丘-1,由得

y=kx-l,

x2-kx+l=0,所以貝！J=1,所以

OPOQ=xpxQ+yp-yQ=2=\OP\\OQ\cos0<]OP\\OQ\(其中，為歷與質(zhì)的夾角)，又

|G>A|2=(l-0)2+(l-0)2=2,所以|Q4|2<|OP|.|OQ|,故C正確.

對(duì)于D,由C知13Pl?1501=，1+公|與卜，1+1212卜(1+左2)|與々卜1+左2,由B選項(xiàng)知I人|>2,

所以1+k2>5.又13Al2=(1_0)2+口_(_1)]2=5,所以13Pl?|3。|>|3A|2,故D正確.故選BCD.

11.答案：-

2

解析：法一：由|AB|=10及雙曲線的對(duì)稱性得恒用=等=5,因?yàn)閨然|=13,所以

2a=|AF；|-|A^|=13-5=8,2c=|=-\AF,f=V132-52=12,所以a=4,c=6,

則C的禺心率e=—=—=—.

a42

r\i27222

法二：因?yàn)閨AB|=10,所以生=10,所以幺==^=5,又|蝴|=13,所以

aaa

閨K|=2c==12,得c=6,所以1+54—36=0,得a=4,所以C的離心率

c63

e=———=—.

a42

12.答案：x=--

2

解析：本題考查拋物線的圖象與性質(zhì).因?yàn)镻ZFx軸，所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［與p1（假設(shè)點(diǎn)尸在x

軸上方，點(diǎn)尸在X軸下方同理）.因?yàn)镻QLOP,所以△OPQaPQR,所以竺=里，即

FQPF

PF2=OFFQ,所以p2=3p,解得p=3,所以C的準(zhǔn)線方程為了=-|.

解析：法一：建立如圖所示的坐標(biāo)系，依題意設(shè)耳（-c,0）,工（。,0），5（0,九）.

耶=(G")，則

254

--C2—YI2

又點(diǎn)A在雙曲線C上，則2——2丁=1,整理得當(dāng)-駕=9,

abab

將“2=402,〃=。2—后代入，得岑—4^T=9,即25e2—g=9,解得e?=2或《2=工(舍

a2c2-a2e2-l55

去),故e考

_2_______,IM2

法二:由可=_§可得=設(shè)內(nèi)A|=2x,則優(yōu)@=3x,\AB\^5x.

\F2B\3

由雙曲線的對(duì)稱性可得出口=3x,由雙曲線的定義可得|明|=2x+2a.

sin0=—=3,cos0=—=|AFj|=4a,\AF\=2a.

設(shè)Z-FXAF2=，，則所以"+2a,解得了=。，所以0

5x555x

在AAG鳥中，由余弦定理可得cos8=-a-+4礦-4°2=q,即5c2=9/,可得e=35.

16a55

14.答案：x+。-20=0

解析：法一：設(shè)直線/的方程為三+2=1,則點(diǎn)M(〃0),N(0,?)(m>0,〃>0).設(shè)A(XQJ,

mn

6(%,％)(%1,x2>0,MW%2)?

再+%2_m+0

由題意知線段A3與線段MN有相同的中點(diǎn)，所以2八？

X+%.0+〃

、2一亍

即卜+“=%又因?yàn)槿?心”所以=j=—K.

%+%=〃?玉一馬加一°m

將點(diǎn)A（石，X）,3（%，%）的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得,兩式相減，得

逡+&=1,

、63

6+%）（%—々）+（M+%）（X—%）=o,整理得%+為?-%」,則土，，］=」，則

63x1+x2x1-x22m\m）2

加=2"①.又|MN|=26,所以由勾股定理，得4+7?=12②.聯(lián)立①②，結(jié)合相>0,n>0,

解得卜=2夜,所以直線/的方程為;+2=1,即》+也尸2拒=0.

n=2,2A/22

法二:設(shè)石為AB的中點(diǎn)，由題意知，點(diǎn)石既是線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)A6,%）,

5（%2，%），設(shè)直線AB：y=Ax+m，k<0,m>Q,貝UM—e,0N(0,ni),E-察日，因

\2k2)

