2023-2024學(xué)年高中下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末模擬卷（全解全析）（江蘇專用）

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷

注意事項：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（3,4）,則5=（）

A.3-4iB.4-3iC.3+4iD.4+3i

1.【答案】A

【解析】因為復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（3,4）,所以z=3+4i,

所以5=3—4i.

故選：A

2.設(shè)6與G是兩個不共線向量，向量AB=6+2e2，CB=ei+ke2,CD=2ke1—3e2,若A,B,。三

點共線，則左=（）

,c13

A.—3B.—C.—D.3

52

2.【答案】B

【解析】若A,B,。三點共線，則存在實數(shù)X,使80=248，

BD=CD-CB=（2左一—（3+左）e；,

（2k一1）q—（3+k）e2=彳+2%）,

：ei與e2是兩個不共線向量，

二2左一1=4,旦一（3+左）=22,解得左=—g,

故選：B.

3.在_45。中，角A、3、C的對邊分別為〃、b、c.若sinA:sinB:sinC=4:5:6,則cosA=（）

3.【答案】D

【解析】因為sinA:sinB:sinC=4:5:6,由正弦定理可得a:6:c=4:5:6,

設(shè)a=?〉0）,則Z?=,c-6t,

iz^3j-j-—za.b~+c~一片25廠+36r—16?3

由余弦c定rT理m可r得cosA=--------------=---------------------=-.

2bc2x5tx6t4

故選：D.

4.已知/，加，〃表示不同的直線，a,夕，/表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（）

A.若///tz,且血/?,則〃B.若。/?,mlla,nL/3,則m//n

C.若加〃/,且〃z_La,貝i|/_LaD.若m_L〃，加J_a,nil/3,則。_L/?

4.【答案】C

【解析】若///￡，且相〃e,貝心與加可能平行，可能相交，可能異面，A選項錯誤；

若。，尸，利//￡,nLf3,則加與〃可能平行，可能相交，可能異面，B選項錯誤；

兩條平行直線，其中一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直，C選項正確；

若加，〃，m±a,n///3,則a與夕可能平行可能相交，D選項錯誤

故選：C

5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件4"第二枚硬幣反面朝上”為事件2,

則下述正確的是（）.

人.4與8對立B.A與8互斥

C.P（A+B）＞P（A）+P（B）D.A與B相互獨立

5.【答案】D

【解析】由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），

（反，反），

則事件A包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件B包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），

顯然事件A,事件B都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件A,事件8能同時發(fā)生，

所以，事件A,事件8既不互斥也不對立，故AB錯誤.

219131

又因為尸（A）=Z=5，P（B）=Z=5,而尸（A+B）=Z，P（AB）=-,

所以P（A+5）<P（A）+P（5）,P（AB）=P（A）P（B）,故C錯誤，D正確.

故選：D

6.如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所制成的.已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4,且

JT

圓臺的母線與底面所成的角為一，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部件的

3

A.B.16乖6C.

3

6.【答案】B

【解析】根據(jù)題意，該圓臺的軸截面A3CD為等腰梯形，如圖,

JT

所以即為圓臺母線與底面所成角，即/DAB=一,

3

分別過點C、。在平面ABCD內(nèi)作。CFJ.AB,垂足分別為點E、F,

因為CDIIEF,則四邊形CD所為矩形，且所=CD=4,

71

因為AD=5C,/DAE=/CBF,ZAED=/BFC=—,

2

所以，_ADEaBCF,所以，AE=BF,且AE=3尸=坐0=殳巴=2,

22

因為ZDAE=-,則DE=AEtan-=2^3,

33

所以，圓臺，圓錐的高均為￡>E=2石，

所以，該工業(yè)部件的體積為

=%）臺一%|錐石（兀+兀*兀+12

V=gx2x4,416——X71X2x2^=167371.

3

故選：B.

