2021屆浙江省寧波市九校高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，總=sectionpages44頁2020-2021學年浙江省寧波市九校高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．設(shè)全集，集合則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，再根據(jù)補集定義即可求出.【詳解】，或，.故選：C.2．已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得三者的大小關(guān)系.【詳解】因為在上為增函數(shù)，故即，而在上為減函數(shù)，故，故，因為在上為減函數(shù)，故，故，故.故選：A.3．將函數(shù)的圖象沿軸向右平移一個單位后，所得圖象對應(yīng)的解析式為，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的解析式，再解方程后可求的值.【詳解】由題設(shè)可得，令，故，故選：B.4．已知，點是角終邊上一點，則（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，從而可得.【詳解】因為，故，因為是角終邊上一點，故，故，而，故與的終邊相同，而，故.故選：B.5．某藥廠為提高醫(yī)藥水平，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司年全年投入研發(fā)資金萬元，之后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)資金超過萬元的第一年是（）(參考數(shù)據(jù)：，)A．年 B．年 C．年 D．年【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到從而2020年起第年投入的研發(fā)資金的表達式，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)可得正確的選項.【詳解】設(shè)2020年起第年投入的研發(fā)資金為（2020年為第一年），則，即，令，故，故.故2030年第一次研發(fā)資金超過.故選：D.6．函數(shù)(其中為實數(shù))的圖象不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】取可判斷排除D，再根據(jù)圖象的對稱性可求的值，討論相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)后可得正確的選項.【詳解】若，則，故D中圖象符合，排除D.AC中對應(yīng)的函數(shù)的定義域為，故，故，此時，而，故為奇函數(shù)，且當時，為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，故A中圖象符合，排除A，C中圖象不符合.B中對應(yīng)的函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，故，因為，故，故，此時，當時，，故為上的增函數(shù)，所以為上的減函數(shù)，B中圖象符合，排除B.故選：C.【點睛】方法點睛：函數(shù)圖象的識別，一般從函數(shù)的定義域，奇偶性、單調(diào)性和特殊點處的函數(shù)的正負去討論.7．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換對應(yīng)的公式，將原式逐步化簡整理，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：A8．已知定義在上的函數(shù)滿足：當時，，且對任意的，均有.若，則的取值范圍是（）(是自然對數(shù)的底數(shù))A． B．C． D．【答案】B【分析】先討論在上的單調(diào)性，從而得到，求出其解后可得正確的選項.【詳解】令則且，整理得到，若，則，這與，矛盾，所以，令，則即，故為的奇函數(shù)，設(shè)，故，即，因為，故，而，故即，所以故為的增函數(shù)，因為，故即，故選：B.【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)，一般依據(jù)已有的運算性質(zhì)來推理，對于奇偶性的探究，需采用賦值法來求的值，這樣才能實現(xiàn)與的聯(lián)系，而單調(diào)性的探究，則需根據(jù)定義來證明.二、多選題9．已知、均為實數(shù)，則“”成立的必要條件可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)必要條件的定義逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由絕對值的性質(zhì)可知，若，則，A選項合乎要求；對于B選項，若，則，B選項合乎要求；對于C選項，若，則、不同時為零，可得，則，C選項合乎要求；對于D選項，若，取，則，D選項不合乎要求.故選：ABC.10．已知函數(shù)為偶函數(shù)，點、是圖象上的兩點，若的最小值為，則下列說法正確的有（）A． B．C． D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】求出函數(shù)的最小正周期，可求出的值，可判斷A選項的正誤；根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可求出的值，可判斷B選項的正誤；求出的值，可判斷C選項的正誤；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，點、是圖象上的兩點，可得，若的最小值為，則函數(shù)的最小正周期為，，A選項正確；對于B選項，，由于該函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，，，B選項錯誤；對于C選項，若，則，則；若，則，則.C選項正確；對于D選項，取，則，取，則，當時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的性質(zhì)：（1）奇偶性：時，函數(shù)為奇函數(shù)；時，函數(shù)為偶函數(shù)；（2）周期性：存在周期性，其最小正周期為；（3）單調(diào)性：根據(jù)和的單調(diào)性來研究，由得單調(diào)增區(qū)間；由得單調(diào)減區(qū)間；（2）對稱性：對稱中心：利用的對稱中心為求解，令，求得；對稱軸：利用的對稱軸為求解，令得其對稱軸．11．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A．函數(shù)是周期為的周期函數(shù)B．C．不等式的解集是D．若存在實數(shù)滿足，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式分段討論后可得正確的選項.【詳解】因為當時，，故，，故不是周期為的周期函數(shù)，故A錯誤，且B正確.等價于或（無解），解得，故C正確.的圖象如圖所示：在上，的圖象的對稱軸為，因為且，故且，又，故，故，所以，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得，故，故D正確.故選：BCD.【點睛】思路點睛：分段函數(shù)的處理方法有兩種：（1）分段處理，因為在不同的范圍上有不同的解析式，故可考慮在不同范圍上對應(yīng)的方程、不等式等；（2）數(shù)形結(jié)合，即畫出分段的函數(shù)的圖像，從而考慮與分段函數(shù)相關(guān)的范圍問題、方程的解等問題.12．已知奇函數(shù)的定義域為，且滿足：對任意的，都有.設(shè)，且當時，的值域為，則下列說法正確的有（）A．的圖象關(guān)于直線軸對稱B．在內(nèi)至少有個零點C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．在上的值域為【答案】ACD【分析】利用函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性判斷各選項對錯.【詳解】由為奇函數(shù)，，且，故函數(shù)關(guān)于直線對稱，且周期，故函數(shù)關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點中心對稱，故A、C選項正確；即，故在內(nèi)至少有個零點，B選項錯誤；又，故函數(shù)為奇函數(shù)，當時，的值域為，所以當時，的值域為，當時，，的值域為，當時，，的值域為，綜上當時，的值域為，D選項正確；故選：ACD.【點睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．三、填空題13．計算___________.【答案】6【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得所求的結(jié)果.