為|MN|=2百，所以|OE|=7L

y=kx+m,

22

聯(lián)立直線A3與橢圓方程得xy消掉y得(1+2左2卜2+4相乙+2加2-6二0

---1----1,

[63

c2八八4mk

其中八=（4〃流>―4（1+2公乂2Hz—6)>0x+x=-------

7勺29l+2k2

2mk_m

所以AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)XE=-三梟'又后一條所以『-

\2k2Jl+2k2~~2k

Ji

因?yàn)樽?lt;0,m>Q,所以左=—半，又|OE|==6，解得機(jī)=2,所以直線

6

AB:y---—x+2,即x+J2y-20=0.

15.答案：13

解析:設(shè)可為橢圓C的左焦點(diǎn).如圖，連接4月，。月，.因?yàn)闄E圓的離心率為:，所以a=2c,

所以橢圓C的方程為]+a=1,且△4打工為等邊三角形，則直線DE的斜率左=#.

由直線DE垂直平分線段4工得，|AO|=|*|,\AE\=\EF2\,則△的)￡的周長(zhǎng)等價(jià)于

|DE|+|。閶+|%|=|。制+|。閭+|璃|+廬閭=4a.

設(shè)。(％，X),石伍，％)，又直線DE的方程為y=g(x+。)，與橢圓方程聯(lián)立得

123

QrQOr

13尤2+8cx-32c2=0,則為+々=-百，X]X2=——5一.由弦長(zhǎng)公式

IDE|="2+1.卜—/I=y/k2+1-J(X]+%2『-4中2,得IDE|=J；+l-+二；=EC=6，

13

即°=".所以的周長(zhǎng)為4a=8c=13.

8

16.答案：

[32j

Q—Z7

解析：方法一：由題意知點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于直線y=a的對(duì)稱點(diǎn)為4(-2,2a-3),所以心尸；一，

所以直線A3的方程為丫=—x+a,即(3—a)x—2y+2a=0.由題意知圓(x+3)2+(y+2)2=l

的圓心為(-3,-2),半徑為1,又直線(3-a)x-2y+2a=0與圓(x+3>+(y+2)2=l有公共點(diǎn),

所以圓心到直線A;B的距離d=-3?-。)+2義2+2例4],整理得6儲(chǔ)一1必+3<。，解得

,(3-4+(—2門

13「13一

-<?<-,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

3232

方法二：因?yàn)橹本€AB關(guān)于y=a對(duì)稱的直線也與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱，圓(x+3)2+(y+2)2=1

關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為(x-3)2+(y+2)2=l,由題意知該圓與直線A3有公共點(diǎn).直線A3

的方程為。=亍…，即(a—3)x—2y+2a=0.又圓(x—3)2+(y+2)2=l的圓心為(3,—2),半

徑為1,所以圓心到直線33的距離—3)+2X2+2"(],整理得6〃_1山+3<0,解得

―3)2+(-2)2

13所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是「1巳3：一

32132」

17.答案：(1)-

2

31

(2)/:y=一尤一3或y=-X

22

解析：(1)由題知丫c,解得卜=：)一6

9

9,9]b=2

[a24b2

c=Ja?—/=,二.C的曷心率e=9=!

a2

⑵心11手

設(shè)點(diǎn)B到直線PA的距離為h,

貝的面積為5=3|己4|力=9,解得〃12百

5

|x+2y-6|12^/5

易知直線PA:x+2y-6=0,設(shè)則<455

22

-%------"1-------—-11

129

「尤=0卜=一3(

-ir

解得1或3，二以。,-3)或8-3,

」=-3[y=~21

故/:,=3%-3或丁=!》.

22

18.答案：（1）土-匕=1

416

（2）證明見解析

解析：（1）因?yàn)殡p曲線C的左焦點(diǎn)為（-2班,0）,所以c=2?.

由離心率e=￡=2"=逐，得a=2,所以人，。?-/=4,

aa

22

所以C的方程為土-匕=L

416

（2）證明：設(shè)（占＜0,%〉0）,N（%,%），顯然直線"N的斜率不為0,故設(shè)直

線MN的方程為x=my-4.