Ti7iiianCLz/

7.右一7<。<尸<7，且cosasin/?=5,-~~—,則cos（a-/7x）=（）

,底口底

AA.-v-n-DR.--v-n--C.----U.-----

6666

7.【答案】C

sin。

tana2cosa221

【解析】因為~~-=則如g=4,貝作皿。（300〃=可以光。$111/二工，

COSP

所以sin（a-/?）=sinacos/?-cosasin〃=g一;=一、，

JC7C7C

而一Z<tz</?<4，則一5<cr—〃<0,

所以cos（a-/3）=Jl-siM（a-0）=~~~?

故選:C

8.八卦是中國古代的基本哲學(xué)概念，八卦文化是中華文化的核心精髓，八卦圖與太極圖（圖1）的輪廓分

別為正八邊形ABC0EFGH和圓。（圖2），其中正八邊形的中心是點。，魚眼（黑白兩點）P、。是圓。

半徑的中點，且關(guān)于點。對稱.若。4=80，圓。的半徑為6,當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動（即圓面。及其內(nèi)部點繞點

。轉(zhuǎn)動）時，P4QC的最大值為（

F

堂——；AB

（圖1）（圖,2）

A.39B.48C.57D.60

8.【答案】A

【解析】如圖所示建立平面直角坐標系,

71

所以NAOB=—,

4

TT

所以NAOM=—,

8

又因為OA=8日，

所以A(-8A/2sin—,一80cos—),C(8A/2COS—,-8A/2sin—),

8888

由題意知，尸在以。為圓心，3為半徑的圓上，且尸、。關(guān)于原點對稱,

所以設(shè)尸(3cos0,3sin0),則Q(-3cos0.-3sin0),

所以

PA-QC=(-8^2sin--3cos。，一80cos烏一3sin6)?(8近cos—+3cos。，一8后sin—+3sin0)

8888

=(一80sin--3cos6)(80cos—+3cos0)+(一8及cos--3sin。)(一8及sin—+3sinO')

8888

=-8后x3x[(cos]-sin：)sin0+(cos曰+sin削cos0-9

=-80x3x^2sin(6+夕)-9=-48sin(8+0)一9,

兀.兀/兀.兀、21.兀

cos—+sin—(cos—+sin—)1+sin—

(tan。=------------=---------------------------=--------=72+1),

兀.兀/7C71、/兀.兀、71

cos——sin—(cos——sin—)(cos—+sin-)cos—

8888884

所以當(dāng)sin(6+0)=—l時，PA取得最大值為39.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.設(shè)4/2*3為復(fù)數(shù)，且Z3WO,則下列命題正確的是()

A.若㈤=憶|,則Zj=±z2B.若Z1Z3=Z2Z3,則4=

C.若上3『=空3，則Z[=Z3D.若Z2=z，則TZ2Z3I

9.【答案】BD

【解析】對于A,若z=l+i,z2=l-i,則㈤=團，此時Z]W±Z2，A錯誤;

對于B,'z1z3=z2z3,.-.z3(z1-z2)=0,又Z3W0,二Z]—Z2=0,即4=z2,B正確；

對于C,若2[=馬，則Z]Z3=4Z3=上3『，若Z],Z3為虛數(shù)，則Z[WZ3,C錯誤；

對于D,設(shè)Z]=a+歷，z3=c+di,則Z2=%=a-6i,

4Z3=(a+6i)(c+di)=(ac—6d)+("+Z?c)i,z2z3=(a—6i)(c+di)=(ac+bd)+(〃-Z7c)i,

|ZJZJ|=J(ac-bd)~+(ad+be1a2c2+b2d2+a~d~++>~>

IZ2Z31=yj(cic+bd)~+(ad—be)=Ja-c~+b-d2+a~d~，

.,.IZJZJI=|z2z3|,D正確.

故選：BD.