【詳解】,故答案為：6.14．已知，，則___________.【答案】【分析】先求出，再利用兩角差的余弦可求.【詳解】因為，故，若，則，而，故不成立，而，故，所以，所以.故答案為：.15．已知，，均為正實數(shù)，滿足，則的最小值是___________.【答案】【分析】由，得，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求得的最小值.【詳解】由，得，，當且僅當，即時取等號，故答案為：【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．16．對于實數(shù)，若兩函數(shù)，滿足：①，或；②，，則稱函數(shù)和互為“相異”函數(shù).若和互為“相異”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)兩個函數(shù)互為“相異”函數(shù)可得，有恒成立，且在上有解，利用參變分離先討論前者，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得所求的取值范圍.【詳解】因為當時，，當時，，當時，，結(jié)合互為“相異”函數(shù)，故，有恒成立，且在上有解.先考慮，有恒成立，則在上恒成立，故在上恒成立，因為，故，故.再考慮在上有解，若，則，故在上無解，若，的對稱軸為，且開口向下，由在上有解可得，故或（舍）.故實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】方法點睛：對于新定義背景下的函數(shù)性質(zhì)的討論，一般是先根據(jù)定義得到含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)，對于不等式的恒成立或有解問題，可優(yōu)先考慮參變分離的方法，也可以結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)處理.四、解答題17．已知全集，集合，集合.（1）當時，求；（2）若，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【分析】先解不等式化簡集合，根據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性，得到；（1）再由，化簡集合，根據(jù)交集和補集的概念，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為，在上單調(diào)遞減，由定義域可得a>0,則；（1）若，則，所以或，因此；（2）因為，所以；又，所以，因此，所以有，解得，又因為a>0，則實數(shù)的值為.18．已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；（2）若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，；（2）【分析】（1）利用兩角差的余弦公式，二倍角公式和輔助角法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）將函數(shù)有且僅有一個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且僅有一個交點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】（1）函數(shù)，，，，，令，解得，因為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.因為，則，所以，所以.（2）因為有且僅有一個零點，所以有且僅有一個零點，即函數(shù)與有且僅有一個交點，如圖所示：由圖象知：或，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.3．對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sint的性質(zhì)．19．已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）寫出集合；（2）若集合中恰有個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）或.【分析】（1）就、、、、分類討論后可得不等式的解集.（2）根據(jù)（1）可得，結(jié)合解集中整數(shù)解的個數(shù)可得，從而可得的解.【詳解】（1）若，則原不等式等價于，故.若，則原不等式等價于，因為，故.若或，則原不等式等價于，因為，故或，若，則原不等式等價于，故.（2）由（1）可得且，因為集合中恰有個整數(shù)，故即解得或.【點睛】思路點睛：含參數(shù)的不等式的解，注意先考慮二次項系數(shù)的正負，再考慮兩個的大小關(guān)系，結(jié)合不等式的方向可得不等式的解集.20．如圖所示，摩天輪的半徑為，最高點距離地面高度為，摩天輪的圓周上均勻地安裝著個座艙，并且運行時按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要.甲，乙兩游客分別坐在，兩個座艙里，且他們之間間隔個座艙(本題中將座艙視為圓周上的點).（1）求劣弧的弧長(單位：)；（2）設(shè)游客丙從最低點處進艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于時間的函數(shù)解析式；（3）若游客在距離地面至少的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪轉(zhuǎn)動一周能有多長時間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.【答案】（1）；（2），其中；（3）.【分析】（1）根據(jù)弧長的計算公式可求的長度.（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，利用三角函數(shù)的定義可求關(guān)于時間的函數(shù)解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果的時間長度.【詳解】（1）因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著個座艙，故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，故.（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，由題意知，，所以，又由，所以，當時，可得，所以，故關(guān)于時間的函數(shù)解析式為，其中.（3）令，即，令，解得，因為甲乙兩人相差，又由，所以有甲乙都有最佳視覺效果.【點睛】三角函數(shù)實際應(yīng)用問題的處理策略：1、已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；2、把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題；3、根據(jù)實際問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進而加深理解函數(shù)的性質(zhì).21．已知函數(shù)，.（1）根據(jù)定義證明函數(shù)是減函數(shù)；（2）若存在兩不相等的實數(shù)，，使，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用減函數(shù)的定義證明即可.（2）先根據(jù)得到且，從而在上有解，利用換元法及參變分離可得在有解，最后利用基本不等式可求的取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)可得，故，故的定義域為.設(shè)，則，因為，故，而，故，所以，故即在上為減函數(shù).（2）因為，，所以即.又，故，同理.等價于在上有解，又可整理為①，令，則且①可化為，所以在有解，故在有解，令，則且，，因為，故，故.【點睛】思路點睛：（1）函數(shù)單調(diào)性的證明，需結(jié)合定義來展開.（2）復雜方程的解的討論，一般利用換元法將復雜方程轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程，后者可利用參變分離來求參數(shù)的取值范圍，換元時注意范圍的傳遞性.22．設(shè)函數(shù)，.（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）當時，若對任意的，均有成立，求的最大值.【答案】（1）當時，為偶函數(shù)；當時，為非奇非偶函數(shù)；（2）4.【分析】（1）當時，利用定義可得為偶函數(shù)，當時，利用反例可得為非奇非偶函數(shù).（2）原不等式等價于在恒成立，令，求出的最小值后可得滿足的不等式，從而得到的不等式，由此可求的最大值.【詳解】（1）若，則，此時，又的定義域為，故為偶函數(shù).若，則