因?yàn)?(—2,0),4(2,0),

所以直線的方程為y=（x+2）,直線N4的方程為y=（x-2）,

玉+2X2-2

y=f(x+2),

%1+

聯(lián)立消去y得.紅二=七2

“Mx-2),西+2%x+2

y=

%2-2

x=my-4,

聯(lián)立，2y2消去X整理得(4%2一1)丁—32沖+48=0,

---------=1,

1416

48

則4^2—1/0,A=256機(jī)2+192〉0,則%+%=3孕，

-124m2-1-12W-1

3

所以町%=](%+%)，

39

所以。^.強(qiáng)二=駕風(fēng)力3,

%+2%myxy2-2y2

所以土工=一3,解得x=-1,

x+2

所以點(diǎn)尸在定直線x=-1上.

22

19.(1)答案：土+匕=1

63

a2

解析：由題意可得:<+-z-=l,解得：a2=69b2=c2=3,

ab

〃2=/+c2

22

故橢圓方程為：—+^=1.

63

（2）答案：證明見解析

解析:設(shè)點(diǎn)Af（%，X）,N（x2,y2）,

若直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MV的方程為：y^kx+m,

代入橢圓方程消去y并整理得：（1+21<2）%2+4kmx+2mr-6=0,

2

_，zH4km2m-6

口」X,+X——,XyXy——

1?-1+2F1-1+242

因?yàn)锳MLATV,所以AM-AN=0,Bp-2)(x2-2)+(^-l)(y2-1)=0,

22

根據(jù)%=fctj+m,y2=kxi+in,代入整理可得：(k+l^x1x2+(<hn-k-2^xl+x2)+(m-l)+4=0,

所以H+l)含9+(而-人2)[-段)+(…l『+4=0,

1十乙Kk11乙K)

整理化簡(jiǎn)得（2%+3機(jī)+1）（2左+機(jī)—1）=0,

因?yàn)锳（2,l）不在直線MV上，所以2左+加—I/O,

故2大+3帆+1=0,kwl,

于是肱V的方程為丁=左［%一|）一：（左W1）,

所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)P

當(dāng)直線"N的斜率不存在時(shí)，可得N（%,-%）,

由AM-AN=0得：(%—2)(%—2)+(%—1)(—%—1)=0,

2

得（七一27+1—寸=0,結(jié)合今+/=1可得：3X1-8X1+4=0,

..9

解得：％1=§或％2=2（舍）.

此時(shí)直線跖V過點(diǎn)哈。

令Q為AP的中點(diǎn)，即Q［，g］，

若。與P不重合，則由題設(shè)知AP是RtZVLDP的斜邊，

故也|，陰=￥，

若。與P重合，則|DQ|=JAP|,

故存在點(diǎn)使得為定值.

2

20.答案：（1）V-二=l（x〉0）

16

（2）0

解析：（1）由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，且2〃=2,

c=A/F7,

所以Q=1,b2=c2—a2=17—1=169

2

所以C的方程為V—J=l（x〉0）.

16

（2）設(shè)A（X］,yJ,網(wǎng)/，%），西》1且

由題知，直線A3與直線PQ的斜率都存在且不相等，

設(shè)直線AB的方程為y=k\x-^+m.

y=k[+m,

聯(lián)立

%2--=1（%>0）,

16

消去y并整理得（16-左；卜2+（匕2—2左+K機(jī)一根2—16=0.

又直線A3與曲線C必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以16—其20,4=16（4療一4左刖一3片+64）＞0,

72C71m-----奸+匕H2一機(jī)2—16

所以玉+/=_；；，一------

16-kx16—勺

、（____

1J1+1

所以|7X|.|7B|二玉---XQ------

27\-27

（l+^）（m2+12）

一6-16'

設(shè)直線PQ的方程為y=k：2（x-g）+m（k［彳Ze?）,

,,（1+公）（療+12）

同理可得|TP|-|TQ|=一若-----.

k?—16

因?yàn)閨7X|-|rB|=|7P|-|TQ|,

（1+得）（蘇+12）_（1+用（蘇+12）

即9-O，

好—16代—16

所以片-16將=6—16片,

所以匕=-右或左1=42（舍去）,

所以匕+左2=0，即直線A3的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

21.答案：（1）x2=y--

(2)證明見解析

解析:(1)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),依題意得|y|=

化簡(jiǎn)得八>」，

-4

所以W的方程為f=y

-4

(2)證明：設(shè)矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C在W上,

則矩形ABCD的周長(zhǎng)為2(|AB|+|5C|).