10.已知一ABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是()

A.若A<8，則sinA<sin5

B.若。=2,B=j,且該三角形有兩解，則G<6<2

C.若粵4=筆目，則」WC為等腰三角形

ab

D.若tanA+tan5+tanC>0,貝U銳角三角形

10.【答案】ABD

ah

【解析】因為A<5,所以a<b,由正弦定理——=——,可知sinA<sin5,故A正確；

sinAsinB

如圖，

a=2,B=-,且該三角形有兩解，所以asin巴<b<a=2,即也<6<2,

33

故B正確；

由正弦定理可得，,即----\----=-----\----,所以sin2A=sin25,因為

sinAsinBsinAcosAsinBcosB

2A,2BG（0,2TI）,所以2A=25或2A+25=兀，

71

即A=5或4+3=二，所以三角形為等腰或直角三角形，故C錯誤；

2

因為tanA+tan5+tanC=tan（A+B）（l-tanAtanB）+tanC

=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC>0.且A,5,Ce（0,兀），

所以tanA>0,tan5>0,tanC>0,即A,B,C為銳角，所以為銳角三角形，故D正確.

故選：ABD

11.已知正四棱臺ABC?！乃许旤c都在球。的球面上，AB=2AlB1=2,AAl=y/2,E為

BDC]內(nèi)部（含邊界）的動點，則（）

A.朋//平面B.球。的表面積為6兀

C.EA+E4的最小值為2&D.AE與平面所成角的最大值為60。

11.【答案】ACD

【解析】對于A,如圖1,

由棱臺的結(jié)構(gòu)特征易知M與CG的延長線必交于一點，故Aa,C￡共面，

又面AgG2〃面而面441cle）面4用。12=4。1，面AAGC）面ABCD=AC,故

AG〃ac，即ACJ/AO?；

由平面幾何易得AG=3,AQ=；AC=gx2夜=母，即AC=AO2；

所以四邊形A4|G02是平行四邊形，故44〃。1。2，

而A41a面BDG，￡。2匚面BZ）G，故9//平面3DC],故A正確;

對于B,如圖2,設(shè)。1為AG的中點，。為正四棱臺外接球的球心，則AO=AO=R,

在等腰梯形AAC。中，易得工(AC—4G)=(V2)2--=-,即O]Q=4I,

-2」I2J22

為方便計算，不妨設(shè)QO=a,QO=。，則由4。：+/=402=402=402+〃，

即+"2=(ay+*'即6—尸=g,又a+b=002=,，

解得a=X5/=0,即。與。2重合，故尺=49=正，

2

故球。的表面積為4萬7?2=4乃義(、歷)=8%,故B錯誤；

對于C,由圖2易得50,002，BDLAC,GO2cAe=。2，OQ、ACu面A41clC,

故3D上面441GC，

不妨設(shè)E落在圖3E處，過E'作E'EJ/BD,則后罵，面故￡￡，罵4,

故在RtAgE'中，E[A<E'A（勾股邊小于斜邊）；同理，<E'A,,

所以&A+E|A<EN+E'A，故動點E只有落在G。上，E4+EA才有可能取得最小值;

再看圖4,由4關(guān)于CQ對稱點為C可知，

故E4+MNAC=2夜，故C正確，

對于D,由選項C可知，3。上面A&GC,5Du面BDG，故面441GC，面，

在面AAGC內(nèi)過A作交C。于p，如圖5,

則AFu面A41G。，面A41cle^BDC^C.O,故AF,面故NAE產(chǎn)為AE與平面&)C］所

成角，

AF

在Rt_A￡尸中，sinZAEF=——，故當(dāng)AE取得最小值時，sinNAEF取得最大值，即1AE產(chǎn)取得最大

AE

值，

顯然，動點E與。重合時，AE取得最小值，即/AE戶取得最大值，且NAEE=NAOE=N￡OC,

在△C0C中，ClO=AAl=72,CQ=A4,=V2,OC=1AC=V2,故△G(9C為正三角形，即

N￡OC=60。，即AE與平面BOG所成角的最大值為60。，故D正確.

故選：ACD.

第二部分(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8,7,x,4,4,1,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的3倍，則該組數(shù)

4

據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是.