設(shè)依題意知直線A3不與兩坐標(biāo)軸平行，

故可設(shè)直線AB的方程為y-=k(xT),不妨設(shè)k>0,

與爐=丁-工聯(lián)立，得x?-Ax+W-產(chǎn)=0,

-4

則A=F—4(好一』)=(攵—2/)2>0,所以左W2九

設(shè)所以/+石=左，所以％]=左一,,

2

所以|AB|=&+"]-t\=J1+,\k-2t\=y]l+k\2t-k\,

\BC|=11+1^-1^2/++且26+lwO,

7'k)kkkk

所以2(|A3|+15CI)=—陰+12k+11).

當(dāng)2左一2左2<0,即左21時(shí)，函數(shù)y=(—2左2—2左1在1_oo,_L上單調(diào)遞減，函數(shù)

I2k_

y=(2左-2/、+43+i在J上單調(diào)遞減或是常函數(shù)(當(dāng)左=1時(shí)是常函數(shù))，函數(shù)

y=（2左2+2左?—43+1在［：,+00］上單調(diào)遞增,

所以當(dāng);1時(shí)，|2上—修+128+11取得最小值，且最小值為左2+1,

_______3

又k手2t,所以2（|43|+|50|）＞^^卜2+1）=2（1,：）.

KK

令于*）=k>l,

1

則r伏戶也

K

當(dāng)IV左（夜時(shí)，/'（左）＜0,當(dāng)左＞血時(shí)，/'（左）＞0,

所以函數(shù)/（4在［1,0）上單調(diào)遞減，在（忘,+8）上單調(diào)遞增,

所以/次）"（偽=3百,

2(1+/)5

所以2(|AB|+|BC)>>3A/3.

當(dāng)2左一2左2＞0,即0（左＜1時(shí)，函數(shù)y=（—2左2上單調(diào)遞減，函數(shù)

y=（2左一2左2、+上3+1在上單調(diào)遞增，函數(shù)y=（2左2+2。/-左3+1在上單調(diào)遞

增,

所以當(dāng)/。時(shí)，|2公一燈+|2H+1|取得最小值，且最小值為二+左=左。+左2）,

乙K

_______3

2J1+..、、2（1+長(zhǎng)）5

又2Q+1W0,所以2（|A5|+|BC|）＞^^—左（左+1）=-^------

kk

3

人2（1+左平

令g（Q=_^-----L,0〈左＜1,

k

￡

則9史7m

k

當(dāng)0（左-時(shí)，g'（Q＜0,當(dāng)事＜左＜1時(shí)，g'（k）＞Q,

所以函數(shù)g（Q在0,上單調(diào)遞減，在,1上單調(diào)遞增,

所以g（左）2g=3^/3,

3

2(l+k2F

所以2(|45|+|5。|)>二----3G.

k

綜上，矩形A3CD的周長(zhǎng)大于3指.

2

22.答案：（1）V—匕=i

3

（2）證明見解析

解析：（1）由題意得c=2①.

?.?雙曲線的漸近線方程為y=土2x=土氐，,。=6②.

aa

又02=〃+匕2③，

聯(lián)立①②③解得a=1,b=6，

2

雙曲線。的方程為爐-上L

（2）設(shè)直線P。的方程為y=丘+〃,

由點(diǎn)P,。的相對(duì)位置可知左＞0,且左w6.

將直線PQ的方程代入C的方程得（3-左2）尤2_2爪?“2_3=0,

八2kna?+3

則A=12(/2+3-F)>0,X,+—-----,X-lXr,-------.

1-3-k2123-k2

22