12.【答案】5,y,6

【解析】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得1，4，4，X,7,8,

4+Y

則中位數(shù)=-^,眾數(shù)為4,

2

4+尤5

由題意知一-=4x-,解得％=6，

24

-1

所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=5x（l+4+4+6+7+8）=5,

則這組數(shù)據(jù)的方差是52」,（1一5）2+（4—5）2+（4—5『+（6—5）2+（7_5『+（8—5）［=3，

因為6x60%=3.6,所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是6；

故答案為：5,—,6

3

7T

13.中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c,角C的平分線交邊A3于點。.若。=§，。=2,

4

且CD=—,則中最長的邊為

3

13.【答案】

jr17T17117T

【解析】因為C=—,由S&BC=SABCD+SAACD,即一obsin—=—〃?CDsin—+—b-CDsin—,

3232626

整理可得〃+6=地"，

4

由余弦定理可得t*2=4=/+/—cos——a?+Z?2—ab=（〃+/?）—3cib-—3ab,

OQ

所以，27（Qb）2—48ab—64=0,即（3QZ?—8）（9“b+8）=0,解得=§或〃6=—,（舍）.

2V3_4A/3

a+b=2y/3a-------a

所以，a+b=3yx—=2^3，3一一3

即,8，解得，L或S

43ab=—_2^3

13h

[33

因為拽〉2〉2叵，故JRC中最長的邊為生8,

333

故答案為：生8

3

14.在正四棱柱ABC?！狝4Goi中，已知A5=2,A&=1,則點4到平面ABC1的距離為；以

A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長度為.

14.【答案】①.正②.1。+3凡

56

22

【解析】空1：由題意可得：BC1=A/2+1=751

因為A5工平面3。。1與，BC]U平面BCC4,可得ABJ.BG，

設(shè)點A到平面ABC,的距離為d,

則:xdxLx2x若=：><2><LX1><2,解得d=,

因為KVABG=VC,-MB

32325

即點A到平面ABC,的距離為乎；

空2：由題意可知：球A僅與平面A3CD、平面平面ADjA和平面A4G，相交,

因為A3=AD=2,此時球A與平面ABCD的交線30為半徑為2的圓的工，

4

則交線的長度為、2兀X2=TT；

4

設(shè)球A與棱A片的交點為M,即AM=2,可得=百,

則tan=——=>/3,

4A

ir7L

且NAAM為銳角，則NAAM=乙，即NA4M二一，

36

所以球A與平面ABB^的交線BM為半徑為2的圓的g,

17T

則交線的長度為3x271x2=3

123

1JT

同理可得：球A與平面ADDX\的交線DN的長度—X2KX2=1；

可知AM=AN=A所以球A與平面A[B]G2的交線MN為半徑為6的圓的;，

則交線的長度為工x27tx用=%；

42

所以球面與該棱柱表面的交線的總長度為兀+2乂四+色=四葉巨兀.

326

故答案為：正;1O+3^7T.

56

D,

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位：分鐘）.現(xiàn)隨機抽取了該商場

到訪顧客的100輛車進行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：（0,100],（100,200],（200,300],（300,400],

（400,500],（500,600],并整理得到如下頻率分布直方圖:

頻率/組距

0.0034

0.0032

0.0016

0.0013

0.0002

O100200300400500600停車時長/分鐘

（1）若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為1000,根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間（400,600]上

的車輛數(shù)；

（2）為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務(wù).若以第30百分位數(shù)為標準，請

你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議（數(shù)據(jù)取整數(shù)）.

15.【答案】（1）50（2）免費停車時長為153分鐘

【解析】⑴根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1,設(shè)（400,500]的頻率為x,

可列等式為（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）xl00+x=l,

x=0.03,

所以樣本中停車時長在區(qū)間（400,600］上的頻率為0.05,

估計該天停車時長在區(qū)間（400,600]上的車輛數(shù)是50；

（2）設(shè)免費停車時間長不超過〉分鐘，又因為（0,100]的頻率為0.13<30%,

并且（0,200]的頻率為0.45>30%,所以〉位于（100,200]之間,

則滿足013+（y—100）x0.0032=0.3,

y?153,

確定免費停車時長為153分鐘.

16.（15分）

在_ABC中，角A,5c的對邊分別為a,Z?,c,（2Zj-c）cosA=acosC.

⑴求A；

（2）若的面積為邊上的高為1,求的周長.

16.【答案】（1）|（2）276+273

【解析】（1）因為（2Z?-C）COSA=QCOSC,

由正弦定理，得（2sin5-sinC）cosA=sinAcosC,

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCeosA，即2sinBcosA=sinB.

因為在二A5c中，sinB0,

所以cosA=工.

2

7T

又因為0<4<兀，所以A=：.

（2）因為,ABC的面積為石，

所以5axi=V3,得尊=2M-

由L/jesinAuJ^,即Lbcx且=百，

222

所以Z?c=4.由余弦定理，得/=82+02-2bccosA，BP12=Z?2+c2-be>

化簡得（b+c）2=3bc+12,所以（6+C）2=24,即6+C=2?，

所以ABC的周長為a+〃+c=2的+26.

17.（15分）

每年的3月14日為國際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)，其中一項活動是“數(shù)學(xué)知識

競賽”，競賽共分為兩輪，每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知

43

在第一輪競賽中，學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為歹，-；在第二輪競賽中，甲、乙勝出的概率分別為0,q.

甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響.

⑴若0=%求甲恰好勝出一輪的概率；

96

（2）若甲、乙各勝出一輪的概率為一，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為一.

5025

3）求?，q,的值；

（ii）求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.

1723223

17.【答案】（1）一（2）（i）p=~,q=，（ii）■-

4034300

【解析】（1）設(shè)“甲在第一輪競賽中勝出”為事件4，

“甲在第二輪競賽中勝出”為事件4,

“乙在第一輪競賽中勝出”為事件與，

“乙在第二輪競賽中勝出”為事件當(dāng)，

則A，A,B［,與相互獨立，

43

且P（A）=丁尸（4）=P，PW=~，P（B^=q.

設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件c,

則C=A4+A4，A4，A4互斥.

當(dāng)p=|時，P（C）=P（4A+AA）=P（AA）+P（AA）

=P（A）P區(qū)）+P（QP（4）

431517

=—x—+—x—=——.

585840

517

所以當(dāng)p=—,甲恰好勝出一輪的概率為一.

840

（2）由（1）知，（i）記事件。為“甲、乙各勝出一輪”，

事件E為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，

所以。=（4A,+44昆+4丹），E=.

因為甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響，

所以=（與瓦+瓦§2）

=［尸（A兀）+尸（44）］［尸。瓦）+尸（瓦幻］

=[p（4）p（X）

9

50

436

P（E）=P（A44&）=p（A）p（4）p（4）p（B2）=mpxp=云,

2i

24-8q-18p+6pq-9=0p=—P=—

33

則1,解得＜3或；（舍去）.

pq=aIq=一

2

23

綜上，p——,q=一.

34

（ii）設(shè)事件G為“甲獲得優(yōu)秀”，事件H為“乙獲得優(yōu)秀”,

于是GuH="兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，

8Q

且尸（G）=P（A4）=百,尸⑻=尸（用坊）=丁,

所以尸?=1—P（G）=1—P（H）=1-P（H）=1-^=11,

所以「（Gu"）=l—P（西=1—P（G）P⑻=1一制

223

故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為——.

300

18.（17分）

如圖，在圓錐PO中，AB是底面的直徑，且PO=3,AB=4,/R4c=30°，/是BC的中點.

（1）求證：平面P6C1平面POM；

（2）求二面角CHPB-C的余弦值.

18.【答案】（1）證明見解析（2）走

4

【解析】（1）如圖，由題意，A3是底面的直徑，.?.ACLBC,

。為A3的中點，M為3C的中點，則OM//AC,

則OMLBC，而尸01平面ABC,BC<=平面ABC,

則PO15C,

又POOM=O,POu平面POM,OMu平面POM

.?.BC_L平面POM,

又5Cu平面PBC,平面PBC±平面POM；

(2)在平面ABC中，過M作垂足為E,

在平面中，過E作石戶，PB,垂足為尸，

連接MF，

：P01平面ABC,MEu平面ABC,二PO，"E,

又ABPO=O,ABu平面R45,POu平面E4B,

二人陽，平面上45,P3u平面